1、等腰三角形中輔助線(xiàn)的作法等腰三角形底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高線(xiàn)、頂角的平分線(xiàn)互相重等腰三角形底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高線(xiàn)、頂角的平分線(xiàn)互相重合，我們將等腰三角形這一性質(zhì)稱(chēng)之為合，我們將等腰三角形這一性質(zhì)稱(chēng)之為“三線(xiàn)合一三線(xiàn)合一”，“三線(xiàn)合一三線(xiàn)合一”適用于等腰三角形問(wèn)題，用其可以解決同一三角形內(nèi)部的邊角問(wèn)題適用于等腰三角形問(wèn)題，用其可以解決同一三角形內(nèi)部的邊角問(wèn)題. .類(lèi)型一：類(lèi)型一：利用利用“三線(xiàn)合一三線(xiàn)合一”作輔助線(xiàn)作輔助線(xiàn)一、已知等腰作一、已知等腰作垂線(xiàn)垂線(xiàn)(或或中線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)角平分線(xiàn))又又CDAD，AEBCACD和和ABE均為均為直角三角形直角三角形在在RtACD和和RtABE中中B

2、E=CDAB=AC RtACDRtABE(HL)ACDB 在在ABC中，中，ADBC，B2C，求證：，求證：ABBDCD二二、構(gòu)造構(gòu)造等腰三角形等腰三角形 在在ABC中，中，ADBC，B2C，求證：，求證：ABBDCD證明：在證明：在DC上截取上截取DEDBADBCADBADE又又ADADADBADE(SAS)ABAE，ABDAEDB2CAED2C又又AEDCEACCEACAECEABBDAEDECEDECD. 在在中中如果條件如果條件B2C與結(jié)論與結(jié)論ABBDCD互換，仍然成立嗎？試說(shuō)互換，仍然成立嗎？試說(shuō)明理由明理由.解：仍然成立，理由如下：解：仍然成立，理由如下：在在DC上截取上截取DE

3、DBADBCADBADE又又ADADADBADE(SAS)ABAE，BAEDABBDCDAEDECD而而CEDECDAECEEACC而而AEDEACCAED2CB2C在等腰三角形中，如遇等邊或等角，可以考慮作底邊上的高線(xiàn)，運(yùn)在等腰三角形中，如遇等邊或等角，可以考慮作底邊上的高線(xiàn)，運(yùn)用用“三線(xiàn)合一三線(xiàn)合一”性質(zhì)解題；如遇垂直平分，可以考慮構(gòu)造等腰三角形性質(zhì)解題；如遇垂直平分，可以考慮構(gòu)造等腰三角形解題解題. .等腰三角形中輔助線(xiàn)的作法等腰直角三角形和等邊三角形是特殊的等腰三角形，它們除具有等腰直角三角形和等邊三角形是特殊的等腰三角形，它們除具有等腰三角形的所有性質(zhì)外，還有自身獨(dú)特的性質(zhì)，因而在解

4、題中，可等腰三角形的所有性質(zhì)外，還有自身獨(dú)特的性質(zhì)，因而在解題中，可以充分利用它們獨(dú)特性質(zhì)構(gòu)造全等的三角形，以突破解題的難點(diǎn)以充分利用它們獨(dú)特性質(zhì)構(gòu)造全等的三角形，以突破解題的難點(diǎn). .類(lèi)型二：巧用等腰直角三角形構(gòu)造全類(lèi)型二：巧用等腰直角三角形構(gòu)造全等等如圖如圖1，OA=2，OB=4，以，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰直角為腰在第三象限作等腰直角ABC.(1)點(diǎn)求點(diǎn)求C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)如圖如圖2，P為為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂為頂點(diǎn)，點(diǎn)，PA為腰作等腰直角為腰作等腰直角APD，過(guò)，過(guò)D作

5、作DEx軸于軸于E點(diǎn)，求點(diǎn)，求OPDE的值的值.圖圖2圖圖1如圖如圖1，OA=2，OB=4，以，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰直角為腰在第三象限作等腰直角ABC. (1)點(diǎn)求點(diǎn)求C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；解解:(1)如圖如圖1，過(guò)，過(guò)C作作CMx軸于軸于M點(diǎn)，點(diǎn)，MAC+OAB=90，OAB+OBA=90，則則MAC=OBA，又又CMA=AOB=90，AC=AB,MACOBA(AAS),CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6,點(diǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-6，-2).圖圖1解解:(2)如圖如圖2，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作作DQOP于于Q點(diǎn)，點(diǎn)，則則DE=OQ,OP-DE=OP

6、-OQ=PQ,APO+QPD=90， APO+OAP=90，QPD=OAP,又又AOP=PQD=90，AP=PD， AOPPQD(AAS),PQ=OA=2.即即OP-DE=2.(2)如圖如圖2，P為為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)沿點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰直角為腰作等腰直角APD，過(guò)，過(guò)D作作DEx軸于軸于E點(diǎn)，求點(diǎn)，求OP-DE的值的值.圖圖2類(lèi)型類(lèi)型三三：等腰等腰( (邊邊) )三角形三角形中截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等中截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等或等邊三角形或等邊三角形如圖，如圖，ABC是正三角形，是正三角形，BDC是頂角是頂角BD

7、C120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)為頂點(diǎn)作一個(gè)60的角，角的兩邊分別交的角，角的兩邊分別交AB、AC于于M、N兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)，連結(jié)MN，求，求證：證：MNBMCN.如圖，如圖，ABC是正三角形，是正三角形，BDC是頂角是頂角BDC120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)為頂點(diǎn)作一個(gè)60的角，角的兩邊分別交的角，角的兩邊分別交AB、AC于于M、N兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)，連結(jié)MN，求，求證：證：MNBMCN證明：延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)MB至點(diǎn)至點(diǎn)E使使BECNBDC120，DBDC2330ABC是正三角形是正三角形160,ABD90同理同理ACD90DBEDCN90由得由得DCNDBEDNDE，36460，BDC1205360MDE5660MDE4DMDM由得由得MEDMNDMNMEMBEBMBCN遇等腰直角三角形時(shí)，通常結(jié)合腰相等和銳角互余來(lái)添加輔助線(xiàn)、構(gòu)遇等腰直角三角形時(shí)，