1、3.3 導數的應用（2）（文科）一、【教學目標】重點：利用導數為主要工具解決圖象交點與函數零點問題、存在性、恒成立問題.難點：靈活運用導數解決函數零點與恒成立問題.教育點：提高學生的認知水平，塑造良好的數學認知結構；培養學生轉化與劃歸、數形結合、分類討論的數學思想方法意識及應用能力.自主探究點:（1）函數零點問題的轉化；（2）恒成立、存在性問題的處理，一般是采用“分離參數，最值轉化”的方法；（3）例題及變式的解題思路的探尋.易錯點：不等式對“”恒成立，還是“”使之成立；不等式兩邊是同一個變量還是兩個獨立的變量.拓展點: 利用導數解決含有參數的單調性問題是將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類

2、討論和數形結合思想的應用.能力點：以函數零點與恒成立、存在性為命題背景，考查導數運用，培養學生分析問題、解決問題的能力.考試點：導數的性質及應用.二、【知識梳理】1.函數的零點方程的根方程的根函數與的圖象的交點的橫坐標.2.恒成立問題的轉化：恒成立；.3.能成立問題的轉化：能成立；.4.恰成立問題的轉化：在上恰成立的解集為另一轉化方法：若在上恰成立，等價于在上的最小值，若在上恰成立，則等價于在上的最大值.5.結論1：；結論2：；結論3：；結論4：；結論5：的值域和的值域交集不為空；結論6：若不等式在區間D上恒成立，則等價于在區間D上函數和圖象在函數圖象上方；結論7：若不等式在區間D上恒成立，則

3、等價于在區間D上函數和圖象在函數圖象下方.三、【范例導航】例1.（2013江蘇節選）設函數，其中為實數若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍【分析】將在上是單調減函數轉化為在上恒成立，進而利用分離參數法求出最值即可.【解答】解法一 ，由題意得在上恒成立，則在上恒成立，故：在上是單調增函數，又在上有最小值，則必有，即綜上，可知的取值范圍是解法二 ，由題意得在上恒成立，則在上恒成立，故：在上有最小值，當時，恒成立，在為單調增函數，故在上無最小值，不合題意；當時，由，得又，在為單調增函數，故在上也無最小值，不合題意；當時，由，得又，在上為單調減函數，在上為單調增函數，此時有最小值為綜上，可

4、知的取值范圍是【點評】求解問題的切入點不同，求解的難度就有差異，在恒成立問題中有時需要取交集，有時需要取并集，本題解法一需要取交集，解法二需要求交集一般而言，在同一問題中，都是對自變量做分類討論，其結果要取交集；若是對參數做分類討論，其結果就要取并集變式訓練:（2008安徽文節選）設函數為實數若對任意都成立，求實數的取值范圍【解答】解法一（變量分離法）：由題設知：對任意都成立，即對任意都成立.于是對任意都成立，即.解得的取值范圍是.解法二（變量轉換，最值控制法）：對任意都成立.即對任意都成立，設，則對任意，為單調遞增函數，所以對任意，恒成立的充分必要條件是，即 ， 于是的取值范圍是.例2（20

5、13福建文）已知函數(,為自然對數的底數).(1)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值；(2)求函數的極值；(3)當的值時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.【分析】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、零點等基礎知識.【解答】(1)由，得. 又曲線在點處的切線平行于軸，得，即，解得. (2)， 當時,，為上的增函數，所以函數無極值. 當時，令，得，. ，；，. 所以在上單調遞減，在上單調遞增， 故在處取得極小值，且極小值為，無極大值. 綜上，當時，函數無極小值；當，在處取得極小值，無極大值. (3) 解法一當時，. 直線:與曲線沒有公共點， 等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方

6、程: (*)在上沒有實數解. 當時，方程(*)可化為，在上沒有實數解. 當時，方程(*)化為. 令，則有. 由，得， 當變化時，、的變化情況如下表:當時，同時當趨于時，趨于， 所以的取值范圍為. 從而當時，方程(*)無實數解，解得的取值范圍是. 綜上，得的最大值為.解法二 當時， 令， 則直線:與曲線沒有公共點，等價于方程在上沒有實數解. 假設，此時， 又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故. 又時，知方程在上沒有實數解. 所以的最大值為. 【點評】本題是函數零點存在性問題的典型變式題，涉及圖象交點向函數零點的轉化關系，進一步加深了利用導數研

7、究函數性質的考查和對函數極值（最值）的認識.求解過程中通過構造函數，分離變量，求出極值（最值），較好的考查了學生的推理論證能力、運算求解能力及其函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想.變式訓練:（2009陜西文節選）已知函數，若在處取得極值，直線與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍【解答】易求，當時，在單調遞增，當時，在單調遞減，當時，在單調遞增.當時，有，當時，有.故當或時，方程僅有一個實根，解得或.例3 .已知兩個函數；（1）若對，都有成立，求實數的取值范圍；（2）若，使得成立，求實數的取值范圍；（3）若對，都有成立，求實數的取值范圍【分析】利用等價轉化思想將恒成立

8、與存在性問題轉化為函數最大最小值的求解問題【解答】（1）設，（1）中的問題可轉化為：當時， 恒成立，即易知 ；當變化時，的變化情況列表如下：增函數極大值減函數極小值增函數因為，所以，由上表可知，故，得（2）根據題意可知，問題等價于 在時有解，故.由（1）可知，因此，即(3) 根據題意可知，問題等價于，由二次函數的圖像和性質可得， 時， ，仿照（1），利用導數的方法可求得時， ，由得【點評】如果一個問題的求解中既有存在性問題又有恒成立問題，這時需要深刻理解題意，對問題做等價轉化為函數的極值（最值）相關的問題去求解這里一定注意轉化的等價性、巧妙性，防止在轉化中出錯導致問題的求解出錯變式訓練: (2

9、010年山東理科節選) 已知函數，設，當時，若對，使，求實數的取值范圍.【解答】若，則易知當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增，所以在上的最小值為由于“對，使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值” 又，所以當時，因為，此時與矛盾；當時，因為，同樣與矛盾；當時，因為，解不等式，可得綜上，的取值范圍是.四、【解法小結】1曲線的交點和函數的零點的個數常常與函數的單調性與極值（最值）有關，導數是解決該類問題的有效方法，解題時注意等價轉化、分類討論、數形結合思想的運用.2有關恒成立和存在性問題，一直是高考命題的熱點試題往往以全稱命題和特稱命題的形式出現，同時結合函數的單調性、極值、最值等知識進行考

10、查求解時注意構造函數結合分離變量（參數）法將不等式恒成立問題轉化為求函數極值（最值）問題，是解決這類問題的常用方法當然也要注意等價轉化思想準確應用及數形結合思想的巧妙做法3恒成立和存在性問題的求解是“互補”關系，即對于恒成立，應求的最小值；若存在，使得成立，應求的最大值在具體問題中，究竟是求最大還是最小值，可以聯想恒成立問題是求最大還是最小值，這樣就可以確定相應的存在性問題是求最大還是最小值五、【布置作業】必做題：1若函數的減區間為，則的值是（ ）.A B C D 2已知是上的單調增函數,則的范圍是（ ）.A或B 或C D3已知三次函數在存在極大值點，則實數的范圍是（ ）. A  B

11、  C   D4（2013天津）設函數. 若實數滿足，則（ ）.A B C D 5（2013新課標全國卷2）若存在正數使成立，則的取值范圍是（ ）.A B C D6（2013新課標全國卷1）已知函數，若，則的取值范圍是（ ）.A B C D7（2009江西文改編）設函數.若方程有且僅有一個實根，則的取值范圍是 . 8（2013新課標全國卷2改編）若對任意的正數使成立，則的取值范圍是 9已知函數，若有，求的取值范圍10（2013北京文）已知函數.(1)若曲線在點)處與直線相切，求與的值.(2)若曲線與直線 有兩個不同的交點，求的取值范圍.必做題答案：1-6 CDDC

12、DD 7 8 9. 10.(1) (2) 5解法一 不等式可變形為令，從而為增函數，又，故所以選D 解法二 因為，所以由得，在同一坐標系中，如下圖作出函數，的圖象，當時，所以如果存在，使，則有，即，所以選D . 6解法一 成立（1）由恒成立得，當時，；當時，有在區間上恒成立，綜上可知，（2）由恒成立，可令，則當時，故在上單增，恒成立當時，故在上單減，恒成立，顯然不符合題意當時，對于給定的一個確定的值，總可以至少找到一個，滿足成立如時，取，則成立，當時，不符合題意所以由（1）（2）可知的取值范圍是，故選D解法二 （1） 當時，對恒成立令若時，即時，顯然不符合題意若時，即時，符合題意（2）當時，對

13、恒成立令，則，設，則，記，則，在上為減函數，故，從而，所以在時為減函數，故當時，恒成立，由（1）（2）可知的取值范圍是，故選D解法三 由的圖像知，當時，由于上任意一點的切線斜率都要大于，只有時，才能滿足，可排除B，C當時，令，則，故只有時，才能滿足綜上可知的取值范圍是，故選D9由題可知，若有，則，即，解得.10由，得. (1)因為曲線在點處與直線相切，所以 ，解得，. (2)令，得. 與的情況如下: 所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，是的最小值. 當時，曲線與直線最多只有一個交點； 當時，>， ， 所以存在，使得. 由于函數在區間和上均單調，所以當時曲線與直線有且只有兩個不同交點. 綜上可知，如果曲線與直線有且只有兩個不同交點，那么的取值范圍是. 選做題（2102福建文）已知知函數，且在上的最大值為，(1)求函數的解析式；(2)判斷函數在內的零點個數，并加以證明.選做題答案：在上恒成立，且能取到等號，在上恒成立，在上單調遞增，.（2）當時，在上單調遞增，在上有唯一零點.當時，當上單調遞減，存在唯一使，得：在上單調遞增，得：在上單調遞減，得：時，時，在上有唯一零點，由得：函數在內有兩個零點六、【教后反思】1.本教案的亮點是：首先較為全面透徹地講解與