1、點到直線的距離兩點間的距離公式（一）兩點間的距離公式（一）復習與回顧21221221)()(|yyxxPPH(x(x2 2,y,y1 1) )yxoP1P2(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) )兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )間的距離公式：間的距離公式：兩點間的距離（二）兩點間的距離（二）21221221)()(|yyxxPP(1)若直線P1P2 與x軸平行或重合，即y y1 1=y=y2 2 時時 |P|P1 1P P2 2|=|x|=|x2 2- -x x1 1| |若直線P1P2與y軸平行或

2、重合，即x x1 1=x=x2 2 時時 | P| P1 1P P2 2 |=|y |=|y2 2- -y y1 1| |(2)復習與回顧兩點間的距離公式中特別的情況：兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )間的距離公式：間的距離公式：QPyxol思考思考：已知點：已知點P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )和直線和直線l:Ax+By+C=0, l:Ax+By+C=0, 怎怎樣求樣求點點P P到直線到直線l l的距離的距離呢呢? ?點到直線的距離點到直線的距離 如圖，如圖，P P到直線到直線l l的距離，就是指從點的距離，就是

3、指從點P P到直線到直線l l的的垂線段垂線段PQPQ的長度，其中的長度，其中QQ是垂足是垂足. .OxyP0 (x0,y0)x0y0|y0|x0|（1）當當A=0或或B=0時時, ,直線方程為直線方程為y=y1或或x=x1的形式的形式。QQxyox=x1P(x0,y0)10y-yPQ 10 x-xPQ yo y=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0) 解解: :過點過點P P作作L L的垂線的垂線L L1 1, ,垂足為垂足為Q,Q, (2) )0 x1(xAB0y1y(1) 0C1By1Ax )3(111BCAxy得由LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0由點斜式得由點

4、斜式得L L1 1的方程的方程)x-(xABy-y00把（3）代入（2）得 設Q點的坐標為(x1,y1).又Q(x1,y1)是L1與L的交點，則)4()(220001BACByAxAxx),(11yx（2）A0,B 0時時 思路一思路一 利用兩點間距離公式利用兩點間距離公式。220001)(BACByAxByy201201)()(|yyxxPQ22220022)BA()CByAX)(BA( 2200BA|CByAx| 2200BA|CByAx|d 即即2220022200)()(BACByAxBBACBYAxA把（4）代入（2）得OxySR0ByCnA所以00AxByC|PS| |A22220

5、000AB|RS|AxByC|AB|P RPSH設設S(n,y0)，R(x0,m)|PS|=|X0-n|,|PR|=|y0-m|因為，因為，S,R均在均在l上上所以所以,An+By0+C=0, Ax0+Bm+C=00AyCmB所以所以00AxByC|PR|B所以所以|PS|PR |d |PH|RS|0022|AxByC|ABlP(x0,y0)(n,y0)(x0,m) 思路二思路二 構造直角三角形求其高構造直角三角形求其高。點點P(xP(x0 0,y ,y0 0) )到直線到直線l :Ax+By+C:Ax+By+C=0=0的距離公式的距離公式0022|AxByC|ABd所以我們必須注意：利用點到

6、直線的距離公式時，必須注意先把直線方程化成一般式。公式特點：（1）公式的分子部分絕對值里面的式子與直線的一般式方程等式左邊部分形式相同；（2）公式的分母部分根號里面是直線一般式形式中的x，y的系數的平方和；例例1 求點求點 到直線到直線 的距離的距離210，P23:xl解：把直線解：把直線 l 的方程化為一般式得 3x20,所以，點P0到直線 l 的距離為：350321322d思考：還有其他解法嗎？思考：還有其他解法嗎？Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32 d解法二解法二:如圖，直線如圖，直線3x=2平行于平行于y軸，軸，直線直線l的方程可化為的方程可化為23x 所以，點P0到直線

7、l 的距離為： 例例2 已知點已知點 ，求，求 的面積的面積011331，CBAABC解：如圖，設解：如圖，設 邊上的高為邊上的高為 ，則，則ABh.21hABSABCy1234xO-1123ABCh.22311322AB 邊上的高邊上的高 就是點就是點 到到 的距離的距離ABhCAB 點點 到到 的距離的距離04 yx01，C即：即：.04 yx.251140122h因此，因此，.5252221ABCS思考：還有其他解法嗎？思考：還有其他解法嗎？ 邊所在直線的方程為：邊所在直線的方程為：，131313xyAB解解: 例例2 已知點已知點 ，求，求 的面積的面積011331，CBAABCy12

8、34xO-1123ABCh2 2即：即：.04 yx因此，因此，ABCACDACBSSS 邊所在直線的方程為：邊所在直線的方程為：，131313xyAB 例例2 已知點已知點 ，求，求 的面積的面積011331，CBAABCy1234xO-1123ABCD令y0，解得D（4，0）解法二解法二: 延長AB與x軸相交于點D，115 35 122 =5練習練習1.求坐標原點到下列直線的距離：求坐標原點到下列直線的距離：(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y2.求下列點到直線的距離：求下列點到直線的距離：(1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0(2) B(1,0)， x+y - =033(

9、3) C(1,-2)， 4x+3y=0 練習yxol2l1 兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的線間的公垂線段公垂線段的長的長. .QP例例3 求平行線求平行線2x-7y+8=0與與2x-7y-6=0的距離。的距離。Oyxl2: 2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0 兩平行線間的兩平行線間的距離處處相等距離處處相等在在l2上任取一點，例如上任取一點，例如P(3,0)P到到l1的距離等于的距離等于l1與與l2的距離的距離5353145314)7(28073222 d直線到直線的距離轉化為點到直線的距離直線到直線的距離轉化為點到直線的距離P(3,

10、0)Oyxl2l1P任意兩條平行直線都可以寫成如任意兩條平行直線都可以寫成如下形式：下形式：l1 :Ax+By+C1=0l2 :Ax+By+C2=02212BACCd22200|BACByAxd的距離到直線則點上在直線設2100),(LPLyxP)(001ByAxC又直線的方程直線的方程應化為一般應化為一般式！式！練習練習3.求下列兩條平行線的距離：求下列兩條平行線的距離：(1) L1:2x+3y-8=0 ， L2:2x+3y+18=0(2) L1: 3x+4y=10 ， L2: 3x+4y-5=0解解 :點點P(4,0)在在L1上上 132132632|180342|22d則:解15543|510|22d則1 1、點、點A(a,6)A(a,6)到直線到直線x+y+1=0 x+y+1=0的距離為的距離為4 4，求，求a a的值的值. .2 2、求過點、求過點A A（1,21,2），且與原點的距離等于），且與原點的距離等于 的直線方程的直線方程 . .223 、直直線線l在兩坐標軸上的截距相等，點在兩坐標軸上的截距相等，點P(4,3)到到l的距離為的距離為3 ，求直線，求直線l的方程。的方程。22.2.兩條平行線兩條平行線Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0與與Ax+By