1、第五節(jié) 測(cè)量誤差基礎(chǔ)知識(shí)一、測(cè)量誤差概述1測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因 測(cè)量時(shí)，由于各種因素會(huì)造成少許的誤差，這些因素必須去了解，并有效的解決，方可使整個(gè)測(cè)量過程中誤差減至最少。實(shí)踐證明，產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因主要有以下三個(gè)方面。（1）人為因素。由于人為因素所造成的誤差，包括觀測(cè)者的技術(shù)水平和感覺器管的鑒別能力有一定的局限性，主要體現(xiàn)在儀器的對(duì)中、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面。（2）測(cè)量?jī)x器的原因。由于測(cè)量?jī)x器的因素所造成的誤差，包括測(cè)量?jī)x器在構(gòu)造上的缺陷、儀器本身的精度、磨耗誤差及使用前未經(jīng)校正等因素。 （3）環(huán)境因素。外界觀測(cè)條件是指野外觀測(cè)過程中，外界條件的因素，如天氣的變化、植被的不同、地面土質(zhì)松緊的差異、地形

2、的起伏、周圍建筑物的狀況，以及太陽光線的強(qiáng)弱、照射的角度大小等。測(cè)量時(shí)受環(huán)境或場(chǎng)地之不同，可能造成的誤差有熱變形誤差和隨機(jī)誤差為最顯著。熱變形誤差通常發(fā)生于因室溫、人體接觸及加工后工件溫度等情形下，因此必須在溫濕度控制下，不可用手接觸工件及量具、工件加工后待冷卻后才測(cè)量。但為了縮短加工時(shí)在加工中需實(shí)時(shí)測(cè)量，因此必須考慮各種材料之熱脹系數(shù) 作為補(bǔ)償，以因應(yīng)溫度材料的熱膨脹系數(shù) 不同所造成的誤差。在實(shí)際的測(cè)量工作中，大量實(shí)踐表明，當(dāng)對(duì)某一未知量進(jìn)行多次觀測(cè)時(shí)，不論測(cè)量?jī)x器有多精密，觀測(cè)進(jìn)行得多么仔細(xì)，所得的觀測(cè)值之間總是不盡相同。這種差異都是由于測(cè)量中存在誤差的緣故。測(cè)量所獲得的數(shù)值稱為觀測(cè)值。由

3、于觀測(cè)中誤差的存在而往往導(dǎo)致各觀測(cè)值與其真實(shí)值（簡(jiǎn)稱為真值）之間存在差異，這種差異稱為測(cè)量誤差（或觀測(cè)誤差）。用L代表觀測(cè)值，X代表真值，則誤差=觀測(cè)值L真值X，即 （5-1）這種誤差通常又稱之為真誤差。由于任何測(cè)量工作都是由觀測(cè)者使用某種儀器、工具，在一定的外界條件下進(jìn)行的，所以，觀測(cè)誤差來源于以下三個(gè)方面：觀測(cè)者的視覺鑒別能力和技術(shù)水平；儀器、工具的精密程度；觀測(cè)時(shí)外界條件的好壞。通常我們把這三個(gè)方面綜合起來稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件將影響觀測(cè)成果的精度：若觀測(cè)條件好，則測(cè)量誤差小，測(cè)量的精度就高；反之，則測(cè)量誤差大，精度就低；若觀測(cè)條件相同，則可認(rèn)為精度相同。在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè)

4、稱為等精度觀測(cè)；在不同觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè)稱為不等精度觀測(cè)。由于在測(cè)量的結(jié)果中含有誤差是不可避免的，因此，研究誤差理論的目的不是為了去消滅誤差，而是要對(duì)誤差的來源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律進(jìn)行研究，以便解決測(cè)量工作中遇到的一些實(shí)際問題。例如：在一系列的觀測(cè)值中，如何確定觀測(cè)量的最可靠值；如何來評(píng)定測(cè)量的精度；以及如何確定誤差的限度等。所有這些問題，運(yùn)用測(cè)量誤差理論均可得到解決。二、測(cè)量誤差的分類測(cè)量誤差按其性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類：（一）系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行一系列觀測(cè)，若誤差的大小和符號(hào)保持不變，或按照一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)

5、軸與水準(zhǔn)管軸不平行而引起的讀數(shù)誤差，與視線的長(zhǎng)度成正比且符號(hào)不變；經(jīng)緯儀因視準(zhǔn)軸與橫軸不垂直而引起的方向誤差，隨視線豎直角的大小而變化且符號(hào)不變；距離測(cè)量尺長(zhǎng)不準(zhǔn)產(chǎn)生的誤差隨尺段數(shù)成比例增加且符號(hào)不變。這些誤差都屬于系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差主要來源于儀器工具上的某些缺陷；來源于觀測(cè)者的某些習(xí)慣的影響，例如有些人習(xí)慣地把讀數(shù)估讀得偏大或偏小；也有來源于外界環(huán)境的影響，如風(fēng)力、溫度及大氣折光等的影響。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是具有累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響較大，因此，應(yīng)盡量設(shè)法消除或減弱它對(duì)測(cè)量成果的影響。方法有兩種：一是在觀測(cè)方法和觀測(cè)程序上采取一定的措施來消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響。例如在水準(zhǔn)測(cè)量中，保持前視和后視

6、距離相等，來消除視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行所產(chǎn)生的誤差；在測(cè)水平角時(shí)，采取盤左和盤右觀測(cè)取其平均值，以消除視準(zhǔn)軸與橫軸不垂直所引起的誤差。另一種是找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因和規(guī)律，對(duì)測(cè)量結(jié)果加以改正。例如在鋼尺量距中，可對(duì)測(cè)量結(jié)果加尺長(zhǎng)改正和溫度改正，以消除鋼尺長(zhǎng)度的影響。（二）偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的大小和符號(hào)沒有明顯的規(guī)律性，即從表面上看，誤差的大小和符號(hào)均呈現(xiàn)偶然性，這種誤差稱為偶然誤差。例如在水平角測(cè)量中照準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一樣；又如在水準(zhǔn)測(cè)量或鋼尺量距中估讀毫米數(shù)時(shí)，可能偏大也可能偏小，其大小也不一樣，這些都屬于偶然

7、誤差。產(chǎn)生偶然誤差的原因很多，主要是由于儀器或人的感覺器官能力的限制，如觀測(cè)者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等，以及環(huán)境中不能控制的因素如不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境所造成。偶然誤差在測(cè)量過程中是不可避免的，從單個(gè)誤差來看，其大小和符號(hào)沒有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)在觀測(cè)值內(nèi)部卻隱藏著一種必然的規(guī)律，這給偶然誤差的處理提供了可能性。測(cè)量成果中除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差以外，還可能出現(xiàn)錯(cuò)誤（有時(shí)也稱之為粗差）。錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因較多，可能由作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照錯(cuò)了目標(biāo)等；也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起的；還有可能是容許誤差取值過小

8、造成的。錯(cuò)誤對(duì)觀測(cè)成果的影響極大，所以在測(cè)量成果中絕對(duì)不允許有錯(cuò)誤存在。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的方法是：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測(cè)，通過多余觀測(cè)條件，進(jìn)行檢核驗(yàn)算；嚴(yán)格按照國(guó)家有關(guān)部門制定的各種測(cè)量規(guī)范進(jìn)行作業(yè)等。在測(cè)量的成果中，錯(cuò)誤可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，它在測(cè)量成果中占主導(dǎo)地位，所以測(cè)量誤差理論主要是處理偶然誤差的影響。下面詳細(xì)分析偶然誤差的特性。三、偶然誤差的特性偶然誤差的特點(diǎn)具有隨機(jī)性，所以它是一種隨機(jī)誤差。偶然誤差就單個(gè)而言具有隨機(jī)性，但在總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。在測(cè)量實(shí)踐中，根據(jù)偶然誤差的分布，我們可以明顯地看出它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例如在相同

9、的觀測(cè)條件下，觀測(cè)了217個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。已知三角形內(nèi)角之和等于180°，這是三內(nèi)角之和的理論值即真值X，實(shí)際觀測(cè)所得的三內(nèi)角之和即觀測(cè)值L。由于各觀測(cè)值中都含有偶然誤差，因此各觀測(cè)值不一定等于真值，其差即真誤差。以下分兩種方法來分析：（一）表格法由（5-1）式計(jì)算可得217個(gè)內(nèi)角和的真誤差，按其大小和一定的區(qū)間（本例為d=3），分別統(tǒng)計(jì)在各區(qū)間正負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)k及其出現(xiàn)的頻率k/n（n=217），列于表5-1中。從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)比大誤差多；絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率大致相等；最大誤差不超過27。實(shí)踐證明，對(duì)大量測(cè)

10、量誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，都可以得出上述同樣的規(guī)律，且觀測(cè)的個(gè)數(shù)越多，這種規(guī)律就越明顯。表5-1 三角形內(nèi)角和真誤差統(tǒng)計(jì)表誤差區(qū)間d正 誤 差負(fù) 誤 差合 計(jì)個(gè) 數(shù)k頻 率k/n個(gè) 數(shù)k頻 率k/n個(gè) 數(shù)k頻 率k/n0336699121215151818212124242727以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010

11、.0740.0510.0180.0050合 計(jì)1080.4981090.5022171.000（二）直方圖法為了更直觀地表現(xiàn)誤差的分布，可將表5-1的數(shù)據(jù)用較直觀的頻率直方圖來表示。以真誤差的大小為橫坐標(biāo)，以各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率k/n與區(qū)間d的比值為縱坐標(biāo)，在每一區(qū)間上根據(jù)相應(yīng)的縱坐標(biāo)值畫出一矩形，則各矩形的面積等于誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率k/n。如圖5-1中有斜線的矩形面積，表示誤差出現(xiàn)在+6+9之間的頻率，等于0.069。顯然，所有矩形面積的總和等于1。可以設(shè)想，如果在相同的條件下，所觀測(cè)的三角形個(gè)數(shù)不斷增加，則誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的（5-2）頻率就趨向于一個(gè)穩(wěn)定值。當(dāng)n時(shí)，各區(qū)間的頻率也就

12、趨向于一個(gè)完全確定的數(shù)值概率。若無限縮小誤差區(qū)間，即d0，則圖5-1各矩形的上部折線，就趨向于一條以縱軸為對(duì)稱的光滑曲線（如圖5-2所示），稱為誤差概率分布曲線，簡(jiǎn)稱誤差分布曲線，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，它服從于正態(tài)分布，該曲線的方程式為（5-3）式中：為偶然誤差；（0）為與觀測(cè)條件有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，稱為誤差分布的標(biāo)準(zhǔn)差，它的大小可以反映觀測(cè)精度的高低。其定義為：在圖5-1中各矩形的面積是頻率k/n。由概率統(tǒng)計(jì)原理可知，頻率即真誤差出現(xiàn)在區(qū)間d上的概率P（），記為（5-4）根據(jù)上述分析，可以總結(jié)出偶然誤差具有如下四個(gè)特性：（1） 有限性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；（2） 集中

13、性：即絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；（3） 對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；（4） 抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即 （5-5）式中 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，用公式表示為E（）=0。圖5-2中的誤差分布曲線，是對(duì)應(yīng)著某一觀測(cè)條件的，當(dāng)觀測(cè)條件不同時(shí)，其相應(yīng)誤差分布曲線的形狀也將隨之改變。例如圖5-3中，曲線I、II為對(duì)應(yīng)著兩組不同觀測(cè)條件得出的兩組誤差分布曲線，它們均屬于正態(tài)分布，但從兩曲線的形狀中可以看出兩組觀測(cè)的差異。當(dāng)=0時(shí)，。、是這兩誤差分布曲線的峰值，其中曲線I的峰值較曲線II的高，即12，故第I組觀

14、測(cè)小誤差出現(xiàn)的概率較第II組的大。由于誤差分布曲線到橫坐標(biāo)軸之間的面積恒等于1，所以當(dāng)小誤差出現(xiàn)的概率較大時(shí)，大誤差出現(xiàn)的概率必然要小。因此，曲線I表現(xiàn)為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測(cè)精度較高。而曲線II相對(duì)來說較為平緩，即離散度較大，因而觀測(cè)精度較低。第二節(jié)評(píng)定精度的指標(biāo)研究測(cè)量誤差理論的主要任務(wù)之一，是要評(píng)定測(cè)量成果的精度。在圖5-3中，從兩組觀測(cè)的誤差分布曲線可以看出：凡是分布較為密集即離散度較小的，表示該組觀測(cè)精度較高；而分布較為分散即離散度較大的，則表示該組觀測(cè)精度較低。用分布曲線或直方圖雖然可以比較出觀測(cè)精度的高低，但這種方法即不方便也不實(shí)用。因?yàn)樵趯?shí)際測(cè)量問題中

15、并不需要求出它的分布情況，而需要有一個(gè)數(shù)字特征能反映誤差分布的離散程度，用它來評(píng)定觀測(cè)成果的精度，就是說需要有評(píng)定精度的指標(biāo)。在測(cè)量中評(píng)定精度的指標(biāo)有下列幾種：一、 中誤差由上節(jié)可知（5-3）式定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種指標(biāo)，但那是理論上的表達(dá)式。在測(cè)量實(shí)踐中觀測(cè)次數(shù)不可能無限多，因此實(shí)際應(yīng)用中，以有限次觀測(cè)個(gè)數(shù)n計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差的估值定義為中誤差m，作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算公式為 （5-6）【例5-1】有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測(cè)了六個(gè)三角形的內(nèi)角，得三角形的閉合差（即三角形內(nèi)角和的真誤差）分別為：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。試分析兩組

16、的觀測(cè)精度。【解】用中誤差公式（5-6）計(jì)算得：從上述兩組結(jié)果中可以看出，甲組的中誤差較小，所以觀測(cè)精度高于乙組。而直接從觀測(cè)誤差的分布來看，也可看出甲組觀測(cè)的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測(cè)精度高于乙組。所以在測(cè)量工作中，普遍采用中誤差來評(píng)定測(cè)量成果的精度。注意：在一組同精度的觀測(cè)值中，盡管各觀測(cè)值的真誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)各異，而觀測(cè)值的中誤差卻是相同的，因?yàn)橹姓`差反映觀測(cè)的精度，只要觀測(cè)條件相同，則中誤差不變。在公式（5-2）中，如果令f（）的二階導(dǎo)數(shù)等于0，可求得曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)=±m。也就是說，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。從圖5-3也可看出，兩條

17、觀測(cè)條件不同的誤差分布曲線，其拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)值也不同：離散度較小的曲線I，其觀測(cè)精度較高，中誤差較小；反之離散度較大的曲線II，其觀測(cè)精度較低，中誤差則較大。二、相對(duì)誤差真誤差和中誤差都有符號(hào)，并且有與觀測(cè)值相同的單位，它們被稱為“絕對(duì)誤差”。絕對(duì)誤差可用于衡量那些諸如角度、方向等其誤差與觀測(cè)值大小無關(guān)的觀測(cè)值的精度。但在某些測(cè)量工作中，絕對(duì)誤差不能完全反映出觀測(cè)的質(zhì)量。例如，用鋼尺丈量長(zhǎng)度分別為100 m和200 m的兩段距離，若觀測(cè)值的中誤差都是±2 cm，不能認(rèn)為兩者的精度相等，顯然后者要比前者的精度高，這時(shí)采用相對(duì)誤差就比較合理。相對(duì)誤差K等于誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值的比值。它

18、是一個(gè)不名數(shù)，常用分子為1的分式表示，即式中當(dāng)誤差的絕對(duì)值為中誤差m的絕對(duì)值時(shí)，K稱為相對(duì)中誤差。 （5-7）在上例中用相對(duì)誤差來衡量，則兩段距離的相對(duì)誤差分別為1/5000和1/10000，后者精度較高。在距離測(cè)量中還常用往返測(cè)量結(jié)果的相對(duì)較差來進(jìn)行檢核。相對(duì)較差定義為 （5-8）相對(duì)較差是真誤差的相對(duì)誤差，它反映的只是往返測(cè)的符合程度，顯然，相對(duì)較差愈小，觀測(cè)結(jié)果愈可靠。三、極限誤差和容許誤差（一）極限誤差由偶然誤差的特性一可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。在一組等精度觀測(cè)值中，絕對(duì)值大于m（中誤差）的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；絕

19、對(duì)值大于2m的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為4.5%；絕對(duì)值大于3m的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為0.3%。根據(jù)式（5-2）和式（5-4）有上式表示真誤差出現(xiàn)在區(qū)間（-，+）內(nèi)的概率等于0.683，或者說誤差出現(xiàn)在該區(qū)間外的概率為0.317。同法可得上列三式的概率含義是：在一組等精度觀測(cè)值中，絕對(duì)值大于的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；絕對(duì)值大于2的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為4.5%；絕對(duì)值大于3的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為0.3%。在測(cè)量工作中，要求對(duì)觀測(cè)誤差有一定的限值。若以m作為觀測(cè)誤差的限值，則將有近32%的觀測(cè)會(huì)超過限值而被認(rèn)為不合格，顯然這樣要求過分苛刻。而大于3m的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)只有3，在

20、有限的觀測(cè)次數(shù)中，實(shí)際上不大可能出現(xiàn)。所以可取3m作為偶然誤差的極限值，稱極限誤差，。（二）容許誤差在實(shí)際工作中，測(cè)量規(guī)范要求觀測(cè)中不容許存在較大的誤差，可由極限誤差來確定測(cè)量誤差的容許值，稱為容許誤差，即當(dāng)要求嚴(yán)格時(shí)，也可取兩倍的中誤差作為容許誤差，即如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于所規(guī)定的容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不可靠，應(yīng)舍去不用或重測(cè)。第三節(jié) 誤差傳播定律前面已經(jīng)敘述了評(píng)定觀測(cè)值的精度指標(biāo)，并指出在測(cè)量工作中一般采用中誤差作為評(píng)定精度的指標(biāo)。但在實(shí)際測(cè)量工作中，往往會(huì)碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測(cè)的，而由一些可以直接觀測(cè)的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出，這些量稱為間接觀測(cè)量。例

21、如用水準(zhǔn)儀測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的高差h，通過后視讀數(shù)a和前視讀數(shù)b來求得的，h=ab。由于直接觀測(cè)值中都帶有誤差，因此未知量也必然受到影響而產(chǎn)生誤差。說明觀測(cè)值的中誤差與其函數(shù)的中誤差之間關(guān)系的定律，叫做誤差傳播定律，它在測(cè)量學(xué)中有著廣泛的用途。一、 誤差傳播定律設(shè)Z是獨(dú)立觀測(cè)量x1，x2，xn的函數(shù)，即(a) 式中：x1，x2，xn為直接觀測(cè)量，它們相應(yīng)觀測(cè)值的中誤差分別為m1，m 2，mn，欲求觀測(cè)值的函數(shù)Z的中誤差mZ。設(shè)各獨(dú)立變量xi（i=1，2，n）相應(yīng)的觀測(cè)值為L(zhǎng)i，真誤差分別為xi，相應(yīng)函數(shù)Z的真誤差為Z。則因真誤差xi均為微小的量，故可將上式按泰勒級(jí)數(shù)展開，并舍去二次及以上的各項(xiàng)，得:（

22、a）減去（b）式，得（b）上式即為函數(shù)Z的真誤差與獨(dú)立觀測(cè)值Li的真誤差之間的關(guān)系式。式中為函數(shù)Z分別對(duì)各變量xi的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測(cè)值（xi=Li）代入偏導(dǎo)數(shù)后的值，故均為常數(shù)。若對(duì)各獨(dú)立觀測(cè)量都觀測(cè)了k次，則可寫出k個(gè)類似于（c）式的關(guān)系式將以上各式等號(hào)兩邊平方后再相加，得上式兩端各除以k，因各變量xi的觀測(cè)值Li均為彼此獨(dú)立的觀測(cè)，則xixj當(dāng)ij時(shí)，亦為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性可知，上式的末項(xiàng)當(dāng)k時(shí)趨近于0，即故上式可寫為 根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成當(dāng)k為有限值時(shí)，即 （5-9）或 （5-10）式中為函數(shù)Z分別對(duì)各變量xi的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測(cè)值（xi=Li）代入偏導(dǎo)數(shù)后的值，故

23、均為常數(shù)。公式（5-9）或（5-10）即為計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。從公式的推導(dǎo)過程，可以總結(jié)出求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟如下：1列出獨(dú)立觀測(cè)量的函數(shù)式：2求出真誤差關(guān)系式。對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，得因dZ、dx1、dx2、都是微小的變量，可看成是相應(yīng)的真誤差Z、x1、x2、，因此上式就相當(dāng)于真誤差關(guān)系式，系數(shù)均為常數(shù)。3求出中誤差關(guān)系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數(shù)也平方，即可直接寫出中誤差關(guān)系式：按上述方法可導(dǎo)出幾種常用的簡(jiǎn)單函數(shù)中誤差的公式,如表5-2所列,計(jì)算時(shí)可直接應(yīng)用。表5-2 常用函數(shù)的中誤差公式函 數(shù) 式函 數(shù) 的 中 誤 差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)若時(shí)二、 應(yīng)用舉例誤差傳

24、播定律在測(cè)繪領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，利用它不僅可以求得觀測(cè)值函數(shù)的中誤差，而且還可以研究確定容許誤差值。下面舉例說明其應(yīng)用方法。【例5-2】在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長(zhǎng)度為d=23.4 mm，其中誤差md=±0.2 mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D及其中誤差mD。解：函數(shù)關(guān)系式為D=Md，屬倍數(shù)函數(shù)，M=500是地形圖比例尺分母。兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為11.7 m±0.1 m。【例5-3】水準(zhǔn)測(cè)量中，已知后視讀數(shù)a=1.734 m，前視讀數(shù)b=0.476 m，中誤差分別為ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。解：

25、函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258 m±0.004 m。【例5-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為L(zhǎng)=247.50 m，中誤差mL=±0.05 m，并測(cè)得傾斜角=10°34，其中誤差m=±3，求水平距離D及其中誤差mD。解：首先列出函數(shù)式水平距離這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，先求出各偏導(dǎo)值如下：寫成中誤差形式故得D=243.30 m±0.06 m。【例5-5】圖根水準(zhǔn)測(cè)量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為mi=±2 mm，假定視距平均長(zhǎng)度為50 m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測(cè)段長(zhǎng)度為L(zhǎng)

26、km的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測(cè)量往返測(cè)所得高差閉合差的容許值。解：已知每站觀測(cè)高差為：則每站觀測(cè)高差的中誤差為：因視距平均長(zhǎng)度為50 m，則每公里可觀測(cè)10個(gè)測(cè)站，L公里共觀測(cè)10L個(gè)測(cè)站，L公里高差之和為：L公里高差和的中誤差為：往返高差的較差（即高差閉合差）為：高差閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：在前面水準(zhǔn)測(cè)量的學(xué)習(xí)中，我們?nèi)。╩m）作為閉合差的容許值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）。三、 注意事項(xiàng)應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（一）要正確列出函數(shù)式例：用長(zhǎng)30 m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為ml=

27、±5 mm，求全長(zhǎng)D及其中誤差mD。全長(zhǎng)，為倍乘函數(shù)。但實(shí)際上全長(zhǎng)應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為（為和差函數(shù)）。用和差函數(shù)式求全長(zhǎng)中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長(zhǎng)中誤差為若按倍數(shù)函數(shù)式求全長(zhǎng)中誤差，將得出按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯(cuò)誤的。（二）在函數(shù)式中各個(gè)觀測(cè)值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。如有函數(shù)式 （a） （b）若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。若直接用公式計(jì)算,由（a）式得： （c）而 將以上兩式代入（c）式得但上面所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。因?yàn)閥1和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測(cè)值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。正確的做法

28、是先把(b)式代入(a)式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。第四節(jié) 等精度直接觀測(cè)平差當(dāng)測(cè)定一個(gè)角度、一點(diǎn)高程或一段距離的值時(shí)，按理說觀測(cè)一次就可以獲得。但僅有一個(gè)觀測(cè)值，測(cè)的對(duì)錯(cuò)與否，精確與否，都無從知道。如果進(jìn)行多余觀測(cè)，就可以有效地解決上述問題，它可以提高觀測(cè)成果的質(zhì)量，也可以發(fā)現(xiàn)和消除錯(cuò)誤。重復(fù)觀測(cè)形成了多余觀測(cè)，也就產(chǎn)生了觀測(cè)值之間互不相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測(cè)值求出觀測(cè)值的最佳估值，同時(shí)對(duì)觀測(cè)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估，即是“測(cè)量平差”所研究的內(nèi)容。對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差，稱為直接觀測(cè)平差。根據(jù)觀測(cè)條件，有等精度直接觀測(cè)平差和不等精度直接觀測(cè)平差。平差的結(jié)果是得到

29、未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般稱這個(gè)最接近真值的估值為“最或然值”，或“最可靠值”，有時(shí)也稱“最或是值”，一般用x表示。本節(jié)將討論如何求等精度直接觀測(cè)值的最或然值及其精度的評(píng)定。一、等精度直接觀測(cè)值的最或然值等精度直接觀測(cè)值的最或然值即是各觀測(cè)值的算術(shù)平均值。用誤差理論證明如下：設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為L(zhǎng)1、L 2、Ln，該量的真值設(shè)為X，各觀測(cè)值的真誤差為1、2、n，則i=Li-X（i=1，2，n），將各式取和再除以次數(shù)n，得即根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性有所以由此可見，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n趨近于無窮大時(shí)，算術(shù)平均值就趨向于未知量的真值。當(dāng)n為有限值時(shí)，算術(shù)平均值最

30、接近于真值，因此在實(shí)際測(cè)量工作中，將算術(shù)平均值作為觀測(cè)的最后結(jié)果，增加觀測(cè)次數(shù)則可提高觀測(cè)結(jié)果的精度。二、評(píng)定精度（一） 觀測(cè)值的中誤差1由真誤差來計(jì)算當(dāng)觀測(cè)量的真值已知時(shí)，可根據(jù)中誤差的定義即由觀測(cè)值的真誤差來計(jì)算其中誤差。2由改正數(shù)來計(jì)算在實(shí)際工作中，觀測(cè)量的真值除少數(shù)情況外一般是不易求得的。因此在多數(shù)情況下，我們只能按觀測(cè)值的最或然值來求觀測(cè)值的中誤差。（1）改正數(shù)及其特征最或然值x與各觀測(cè)值Li之差稱為觀測(cè)值的改正數(shù)，其表達(dá)式為 （5-11）在等精度直接觀測(cè)中，最或然值x即是各觀測(cè)值的算術(shù)平均值。即顯然 （5-12）上式是改正數(shù)的一個(gè)重要特征，在檢核計(jì)算中有用。（2）公式推導(dǎo)已知，將此式與式（5-8）相加，得 （a）令，則 （b）對(duì)上面各式兩端取平方，再求和 （c）而根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)n時(shí)，上式的第二項(xiàng)趨近于零；當(dāng)n為較大的有限值時(shí)，其值