1、第第2 2章章 平面力系平面力系力系力系 平面力系平面力系 空間力系空間力系 匯交力系匯交力系 一般力系一般力系 匯交力系匯交力系 平行力系平行力系 平行力系平行力系 一般力系一般力系 2.1.2.1.平面一般力系平面一般力系 定義定義：作用在物體上的各力的作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行，這樣的力系稱為平面一般力系。如圖起重機橫梁。 GQFAyFAxFT 2.2 2.2 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影注意注意：力的投影是代數量，有正負之分。規定如下：如由a到b（或由a1到b1）的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。 AF

2、yoxBaba1b1FxFy 若已知力F F在直角坐標軸上的投影，則該力的大小和方向為： 若已知力F F 的大小為F，它和x軸的夾角為，則力在坐標軸上的投影可按下式計算：22coscosxyxyFFFFFFFcossinxyFFFF 合力投影定理合力投影定理 ：合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。它是用解析法求解平面匯交力系合成與平衡問題的理論依據。 ynyyyyxnxxxxFFFFFFFFFF2121 平面匯交力系的平衡條件平面匯交力系的平衡條件 ：該力系的合力F F等于零，即力系中所有力在任選兩個坐標軸上投影的代數和均為零。 平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程

3、： 00yxFF 靜力學平衡問題的一般方法和步驟靜力學平衡問題的一般方法和步驟 ：（1）選擇研究對象 （2）畫受力圖 （3）建立坐標系，根據平衡 條件列平衡方程 例1.如圖所示吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，F2=5000N，F3=3000N。試求合力。 解解 建立如圖坐標系。分別計算各力的投影。112000 xFFN 22cos305000 0.8664330 xFFNN 03xF01yFNNFFy25005 . 0500030sin22NFFy3000332000433006330 xxFFNN NNFFyy55003000250002222633055008386xy

4、FFFNN 則合力的大小為：由合力投影定理可得：由于Fx、Fy都是負值，所以合力應在第三象限： cos/6330/83860.7548xFF41例例2.2.如圖所示一簡易起重機裝置，重量G G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。 FGFABFACx xy解解: :取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并建立如圖直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程： FGFABFACx xy030cos30sinGFFNA

5、C030sin30cosFFFNACNABcos3022 0.8667.46sin300.5NACGFFkNkN cos30sin30NABNACFFF 7.46 0.8662 0.55.46kNkN F FNACNAC為負值，表明F FNACNAC的實際指向與假設方向相反，其反作用力為AC桿所受的力，所以AC桿為受壓桿件。 2.2.力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 力對點之矩力對點之矩 概念概念 ：力使物體產生轉動效應轉動效應的物理量稱為力矩力矩。產生轉動的中心點稱為力矩中心（簡稱矩心），力的作用線到力矩中心的距離d稱為力臂力臂，力使物體繞矩心轉動的效應取決于力F的大小與力臂d的乘積及力矩的

6、轉動方向。力對點之矩用M MO O（F F）來表示，即 ： FdFMO力矩是代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。規定力使物體繞矩心作逆時針逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。力矩的單位 是或 mkN mN 合力矩定理：合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。即： 1nOOiiMFMF 力對點之矩的求法力對點之矩的求法 方法方法1 1：用力矩的定義式定義式，即力和力臂的乘積求力矩。這種方法的關鍵在于確定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直垂直于力的作用線。 方法方法2 2：運用合力矩定理合力矩定理求力

7、矩。在工程實際中，有時力臂的幾何關系較復雜，不易確定時，可將作用力正交分解為兩個分力，然后應用合力矩定理求原力對矩心的力矩。 例：如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F F作用于C點，其方向角為 ，又知OB= ，BC= ，求力F F對O點的力矩。 hl解：解：用力矩的定義進行求解。過點O作出力F F作用線的垂線與其交于點a，則力臂d即為線段oa。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則: sincosOMFFdF obabF lh 力偶及其性質力偶及其性質它既不平衡，也不能合成為一個合力，只能使物體產生轉動效應。力偶兩個力所在的平面，稱為力偶力偶作用面。作用面。兩力作用線

8、之間的垂直距離，叫作力偶臂（力偶臂（以d來表示）。力偶使物體轉動的方向稱為力偶的轉向。力偶的轉向。力偶對物體的轉動效應，取決于力偶中的力與力偶臂的乘積，稱為力偶矩。力偶矩。記作： 或M： 定義：定義：作用在物體上的一對大小相等、方向相反、作用線相互平行相互平行兩個力稱為力偶力偶，記作FF，FFM，FdFFM， 力偶同力矩一樣，是一代數量。其正負號正負號只表示力偶的轉動方向，規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。 力偶矩的單位單位是： 或 力偶矩的大小大小、轉向轉向和作用平面作用平面稱為力偶的三要素力偶的三要素。 mN mkN 力偶的性質力偶的性質1.力偶無合力，力偶不能用一個力來等效，

9、也不能用一個力來平衡，力偶只能用力偶來平衡。 力和力偶是組成力系的兩個基本物理量。力和力偶是組成力系的兩個基本物理量。2.力偶對其作用平面內 任一點的力矩，恒等 于其力偶矩，而與矩 心的位置無關。 如圖所示： 3.力偶的等效性： 作用在同一平面內的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等、力偶的轉向相同，則這兩個力偶是等效的。推論推論1 1 力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的轉動效應。即力偶對物體的轉動效應與它在作用面內的位置無關。推論推論2 2 在保持力偶矩大小和力偶轉向不變的情況下，可以同時改變力偶中力的大小和力臂的長短，而不會改變力偶對物體的轉動效應。 3.3.平面力偶系的合成與平

10、衡平面力偶系的合成與平衡 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 力偶對物體只產生轉動效應，轉動效應的大小取決于力偶矩的大小及轉向。所以，物體內某一平面內受力偶系作用時，也只能使物體產生轉動效應。力偶系對物體轉動效應的大小等于各力偶轉動效應的總和，即平面力偶系可以合成為一個合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代數和。合力偶矩用M表示： MMMMMn21 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數和等于零。力偶系中各力偶矩的代數和等于零。 0M例1： 梁AB 受一主動力偶作用，如圖，其力偶矩 ，梁長 ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。 mNM1005lm 解

11、解: :以梁為研究對象，受力圖，如圖所示。作用于梁上的有矩為M的力偶和兩支座的約束反力F FA A、F FB B。根據力偶只能用力偶來平衡的性質可知F FA A必須與F FB B組成一個力偶，即力F FA A必須與F FB B大小相等、方向相反、作用線平行。 平衡方程為：0BF lM100/205ABFFM lNN例2： 電機軸通過聯軸器與工件相連接，聯軸器上四個螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，如圖示。此圓周的直徑 ，電機軸傳給聯軸器的力偶矩 ，求每個螺栓所受的力。 150dmm2.5MkN m解：解：以聯軸器為研究對象。聯軸器上的力有力偶矩M M，四個螺栓的約束反力，假設四個

12、螺栓的受力均勻，則F1=F2=F3=F4=F，如圖所示。由平面力偶系平衡條件可知，F F1 1與F F3 3 、F F2 2與F F4 4組成兩個力偶，與電動機傳給聯軸器的力偶矩M M平衡。據平面力偶系的平衡方程 ：0FdFdM2.58.3322 0.15MFkNkNd 平面一般力系的簡化平面一般力系的簡化 1.1.力的平移定理力的平移定理FAOFF FF AOFF M=因此：作用于剛體上的力，可平移到剛體上的作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。等于原力對平移點的力矩。 FMFdFFMO ，d

13、d2.2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化平面一般力系向平面內任意一點的簡化 作用于簡化中心O點的平面匯交力系可合成為一個力，稱為該力系的主矢主矢 ，其作用線過簡化中心點O。各附加力偶組成的平面力偶系的合力偶矩，稱為該力系的主主矩矩 。主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上,如圖示。主矢的大小和方向為：RFxyyxyxRFFFFFFFtan2222OM3.3.簡化結果及分析簡化結果及分析結果結果：平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢和一個主矩，主矢的大小和方向與簡化中心的選擇無關。主矩的值一般與簡化中心的選擇有關。 分析分析：（1）若 ，則原力系簡化為一個力和

14、一個力偶。在這種情況下，根據力的平移定理，這 個力和力偶還可以繼續合成為一個合力F FR R，其作用 線離O點的距離為 ，利用主矩的轉向來 確定合力F FR R的作用線在簡化中心的哪一側。00ORMF，/ORdMFOF FR R MoOF FR R d OMoF FR R OF FR R d (2)若 ，則原力系簡化為一個力。在這種情況下，附加力偶系平衡，主矢即為原力系的合力F FR R，作用于簡化中心。(3)若 ，則原力系簡化為一個力偶，其矩等于原力系對簡化中心的主矩。在這種情況下，簡化結果與簡化中心的選擇無關。即無論力系向哪一點簡化都是一個力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若 ，則原力系是平衡

15、力系。 同理，如果力系是平衡力系，該力系的主矢、主矩必然為零。因此， 就是平面一般力平面一般力系平衡的必要與充分條件系平衡的必要與充分條件。 00ORMF，00ORMF，00ORMF，00ORMF，由此可由此可得平面得平面一般力一般力系的系的平平衡方程衡方程為為 ：00( )0 xyOFFMF例例1 1：求圖示梁支座的約束反力。已知 ：2FkN2amaaaFFAB解:取梁為研究對象。受力圖如圖示。建立坐標系，列平衡方程：FyFxFByxFx- FBsin30=0 Fy+ FBcos30-2F=0-Fa-2Fa+ 3aFBcos30=000( )0 xyOFFMF即：求得：FB =2.3KN F

16、x = 1.15KN Fy =2KN5.5.平面平行力系平面平行力系 定義：定義：平面力系中各力的作用線互相平行，則稱為平行力系，如圖所示。F1F2F3F4F5yxo 平面平行力系的平衡方程：平面平行力系的平衡方程：如取坐標系中Oy軸與各力平行，各力在x軸上的投影恒等于零，即 因此，平面平行力系的平衡方程平衡方程為： 。0 xF 00FMFOy 00FMFMBA或式中式中A A、B B 兩點連線不能與各力的作用線平行。兩點連線不能與各力的作用線平行。 例例2 2：如圖示為鐵路起重機，起重機重力G1 1=500kN，重心C在兩鐵軌的對稱面內，最大起重力F=200kN。為保證起重機在空載和滿載時都

17、不致翻倒，求平衡重力G及其距離x。尺寸如圖所示。 空載時，以A點為矩心，列平衡方程： GX-0.75G1 =0 (1) 解：設左邊鐵軌對起重機的支撐力為FA，左邊鐵軌對起重機的支撐力為FB。則：空載時，此時FB=0；滿載時，FA=0。 滿載時，以B點為矩心，列平衡方程： G(X+1.5)+0.75G1-6F =0 (2) 由（1）、（2）可得： G=300KN X=1.25m6.6.物體系統的平衡條件物體系統的平衡條件 由多個構件通過一定的約束組成的系統稱為物物體系統體系統（物系）物系）。系統外部物體對系統的作用力稱為物系外力物系外力；系統內部各構件之間的相互作用力稱為物系內力物系內力。 在求

18、解物系的平衡問題時，不僅要考慮系統外力，同時還要考慮系統內力。 若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。 例例3:3: 如圖所示一三鉸拱橋。左右兩半拱通過鉸鏈C聯接起來，通過鉸鏈A、B與橋基聯接。已知G G=40kN，P P=10kN。試求鉸鏈A、B、C三處的約束反力。 3m解解: :取整體為研究對象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標系。列平衡方程 0NAxNBxFF20NAyNByFFPG129110NByFPGG解之得：47.5NByFkN42.5NAyFkN取左半拱為研究對象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標系。列解平衡

19、方程 ：0NAxNCxFF0NCyNAyFFG6560NAxNAyFGF解之得：9.2NAxFkN9.2NCxFkN2.5NCyFkN所以：9.2NBxFkN7.7.考慮摩擦時的平衡問題考慮摩擦時的平衡問題 摩擦可分為滑動摩擦和滾動摩擦。本節主要介紹靜滑動摩擦及考慮摩擦時物體的平衡問題。 （1 1）滑動摩擦：）滑動摩擦：兩物體接觸表面間產生相對滑動或具有相對滑動趨勢時所具有的摩擦。 兩物體表面間只具有滑動趨勢而無相對滑動時的摩擦，稱為靜滑動摩擦（靜摩擦）靜滑動摩擦（靜摩擦）； 接觸表面間產生相對滑動時的摩擦，稱為動滑動摩擦（動摩擦）動滑動摩擦（動摩擦）。 靜滑動摩擦靜滑動摩擦F FT T很小時

20、，B盤沒有滑動而只具有滑動趨勢，此時物系將保持平衡。摩擦力F Ff f與主動力F FT T等值。F FT T逐漸增大，F Ff f也隨之增加。F Ff f具有約束反力的性質，隨主動力的變化而變化。F Ff f增加到某一臨界值F Ffmaxfmax時，就不會再增大，如果繼續增大F FT T，B盤將開始滑動。因此，靜摩擦力隨主動力的不同而變化，其大小由平衡方程決定，但介于零與最大值之間，即：max0ffFF靜摩擦定律：靜摩擦定律：實驗證明，最大靜摩擦力的方向與物體相對滑動趨勢方向相反，大小與接觸面法向反力F FN N的大小成正比，即： 式中比例常數 稱為靜摩擦系數靜摩擦系數， 的大小與兩物體接觸面

21、的材料及表面情況（粗糙度、干濕度、溫度等）有關，而與接觸面積的大小無關。一般材料的靜摩擦系數可在工程手冊上查到。常用材料的值見表。 maxfNFfFff動滑動摩擦動滑動摩擦動摩擦定律動摩擦定律: :當水平力F FT T超過F Ffmaxfmax時，盤B開始加速滑動，此時盤B所受到的摩擦阻力已由靜摩擦力轉化為動摩擦力。實驗證明，動滑動摩擦力的大小與接觸表面間的正壓力F FN N成正比，即： 式中比例常數 稱為動摩擦系數，其大小除了與兩接觸物體的材料及表面情況有關外，還與兩物體的相對滑動速度有關。常用材料的值見表。 NfFfFf（2 2）摩擦角與自鎖現象）摩擦角與自鎖現象 摩擦角摩擦角 FpGFN

22、FfFRF FN N 正壓力F Ff f 靜摩擦力F FR R 全約束反力 （全反力） 全反力與接觸面 法線的夾角m:全反力與法線間的最大夾角。摩擦系數摩擦系數f f ：摩擦角的正切值。即： fFfFFFNNNfmmaxtan摩擦錐：摩擦錐：如果物體與支承面的靜摩擦系數在各個方向都相同，則摩擦角范圍在空間就形成為一個錐體，稱為摩擦錐摩擦錐。m自鎖：自鎖：若主動力的合力F FQ Q作用在錐體范圍內，則約束面必產生一個與之等值、反向且共線的全反力F FR R與之平衡。但無論如何增加力F FQ Q，物體總能保持平衡。全反力作用線不會超出摩擦錐的這種現象稱為自鎖自鎖。 FQF FR R自鎖條件自鎖條件

23、 : :m（3 3）考慮摩擦的平衡問題）考慮摩擦的平衡問題 考慮摩擦與不考慮摩擦時構件的平衡問題，求解方法基本相同。不同的是在畫受力圖時要畫出摩擦力Ff ，并需要注意摩擦力的方向與滑動摩擦力的方向與滑動趨勢方向相反，不能隨意假定趨勢方向相反，不能隨意假定。 由于Ff值是一個范圍（平衡范圍平衡范圍），確定這個范圍可采取兩種方式：一種是分析平衡時的臨界情況，假定摩擦力取最大值，以Ff=Ffmax=fFN作為補充條件，求解平衡范圍的極值。另一種是直接采用 ，以不等式進行運算。 fNFfF例例1 1：已知如圖重力G=100N， ，物塊與斜面間摩擦系數f=0.38,f =0.37，求物塊與斜面間的摩擦力。試問物塊在斜面上是靜止、下滑還是上滑？如果要使物塊上滑，求作用在物塊并與斜面平行的力F F至少應多大？ 30GFf f物體受主動力物體受主動力G的作用，不可能