1、數學物理方法數學物理方法復習綱要復習綱要v1.課程考核成績課程考核成績: 平時成績平時成績30%+期末成績期末成績70%v2.考試題型考試題型: 九大題九大題(計算題計算題), 前八題每題前八題每題10分，第九題分，第九題20分，共分，共100分分.復變函數復變函數：考：考1，2，3，4，5章，共章，共6題，題，除了第除了第3章考兩題外其它章一章一題，每題章考兩題外其它章一章一題，每題10分，共分，共60分；分；積分變換積分變換：考：考1，2章，一章一道題，每題章，一章一道題，每題10分，共分，共20分；分；數學物理方程與特殊函數數學物理方程與特殊函數：考：考2章，共章，共1道道題，共題，共2

2、0分。分。部分部分第一章第一章 復數與復變函數復數與復變函數第二章第二章 解析函數解析函數第三章第三章 復變函數的積分復變函數的積分第四章第四章 級數級數第五章第五章 留數留數第一章第一章 復數與復變函數復數與復變函數考核知識點：考核知識點：1. 復數的定義復數的定義, 復數的代數運算復數的代數運算, 共軛復數共軛復數 的定義與性質。的定義與性質。2 .復平面和復數的點表示法、復數的向量復平面和復數的點表示法、復數的向量表示法。表示法。3. 復數的代數式、三角式及指數式。復數的代數式、三角式及指數式。4. 常用曲線的復數方程。常用曲線的復數方程。5. 復數的積與商復數的積與商, 復數的冪與方根

3、。復數的冪與方根。6. 點點z0的鄰域的鄰域, 區域。區域。7. 復變函數定義復變函數定義, 映射映射。要掌握的概念和公式1.對于任意二實數x,y, 稱z=x+iy或z=x+yi為復數, x,y分別稱為z的實部和虛部, 記作vx=Re(z), y=Im(z)2. z=x+iy共軛的復數記作z，即zxiy)Im(2),Re(2)iv;)Im()Re()iii;)ii;,) i:,22212121212121zizzzzzzzz zzzzzzzzzzzzzzziyxziyxz共軛復數的性質則如果3.在復平面上, 復數z還與從原點指向點z=x+iy的平面向量一一對應, 因此復數z也能用向量OP來表示

4、. 向量的長度稱為z的模或絕對值, 記作) 1 . 2 . 1 (|22yxrzOxyxyqPz=x+iy|z|=r4.在z0的情況, 以正實軸為始邊, 以表示z的向量OP為終邊的角的弧度q稱為z的輻角, 記作Arg z=q這時, 有滿足 pm時，那么稱 是f(z)的m階極點。0mc0ncz（3）、如果有無限個整數n0，使 ,即含有無限個正冪項,則 是f(z)的本性奇點。0ncz,)(110nnnnnnnnnzcczczczfmz5.留數的定義及留數定理Dz1z2z3znC1C2C3CnC留數定理留數的求法定理二定理二 如果 f (z)在擴充復平面內只有有限個孤立奇點,那末 f (z)在所有各

5、奇點(包括點)的留數總和必等于零.2. 形如( )dR xx的積分 當被積函數 R(x)是 x 的有理函數, 而分母的次數至少比分子的次數高二次, 并且 R(x)在實軸上沒有孤立奇點時, 積分是存在的. z1z2z3yCRRROx1111( ),2nnnmmmza zaR zmnzb zb為一已約分式.( )cosd( )sind2Res ( ),.aizkR xax xiR xax xiR z ez)0()(adxexRaix重點掌握的知識點和題型重點掌握的知識點和題型第三節，留數在定積分上的應用，第三節，留數在定積分上的應用，P185習題習題13的的3）、）、4）、）、5）部分部分第一章第

6、一章 Fourier 變換變換第二章第二章 Laplace 變換變換第一章第一章 Fourier 變換變換v考核知識點考核知識點1 Fourier變換的定義變換的定義:(1.9),(1.10)。2 Fourier正弦、余弦變換的定義正弦、余弦變換的定義:(1.11) (1.14) .3 單位脈沖函數的定義、公式單位脈沖函數的定義、公式(1.17); Fd d(t)=1, F e-j( - 0)t =2pdpd(0)4 周期函數的頻譜周期函數的頻譜An=2|cn|和非周期函數的頻譜和非周期函數的頻譜|F( )|.5 Fourier變換的性質變換的性質:線性性質，位移性質，微分性線性性質，位移性質

7、，微分性質，積分性質質，積分性質6 卷積的定義和卷積定理。卷積的定義和卷積定理。1.傅氏積分定理：若f(t)在(, +)上滿足條件: (1), f(t)在任一有限區間上滿足狄氏條件; (2), f(t)在無限區間(, +)上絕對可積, 則有收斂絕對可積是指的在來代替應以處在它的間斷點而左端的成立ttftftfttfeeftftd| )(|),(.2)0()0(,)(,)4 . 1 (dd)(21)(jjp若函數f(t)滿足Fouier積分定理的條件, 則在f(t)的連續點處, 有)10.1(de)(21)()9.1(de)()()4.1(dede)(21)(jjjjpptttFtfttfFft

8、f則設(1.9)式叫做f(t)的Fourier變換式, (1.10)式為F()的Fourier逆變換式, f(t)與F()可相互轉換,可記為F()=F f(t) 和 f(t)=F 1F()若函數f(t)是奇函數，由)12. 1 (dsin)(2)()11. 1 (dsin)()()7 . 1 (dsindsin)(2)(0000pptFtftttfFtftfss則設(1.11)式叫做f(t)的Fourier正弦變換式, (1.12)式為F()的Fourier正弦逆變換式, 分別記為Fs()=Fs f(t) 和 f(t)=Fs1Fs()若函數f(t)是偶函數，由)14. 1 (dcos)(2)(

9、)13. 1 (dcos)()()8 . 1 (dcosdcos)(2)(0000pptFtftttfFtftfcc則設(1.13)式叫做f(t)的Fourier余弦變換式, (1.14)式為F()的Fourier余弦逆變換式, 分別記為Fc()=Fc f(t) 和 f(t)=Fc1Fc()稱de(t)的弱極限為d-函數, 記為d(t) 0 (d)(1limd)(1limd)()(limd)()()(lim)(000000fttfttfttftttfttteeeeeeeeeedddd則有其它00/1)(eedettde(t)1/eeO2. d2. d-函數函數工程上將d-函數稱為單位脈沖函數,

10、 可將d-函數用一個長度等于1的有向線段表示, 這個線段的長度表示d-函數的積分值, 稱為d-函數的強度。tOd(t)1d-函數有性質)(d)()()0(d)()(1d)(00tfttfttfttftttddd及1ede)()()(0ttjtjtttFddFvd-函數的傅氏變換為:)(2de)(2de)(2)(,e)()(2)(, 1)()(de)(0)j(j0jj00pdpdpdpdttFtfFtfFttftttt，得或在頻譜分析中, 傅氏變換F()又稱為非周期函數f(t)的頻譜函數, 而它的模|F()|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜). 由于是連續變化的, 我們稱之為連續頻譜, 對一

11、個時間函數作傅氏變換, 就是求這個時間函數的頻譜.3.非周期函數的頻譜ttftfFtjde)()()(F(1).線性性質 設F1()=F f1(t), F2()=F f2(t), 其中,是常數, 則 F f1(t)+f2(t)=F1()+F2() (1.18)F 1F1()+F2()=f1(t)+f2(t) (1.19)4.Fourier變換的性質變換的性質(2). 位移 性質:)20. 1 ()()(00tfettftjFF)21. 1 ()()(00tfeFtj-1F(3).微分性質 如果f(t)在(, +)上連續或只有有限個可去間斷點, 且當|t|+時, f(t)0, 則 F f (t)

12、=j F f(t). (1.22)象函數的導數公式, 設F f(t)=F(), 則)(j)()(ddtftFnnnnF(4). 積分性質)24. 1 ().(j1d)(0d)()(,tfttfttftgtttFF則時如果當5.卷積的概念若已知函數f1(t), f2(t), 則積分d)()(21tffv稱為函數f1(t)與f2(t)的卷積, 記為f1(t)*f2(t)d)()()()(2121tfftftf卷積定理 假定f1(t), f2(t)都滿足傅氏積分定理中的條件, 如F f1(t) =F1()F f2(t)=F2()則 Ff1(t) * f2(t) = F1()F2()以及)()(21)

13、()(F2121pFFtftf重點掌握的知識點和題型重點掌握的知識點和題型v求函數的求函數的Fourier變換及其變換及其Fourier逆變逆變換，特別是，掌握正弦函數換，特別是，掌握正弦函數sin(nt)的的Fourier變換。變換。 例如，例如，P36習題習題11、2）、）、3）(正弦函數正弦函數Sinkt的的Fourier變換變換)。第二章第二章 Laplace 變換變換v考核知識點考核知識點v1 Laplace變換的定義變換的定義:(2.1)。v2 Laplace變換的性質變換的性質:線性性質，位移性線性性質，位移性質，微分性質，積分性質，延遲性質質，微分性質，積分性質，延遲性質v3

14、Laplace逆變換逆變換: (2.16)(2.19)v4 卷積的定義和卷積定理。卷積的定義和卷積定理。v5記住記住Lu(t)=1/s,Ld d(t)=1,Leat=1/(s-a), Ltn= n+1/sn+1, n-1.1.定義 設函數f(t)當t0時有定義, 且積分)(de)(0是一個復參量sttfst)1 .2(de)()(0ttfsFst在s的某一域內收斂, 則此積分確定的函數可寫為稱此式為函數f(t)的拉普拉斯(Laplace)變換式,記為F(s)=L f(t), 且L f(t)=Ff(t)u(t)e-t。F(s)稱為f(t)的Laplace變換(或象函數). 而f(t)稱為F(s)

15、的Laplace逆變換(或象原函數)記為f(t)=L 1F(s) 也記為f(t)F(s).（1）. 線性性質v若,是常數vL f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s),v則有v L f1(t)+f2(t)=F1(s)+F2(s)v L 1F1(s)+F2(s)=f1(t)+f2(t) (2.2)2. Laplace變換的性質推論 若L f(t)=F(s), 則L f (t)=s2Lf(t)sf(0)f (0)L f(n)(t)=snF(s)sn1f(0)sn2f (0).f(n-1)(0) (2.4) 當初值f(0)=f (0)=.=f(n1)(0)=0時, 有L f (t)=sF

16、(s),L f (t)=s2F(s), .,L f(n)(t)=snF(s) (2.5)此性質可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉化為F(s)的代數方程.（2）.微分性質 若L f(t)=F(s),則有L f (t)=sF(s)f(0) (2.3)此外, 由拉氏變換存在定理, 還可以得到象函數的微分性質:若L f(t)=F(s), 則F (s)=L tf(t), Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L (t)nf(t), Re(s)c.(2.7)(Lde)(de)(ddde)(dd)(dd000ttftttfttfsttfssFsststst（3）. 積分性質 若L f(t)=F(s)

17、8 . 2()(1d)(0sFsttftL則)9 . 2()(1d)(dd000sFsttfnttnttt 次L象函數積分性質:若L f(t)=F(s), 則ssFssttfssFttfnsssnsd)(dd)(,d)()(次L有一般地L其中F(s)=L f(t). 此公式常用來計算某些積分. 例如, ,d)(d)(0,)10. 2(,d)(000ssFtttfstttf則有取式按存在如果積分2|arctand11dsin,11sin00202pssstttst則有L（4）.位移性質 若L f(t)=F(s), 則有L eatf(t)=F(sa) (Re(sa)c). (2.12)（5）. 延

18、遲性質 若L f(t)=F(s), 又t0時f(t)=0, 則對于任一非負數0, 有L f(t)=esF(s) (2.13)3.定理 若s1, s2, ., sn是函數F(s)的所有奇點(適當選取使這些奇點全在Re(s)的范圍內), 且當s時, F(s)0, 則有)17.2(0,e)(Res)(e)(Resde)(j2111jjtsFtfsFssFstnkkssstnkkssst即p最常見的情況, 是函數F(s)是有理函數, 即)()()()()(21011101110111sBsAssssssbasasasabsbsbsbasasasasFnnmmmmnnnnmmmmv其中A(s)和B(s)

19、是不可約的多項式, B(s)的次數是n, A(s)的次數小于B(s)的次數, 這時F(s)滿足定理所要求的條件.)18. 2,e)()()(,)(121（展開式：時個單零點只有當nktskknksBsAtfHeavisidesssnsB如方程B(s)=0有一個m重根s1, 稱s1為B(s)的m級零點, 也是F(s)est=A(s)est /B(s)的m級極點, 這時)19. 2(,e)()()(ddlime)()()(11111stmmmssnmitsiisBsAssssBsAtfHeavisidei展開式：4. 拉式變換卷積的概念 在第一章討論過傅氏變換的卷積的性質. 兩個函數的卷積是指d)

20、()()()(2121tfftftfv如果f1(t)與f2(t)都滿足條件: 當t0時, f1(t)=f2(t)=0, 則上式可以寫成)20. 2(d)()()()(d)()(d)()(d)()()()(021212102102121ttttfftftftfftfftfftftf卷積定理假定f1(t), f2(t)滿足拉氏變換存在定理中的條件, 且L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 則 f1(t) * f2(t)的拉氏變換一定存在, 且)21. 2()()()()()()()()(212112121tftfsFsFsFsFtftfL或L重點掌握的知識點和題型重點掌握的知識點和題型v求函數的求函數的Laplace