1、 第三章第三章微分方程模微分方程模 型浙江大學數學建模實踐基地浙江大學數學建模實踐基地3.1 微分方程的幾個簡單實例微分方程的幾個簡單實例 在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系較為困難，但導出包含未知函數的導數或微分的關系式較較為困難，但導出包含未知函數的導數或微分的關系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題，為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題， 本節將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的本節將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續變量問題的研究中，微分方程是十分常一般方法。在連續變量問題

2、的研究中，微分方程是十分常用的數學工具之一。用的數學工具之一。 例例1 （理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。 從圖從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力為mgsin，根據根據牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得： sinmlmg 從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（3.1）這是理想單擺應這是理想單擺應滿足的運動方程滿足的運動方程 （3.13.1）是一個兩階非線性方程，不是一個兩階非線性方程，不易求解。當易求解

3、。當很小時，很小時，sin，此時，此時，可考察（可考察（3.13.1）的近似線性方程：）的近似線性方程： 00(0)0, (0)gl（3.2）由此即可得出由此即可得出2gTl （3.23.2）的解為）的解為: : (t)= 0cost gl其中其中 當當 時時,(t)=04Tt 42g Tl故有故有MQPmgl圖圖3-1 （3.13.1）的）的近似方程近似方程例例2 我方巡邏艇發現敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發現了我方巡邏艇發現敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發現了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設兩艇間距離為我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設兩艇間距離為6060哩，潛水艇最哩，潛水艇最大航速為大

4、航速為3030節而巡邏艇最大航速為節而巡邏艇最大航速為6060節，問巡邏艇應如何追趕潛節，問巡邏艇應如何追趕潛水艇。水艇。 這一問題屬于對策問題，較為復雜。討論以下簡單情形：這一問題屬于對策問題，較為復雜。討論以下簡單情形： 敵潛艇發現自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直敵潛艇發現自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 設巡邏艇在設巡邏艇在A處發現位于處發現位于B處的潛水艇，取極坐標，以處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，為極點，BA為極軸，設巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方為極軸，設巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為程為r=r(

5、)，見圖，見圖3-2。BAA1drdsd圖3-2由題意，由題意， ，故，故ds=2dr2dsdrdtdt圖圖3-2可看出，可看出， 222()()()dsdrrd故有故有:2223()()drrd即即:3rdrd（3.3）解為：解為：3rAe（3.4） 先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然然后按后按（3.4）對數螺線航行，即可追上潛艇。對數螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：追趕方法如下：例例3 一個半徑為一個半徑為Rcm的半球形容器內開始時盛滿了的半球形容器內開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為水，但由于其底部一個面積為Scm2的小孔在的小

6、孔在t=0時刻時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？需要多少時間？ 解解: 以容器的底部以容器的底部O點為點為 原點，取坐標系如圖原點，取坐標系如圖3.3所示。所示。令令h(t)為為t時刻容器中水的高度，現建立時刻容器中水的高度，現建立h(t)滿足的微分滿足的微分方程。方程。 設水從小孔流出的速度為設水從小孔流出的速度為v(t)，由力學定律，在不計水，由力學定律，在不計水的內部磨擦力和表面張力的假定下，有：的內部磨擦力和表面張力的假定下，有：( )0.6 2tgh因體積守衡，又可得：因體積守衡，又可得： 2dVr dhs

7、dt 易見：易見： 22()rRRh故有：故有： 2() 0.62RRhdhSghdt220.62() ShgdhdtRRh 即：即： 這是可分離變量的一階微分方程，得這是可分離變量的一階微分方程，得 220() 0.62RRRhTdhSgh302(2)0.62RR hhdhSg53520224214350.6292RRRhhSgSgRxySO圖圖3-3hr例例4 一根長度為一根長度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為的溫度恒為T1，另一端溫度恒為，另一端溫度恒為T2，（，（T1、T2為常數，為常數，T1 T2）。）。金屬桿橫截面積

8、為金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長度為，截面的邊界長度為B，它完全暴露在空氣中，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為空氣溫度為T3，（，（T3釷釷234-24天天-釙釙234-6/5分分-鈾鈾234-257億年億年-釷釷230-8萬年萬年-鐳鐳226-1600年年-氡氡222-19/5天天-釙釙218-3分分-鉛鉛214-27分分-釙釙214-鉛鉛210-20年年-鉍鉍210-5天天-釙釙210-138天天-鉛鉛206（一種非放射性物質）（一種非放射性物質）注：時間均為半衰期注：時間均為半衰期 (2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中

9、的各種放射性物質均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷系中的各種放射性物質均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著其后繼元素。各種放射性物質（除鈾以外）在地衰減，補充著其后繼元素。各種放射性物質（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據世界各地抽樣測量的資料，地巖石中處于放射性平衡中。根據世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發現含極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發現含量高于量高于23%的。的。 簡化假定簡化假定：本問題建模是為了

10、鑒定幾幅不超過本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設：盡可能簡單，可作如下假設： (1)由于鐳的半衰期為由于鐳的半衰期為1600年，經過年，經過300年左右，應用微分年左右，應用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數是一個常數。假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數是一個常數。 (2)鉛鉛210210的衰變為：的衰變為： 鉛鉛210T=22年年釙釙210鉛鉛206T=138天天若畫為真品，顏料應有若畫為真品，顏料應有300年

11、左右或年左右或300年以上的歷史，容易證年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙明：每克白鉛中釙210的分解數等于鉛的分解數等于鉛210的分解數（相差極微，的分解數（相差極微，已無法區別）。可用前者代替后者，因釙的半衰期較短，易于已無法區別）。可用前者代替后者，因釙的半衰期較短，易于測量測量 。建模：建模： (1)記提煉白鉛的時刻為記提煉白鉛的時刻為t=0，當時每克白鉛中鉛，當時每克白鉛中鉛210的分子的分子數為數為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數相同。可以推算出當時每克白鉛中鉛與鉛的單位時間分解數相同。可以推

12、算出當時每克白鉛中鉛210每分鐘分解數不能大于每分鐘分解數不能大于30000個。個。0030000uUy若若20030000 60 24 3651.02 10uU則則（個）這些鈾約重這些鈾約重 20231.02 102380.046.02 10（克）即每克白鉛約含即每克白鉛約含0.040.04克鈾，含量為克鈾，含量為4% 4% 以上確定了每克白鉛中鉛分解數以上確定了每克白鉛中鉛分解數的上界，若畫上的鉛分解數大于的上界，若畫上的鉛分解數大于該值，說明畫是贗品；但若是小該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。于不能斷定畫一定是真品。 (2)設設t時刻時刻1克白鉛中鉛克白鉛中鉛210含量

13、為含量為y(t)，而鐳的單位時間分，而鐳的單位時間分解數為解數為r（常數），則（常數），則y(t)滿足微分方程：滿足微分方程： dyyrdt 由此解得由此解得：00()()0( )1t tt try tey e00()()0( )1t tt tyy t er e故：故： 畫中每克白鉛所含鉛畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數目前的分解數y(t)及目前鐳的分解及目前鐳的分解數數r均可用儀器測出，從而可求出均可用儀器測出，從而可求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判）判斷這樣的分解數是否合理。斷這樣的分解數是否合理。Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大學的科學

14、家們利用上述模型對部分有疑問大學的科學家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了鑒定，測得數據如下（見表的油畫作了鑒定，測得數據如下（見表3-13-1）。）。 油畫名稱油畫名稱210210分解數（個分解數（個/ /分）分）鐳鐳226226分解數（個分解數（個/ /分）分）1 1、在埃牟斯的門徒、在埃牟斯的門徒 0.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看樂譜的女人、看樂譜的女人10.34 4、演奏曼陀琳的女、演奏曼陀琳的女人人70.175 5、花邊織工、花邊織工1.46 6、笑女、笑女

15、6.0計算計算y0 （個（個/ /分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 對對“在埃牟斯的門徒在埃牟斯的門徒”，y y0 09805098050（個（個/ /每克每分鐘），它必定是一每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（幅偽造品。類似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是贗品。而（）也是贗品。而（5 5）和（）和（6 6）都不會是幾十年內偽制品，因為放射性物質已處于接近平衡的狀態，這樣的都不會是幾十年內偽制品，因為放射性物質已處于接近平衡

16、的狀態，這樣的平衡不可能發生在十九世紀和二十世紀的任何作品中。平衡不可能發生在十九世紀和二十世紀的任何作品中。 判定判定結果：結果： 利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。例如對有機物（動、植物）遺體，考古學上目前流行的測例如對有機物（動、植物）遺體，考古學上目前流行的測定方法是放射性碳定方法是放射性碳1414測定法，這種方法具有較高的精確度，測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續照射，空氣其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結合，形成放射中含有微量的中微

17、子，它們和空氣中的氮結合，形成放射性碳性碳1414（C C1414）。有機物存活時，它們通過新陳代謝與外界）。有機物存活時，它們通過新陳代謝與外界進行物質交換，使體內的進行物質交換，使體內的C C1414處于放射性平衡中。一旦有機處于放射性平衡中。一旦有機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，19501950年年在巴比倫發現一根刻有在巴比倫發現一根刻有HammurabiHammurabi王朝字樣的木炭，經測定，王朝字樣的木炭，經測定，其其C C1

18、414衰減數為衰減數為4.094.09個個/ /每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中中C C1414衰減數為衰減數為6.686.68個個/ /每克每分鐘，每克每分鐘，C C1414的半衰期為的半衰期為55685568年，年，由此可以推算出該王朝約存在于由此可以推算出該王朝約存在于3900-40003900-4000年前。年前。 例例6 6 新產品的推廣新產品的推廣 經濟學家和社會學家一直很關心新產品的推銷速經濟學家和社會學家一直很關心新產品的推銷速度問題。怎樣建立一個數學模型來描述它，并由此析度問題。怎樣建立一個數學模型來描述它，并由此析出一些有用的結果以指導生產呢？

19、以下是第二次世界出一些有用的結果以指導生產呢？以下是第二次世界大戰后日本家電業界建立的電飯包銷售模型。大戰后日本家電業界建立的電飯包銷售模型。 設需求量有一個上界，并記此上界為設需求量有一個上界，并記此上界為K，記，記t時刻已銷售出的時刻已銷售出的電飯包數量為電飯包數量為x(t)，則尚未使用的人數大致為，則尚未使用的人數大致為Kx(t)，于是由統，于是由統計籌算律：計籌算律： ()dxx Kxdt記比例系數為記比例系數為k k，則則x(t)滿足：滿足： ()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解為：模型，解為： ( )1KktKx tCe還有兩個奇解還有兩個

20、奇解: x=0和和x=K 對對x(t)求一階、兩階導數：求一階、兩階導數： 22( )(1)KktKktcK kex tCe323(1)( )(1)KktKktKktCK k eCex tCex(t)0，即，即x(t)單調增加。單調增加。令令x(t0)=0，有，有2)(0Ktx當當tt0時，時，x(t)單調減小。單調減小。在銷出量小于最大需求量的一在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半銷出量達到最大需求量的一半時，該產品最為暢銷，接著銷時，該產品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。售速度將開始下降。所以初期應采取小批量生產并加

21、所以初期應采取小批量生產并加以廣告宣傳；從有以廣告宣傳；從有20%20%用戶到有用戶到有80%80%用戶這段時期，應該大批量用戶這段時期，應該大批量生產；后期則應適時轉產，這樣生產；后期則應適時轉產，這樣做可以取得較高的經濟效果。做可以取得較高的經濟效果。 3.33.3 為什么要用三級火箭來發射人造衛星為什么要用三級火箭來發射人造衛星構造數學模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多構造數學模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發射人造衛星？為什么一般都采用三級火箭系統？級火箭來發射人造衛星？為什么一般都采用三級火箭系統？ 1 1、為什么不能用一級火箭發射人造衛星、為什么不能用一級

22、火箭發射人造衛星? ? （1 1）衛星能在軌道上運動的最低速度）衛星能在軌道上運動的最低速度 假設：假設：（i i） 衛星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛星衛星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛星 在此軌道上作勻速圓周運動。在此軌道上作勻速圓周運動。 （iiii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球對衛）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球對衛 星的引力忽略不計。星的引力忽略不計。 分析：分析：根據牛頓第三定律，地球對衛星的引力為根據牛頓第三定律，地球對衛星的引力為: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R為地球半徑，為地球半徑，約為約為64006

23、400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假設(ii)dmm-dmvu-v假設(i)衛星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力衛星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力故又有故又有: :2mFr從而從而: :gRr設設g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : 衛星離地面高度衛星離地面高度 ( (公里公里) )衛星速度衛星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推進力及速度的分析）火箭

24、推進力及速度的分析 假設：假設：火箭重力及空氣阻力均不計火箭重力及空氣阻力均不計 分析：分析：記火箭在時刻記火箭在時刻t的質量和速度分別為的質量和速度分別為m(t)和和(t) 2()( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數），（常數）， 由動量守恒定理：由動量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情況下，一定的情況下，火箭速度火箭速度(t)(t)由噴發由噴發速度速度u u及質量比決定。及質量比決定。 ddmmudtdt 故：故：由

25、此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t( (3.11) ) （2 2）火箭推進力及速度的分析）火箭推進力及速度的分析 現將火箭現將火箭衛星系統的質量分成三部分：衛星系統的質量分成三部分： （i）mP（有效負載，如衛星）（有效負載，如衛星）（ii）mF（燃料質量）（燃料質量）（iii）mS（結構質量（結構質量如外殼、燃料容器及推進器）。如外殼、燃料容器及推進器）。 最終質量為最終質量為mP + mS ，初始速度為，初始速度為0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根據目前的技術條件和燃料性根據目前的技術條件和燃料性能，能，u只能達到只能達到3公里公里/秒，即使秒，即使發射空殼火

26、箭，其末速度也不發射空殼火箭，其末速度也不超過超過6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不可能用一級火箭發射人造衛星可能用一級火箭發射人造衛星火箭推進力在加速整個火箭時，其火箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結構質實際效益越來越低。如果將結構質量在燃料燃燒過程中量在燃料燃燒過程中不斷減少，那不斷減少，那么末速度能達到要求嗎？么末速度能達到要求嗎？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假設：假設： 記結構質量記結構質量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設火，假設火箭能隨時拋棄無用的結構，結構質量與燃料質量以箭能隨時拋棄無用的結構，結構質量與燃料質量以與與（1

27、-）的比例同時減少。）的比例同時減少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )() ()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tt v tttttutdtdtOt 得到：得到：(1)dmdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭與一級火箭最大的區別在于，當火箭燃料理想火箭與一級火箭最大的區別在于，當火箭燃料耗盡時，結構質量也逐漸拋盡，它的最終質量為耗盡時，結構質量也逐漸拋盡，它的最終質量為mP， 所以最終速度為：所以最終速度為： 0(1)lnPmum只要只要m0足夠大，我們可以足夠大，我們可以使衛星達到我們希望它具使衛星達到我們希望它具有的任意速度。

28、有的任意速度。考慮到空氣阻力和重力等因素，估考慮到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發射衛星計（按比例的粗略估計）發射衛星要使要使=10.5公里公里/秒才行，則可推秒才行，則可推算出算出m0/ mp約為約為51,即發射一噸重的即發射一噸重的衛星大約需要衛星大約需要50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 3 3、理想過程的實際逼近、理想過程的實際逼近多級火箭衛星系統多級火箭衛星系統 記火箭級數為記火箭級數為n，當第，當第i級火箭的燃料燒盡時，第級火箭的燃料燒盡時，第i+1級火級火箭立即自動點火，并拋棄已經無用的第箭立即自動點火，并拋棄已經無用的第i級火箭。用級火箭。用mi表示第表示第i級火

29、箭的質量，級火箭的質量，mP表示有效負載。表示有效負載。 先作如下假設：先作如下假設： （i）設各級火箭具有相同的）設各級火箭具有相同的 ,即即i級火箭中級火箭中mi為結構為結構質量，（質量，（1-）mi為燃料質量。為燃料質量。 （ii）設燃燒級初始質量與其負載質量之比保持不變，設燃燒級初始質量與其負載質量之比保持不變，并記比值為并記比值為k k。 考慮二級火箭：考慮二級火箭： 由由3.11式，當第一級火箭燃燒完時，其末速度為：式，當第一級火箭燃燒完時，其末速度為： 12212lnPPmmmummm當第二級火箭燃盡時，末速度為：當第二級火箭燃盡時，末速度為： 2122222122lnlnPPP

30、PPPmmmmmmmuummmmmmm該假設有點強加該假設有點強加的味道，先權作的味道，先權作討論的方便吧討論的方便吧又由假設（又由假設（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍設仍設u=3公里公里/秒，且為了計算方便，近似取秒，且為了計算方便，近似取=0.1，則可，則可得：得： 1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，則應使秒，則應使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm類似地，可以推算出三級火箭：類似地，可以

31、推算出三級火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同樣假設下在同樣假設下: : 33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5公里公里/秒，則秒，則(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三級火箭比二級火箭三級火箭比二級火箭幾乎節省了一半幾乎節省了一半 是否三級火箭就是最省是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進對四級、五級等火箭進行討論。行討論。考慮考慮n n級火箭：級火箭： 記記n級火箭的總質量（包含有效負載級火箭的總質

32、量（包含有效負載mP）為）為m0 ，在，在相同的假設下可以計算出相應的相同的假設下可以計算出相應的m0/ mP的值，見表的值，見表3-2n（級數）（級數）1 2 3 4 5 （理想）（理想） 火箭質量（噸）火箭質量（噸）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工藝的復雜性及每節火箭由于工藝的復雜性及每節火箭都需配備一個推進器，所以使都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最算的，三級火箭提供了一個最好的方案。好的方案。當然若燃料的價錢很便宜當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復雜的話，

33、制作工藝非常復雜的話，也可選擇二級火箭。也可選擇二級火箭。4 4、火箭結構的優化設計、火箭結構的優化設計 3 3中已經能說過假設中已經能說過假設(ii)(ii)有點強加的味道；現去掉該有點強加的味道；現去掉該假設假設，在各級火箭具有相同在各級火箭具有相同的粗糙假設下，來討論火箭的粗糙假設下，來討論火箭結構的最優設計。結構的最優設計。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP記記應用（應用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度： 1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW記記112121ln1111nnn

34、nnWWWWuWWWW則則11211 21231nnnWWWWk kkWWWW又又問題化為，在問題化為，在n一定的條件下，求使一定的條件下，求使k1 k2kn最小最小 1ln(1)(1)nnkkukk解條件極值問題：解條件極值問題： 12121min. .(1)(1)nnnk kkk kkstCkk或等價地求解無約束極值問題：或等價地求解無約束極值問題： 12121min(1)(1)nnnk kkk kkaCkk可以解出最優結構設計應滿足：可以解出最優結構設計應滿足： 12nkkk火箭結構優化設計討論火箭結構優化設計討論中我們得到與假設（中我們得到與假設（ii）相符的結果，這說明前相符的結果，

35、這說明前面的討論都是有效的！面的討論都是有效的！3.43.4 藥物在體內的分布藥物在體內的分布 何為房室系統？何為房室系統？ 在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種叫叫“房室系統房室系統”的觀點來考察問題。根據研究對象的特的觀點來考察問題。根據研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統）或將其剖分成若干個相互存在著某種體（單房室系統）或將其剖分成若干個相互存在著某種聯系的部分（多房室系統）。聯系的部分（多房室系統）。 房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室

36、具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室中考察對象的數量或濃度（密度）的變化率與外部房室中考察對象的數量或濃度（密度）的變化率與外部環境有關，這種關系被稱為環境有關，這種關系被稱為“交換交換”且交換滿足著總量且交換滿足著總量守衡。在本節中，我們將用房室系統的方法來研究藥物守衡。在本節中，我們將用房室系統的方法來研究藥物在體內的分布。在下一節中，我們將用多房室系統的方在體內的分布。在下一節中，我們將用多房室系統的方法來研究另一問題。法來研究另一問題。交換環境內部單房室系統均勻分布 藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的濃度成正

37、比的，即：濃度成正比的，即： dxkxdt出藥物分布的單房室模型藥物分布的單房室模型 單房室模型是最簡單的模型，它假設：體內藥物在任一時刻單房室模型是最簡單的模型，它假設：體內藥物在任一時刻都是均勻分布的，設都是均勻分布的，設t時刻體內藥物的總量為時刻體內藥物的總量為x(t)；系統處于一種；系統處于一種動態平衡中，即成立著關系式：動態平衡中，即成立著關系式： dxdxdxdtdtdt入出 藥物的輸入規律與給藥的方式有藥物的輸入規律與給藥的方式有關。下面，我們來研究一下在幾種常關。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內藥體的變化規律。見的給藥方式下體內藥體的變化規律。 機體環境藥物總量(

38、 )x tdxdt入dxdt出圖3-8 假設藥物均勻分布情況情況1 1 快速靜脈注射快速靜脈注射機體環境( )x tdxdt出(0)xD只輸出不輸入房室其解為：其解為：( )ktx tDe藥物的濃度：藥物的濃度： ( )ktDc teV 與放射性物質類似，醫學上將血漿藥物濃度衰減一半所需與放射性物質類似，醫學上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期：的時間稱為藥物的血漿半衰期： 12ln2tk負增長率的Malthus模型 在快速靜脈注射時，總量為在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內。的藥物在瞬間被注入體內。設機體的體積為設機體的體積為V，則我們可以近似地將系統看成初始

39、總量為，則我們可以近似地將系統看成初始總量為D，濃度為，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統可看成近似地，只輸出不輸入的房室，即系統可看成近似地滿足微分方程：滿足微分方程： 0(0)dxkxdtxD（3.12） 情況情況2 2 恒速靜脈點滴恒速靜脈點滴 機體環境( )x tdxdt出(0)0 x恒定速率輸入房室0Kdtdx藥物似恒速點滴方式進入體內，即藥物似恒速點滴方式進入體內，即: : 0dxKdt則體內藥物總量滿足：則體內藥物總量滿足： 0dxkxKdt（x(0)=0） （3.13） 這是一個一階常系數線性方程，其解為：這是一個一階常系數線性方程，其解為： 0( )(1)ktKx te

40、k0( )(1)ktKC teVk或或易見易見：0lim( )KC ttVk 稱為穩態血藥濃度 對于多次點滴，設點滴時間為對于多次點滴，設點滴時間為T1，兩次點滴之間的間隔時，兩次點滴之間的間隔時間設為間設為T2，則在第一次點滴結束時病人體內的藥物濃度可由上則在第一次點滴結束時病人體內的藥物濃度可由上式得出。其后式得出。其后T2時間內為情況時間內為情況1 1。故：。故：0( )(1)ktKC teVk（第一次） 0tT1 11()0( )(1)kTk t TKC teeVkT1tT1 +T2 類似可討論以后各次點滴時類似可討論以后各次點滴時的情況，區別只在初值上的的情況，區別只在初值上的不同。

41、第二次點滴起，患者不同。第二次點滴起，患者 體內的初始藥物濃度不為零。體內的初始藥物濃度不為零。 情況情況3 3 口服藥或肌注口服藥或肌注 y(t)x(t)K1yK1x環境機體外部藥物 口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進入了體內，但它一般都集中與身體的某一部位，物雖然瞬間進入了體內，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設藥物被吸收的速率與存靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設藥物被吸收的速率與存量藥物的數量成正比，記比例系數為量藥物的數量成正比，記比例系數為K1，即若記，即若記t時刻殘留藥物

42、時刻殘留藥物量為量為y(t)，則，則y滿足：滿足： 1(0)dyk ydtyD D為口服或肌注藥物總量 因而因而：1( )k ty tDe11(0)k tdxkxk DedtxD所以所以：解得解得：111( )()k tktk Dx teekk111( )()()k tktk DC teeV kk從而藥物濃度從而藥物濃度： 圖圖3-93-9給出了上述三種情況下體內血藥濃度的變化曲線。給出了上述三種情況下體內血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表急救等緊

43、急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現在血藥濃度的峰值出現在不同的時刻，血藥的有效濃度保持現在血藥濃度的峰值出現在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同。時間也不盡相同。圖3-9 我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C C( (t t) )，當然也，當然也容易求得血藥濃度的峰值及出現峰值的時間，因而，也不難根容易求得血藥濃度的峰值及出現峰值的時間，因而，也不難根據不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。據不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。 新藥品、新疫苗在臨床應用前必須經過較長時間的基礎研究、小新藥品、新疫苗在臨床應用前必須經過較長時間的基

44、礎研究、小量試制、中間試驗、專業機構評審及臨床研究。當一種新藥品、新疫量試制、中間試驗、專業機構評審及臨床研究。當一種新藥品、新疫苗研制出來后，研究人員必須用大量實驗搞清它是否真的有用，如何苗研制出來后，研究人員必須用大量實驗搞清它是否真的有用，如何使用才能發揮最大效用，提供給醫生治病時參考。在實驗中研究人員使用才能發揮最大效用，提供給醫生治病時參考。在實驗中研究人員要測定模型中的各種參數，搞清血藥濃度的變化規律，根據疾病的特要測定模型中的各種參數，搞清血藥濃度的變化規律，根據疾病的特點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時間及給點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間

45、隔時間及給藥次數等），這些研究與試驗據估計最少也需要數年時間。在藥次數等），這些研究與試驗據估計最少也需要數年時間。在20032003年年春夏之交的春夏之交的SARSSARS（非典）流行期內，有些人希望醫藥部門能趕快拿出（非典）流行期內，有些人希望醫藥部門能趕快拿出一種能治療一種能治療SARSSARS的良藥或預防的良藥或預防SARSSARS的有效疫苗來，但這只能是一種空的有效疫苗來，但這只能是一種空想。想。SARSSARS的突如其來，形成了的突如其來，形成了“外行不懂、內行陌生外行不懂、內行陌生”的情況。國內的情況。國內權威機構一度曾認為這是權威機構一度曾認為這是“衣原體衣原體”引起的肺炎，可

46、以用抗生素控制引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實上，抗生素類藥物對和治療。但事實上，抗生素類藥物對SARSSARS的控制與治療絲毫不起作用。的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權威，堅持認為以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權威，堅持認為SARSSARS是病毒是病毒感染引起的肺炎，兩個月后（感染引起的肺炎，兩個月后（4 4月月1616日），世界衛生組織正式確認日），世界衛生組織正式確認SARSSARS是冠狀病毒的一個變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認并非是冠狀病毒的一個變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認并非是由權威機構定義的，而是經對猩猩的多次實驗證實的

47、）。發現病原是由權威機構定義的，而是經對猩猩的多次實驗證實的）。發現病原體尚且如此不易，要攻克難關，找到治療、預防的辦法當然就更困難體尚且如此不易，要攻克難關，找到治療、預防的辦法當然就更困難了，企圖幾個月解決問題注定只能是一種不切實際的幻想。了，企圖幾個月解決問題注定只能是一種不切實際的幻想。 上述研究是將機體看成一個均勻分布的同質單元，故上述研究是將機體看成一個均勻分布的同質單元，故被稱單房室模型，但機體事實上并不是這樣。藥物進入血被稱單房室模型，但機體事實上并不是這樣。藥物進入血液，通過血液循環藥物被帶到身體的各個部位，又通過交液，通過血液循環藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進入各個

48、器官。因此，要建立更接近實際情況的數學模換進入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數學模型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關聯關系，型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關聯關系，這就需要多房室系統模型。這就需要多房室系統模型。IIIk12k21兩房室系統圖3-10 圖圖3-103-10表示的是一種常見的兩房室模型，表示的是一種常見的兩房室模型，其間的其間的k k1212表示由室表示由室I I滲透到室滲透到室IIII的變化率前的變化率前的系數，而的系數，而k k2121則表示由室則表示由室IIII返回室返回室I I的變化的變化率前的系數，它們刻劃了兩室間的內在聯系，率前的系數，它

49、們刻劃了兩室間的內在聯系，其值應當用實驗測定，使之盡可能地接近實其值應當用實驗測定，使之盡可能地接近實際情況。際情況。 當差異較大的部分較多當差異較大的部分較多時，可以類似建立多房時，可以類似建立多房室系統室系統，即，即N N房室系統房室系統hy3.53.5 傳染病模型傳染病模型 傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規素之間的聯系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節中，

50、我們將主要用多房室系統的觀點來看待傳染病的在本節中，我們將主要用多房室系統的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應的多房室模型。流行，并建立起相應的多房室模型。 醫生們發現，在一個民族或地區，當某種傳染病流傳時，醫生們發現，在一個民族或地區，當某種傳染病流傳時，波及到的總人數大體上保持為一個常數。即既非所有人都會波及到的總人數大體上保持為一個常數。即既非所有人都會得病也非毫無規律，兩次流行（同種疾病）的波及人數不會得病也非毫無規律，兩次流行（同種疾病）的波及人數不會相差太大。如何解釋這一現象呢？試用建模方法來加以證明。相差太大。如何解釋這一現象呢？試用建模方法來加以證明。 問題的提出：問題的提出

51、： 設某地區共有設某地區共有n+1人，最初時刻共有人，最初時刻共有i人得病，人得病，t時刻已時刻已感染（感染（infective）的病人數為）的病人數為i(t)，假定每一已感染者在單位，假定每一已感染者在單位時間內將疾病傳播給時間內將疾病傳播給k個人（個人（k稱為該疾病的傳染強度），且稱為該疾病的傳染強度），且設此疾病既不導致死亡也不會康復設此疾病既不導致死亡也不會康復模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫學上有一定的參考價值，但隨著時間的的病人增長情況，在醫學上有一定的參考價值，但隨著時

52、間的推移，將越來越偏離實際情況。推移，將越來越偏離實際情況。 已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區別，有必要將已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區分，來建立兩房室系統。則不加任何區分，來建立兩房室系統。 ( )odikidti oi則可導出：則可導出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.15） 模型模型2 記記t時刻的病人數與易感染人數時刻的病人數與易感染人數（susceptible）分別為分別為i(t)與與s(t)，初始時刻的病人數為，初始時刻的

53、病人數為 i。根據病人不死也不會康。根據病人不死也不會康復的假設及（競爭項）統計籌算律，復的假設及（競爭項）統計籌算律， 1oooicni 其中：其中：(1)(1)(1)( )1k ntok ntoc nei tc e解得：解得：（3.17）( )( )1( )odikisdti ts tni oi可得：可得：（3.16） 統計結果顯示，統計結果顯示，( (3.173.17) )預報結果比預報結果比( (3.153.15) )更接近實際情況。醫學上稱曲線更接近實際情況。醫學上稱曲線 為傳染病為傳染病曲線，并稱曲線，并稱 最大值時刻最大值時刻t1為此傳染病的流行為此傳染病的流行高峰。高峰。dit

54、dtdidt220d idt令：令：1ln(1)octk n 得：得：此值與傳染病的實際高峰期非常接近，可用作醫學上的預報公式。 模型模型2 2仍有不足之處，它仍有不足之處，它無法解釋醫生們發現的現無法解釋醫生們發現的現象，且當時間趨與無窮時，象，且當時間趨與無窮時，模型預測最終所有人都得模型預測最終所有人都得病，與實際情況不符。病，與實際情況不符。 為了使模型更精為了使模型更精確，有必要再將確，有必要再將人群細分，建立人群細分，建立多房室系統多房室系統infectiverecoveredsusceptiblekl (1) (2)( )( )( )1 (3), ( )0odiksilidtdr

55、lidts ti tr tni(o)i r o（3.18） l 稱為傳染病恢復系數 求解過程如下：求解過程如下： 對（對（3）式求導，由（）式求導，由（1）、（）、（2）得：）得： dskdrksisdtldt ( )( )kr tlos ts e解得：解得：記：記： lk則：則：1( )( )r tos ts e 將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復者（者和已恢復者（recovered）。分別記）。分別記t時刻的三類人數為時刻的三類人數為s(t)、i(t)和和r(t)，則可建立下面的三房室模型：，則可建立下面的三房室模型： 模型模

56、型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： didsdsdslidtdtdts dt 從而解得：從而解得：1( )( )( )( )ln( )( )1( )( )ooor tos ti tiss tss ts er tni ts t 積分得：積分得：( )( )( )lnooos ti tiss ts（3.19） 不難驗證，當t+時，r(t)趨向于一個常數，從而可以解釋醫生們發現的現象。 為揭示產生上述現象的原因（為揭示產生上述現象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改寫成：）式改寫成： ()diki sdt 其中其中

57、 通常是一個與疾病種類有關的通常是一個與疾病種類有關的較大的常數。較大的常數。kl下面對下面對 進行討論，請參見右圖進行討論，請參見右圖0didt如果如果 ，則有則有 ，此疾病在該地區根本流行不起來。，此疾病在該地區根本流行不起來。os如果如果 ，則開始時，則開始時 ，i(t)單增。但在單增。但在i(t)增加的同時，增加的同時，伴隨地有伴隨地有s(t)單減。當單減。當s(t)減少到小于等于減少到小于等于 時，時， i(t)開始減開始減小，直至此疾病在該地區消失。小，直至此疾病在該地區消失。os0didt鑒于在本模型中的作用，鑒于在本模型中的作用， 被被醫生們稱為此疾病在該地區醫生們稱為此疾病在

58、該地區的閥值。的閥值。 的引入解釋了為什的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區么此疾病沒有波及到該地區的所有人。的所有人。圖3-14 綜上所述，模型綜上所述，模型3 3指出了傳染病的以下特征：指出了傳染病的以下特征： （1 1）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流傳，僅當易受感染的人數與超過閥值時，疾病才會流傳起來。傳，僅當易受感染的人數與超過閥值時，疾病才會流傳起來。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導致所有人得病。缺少傳播者才停止

59、傳播的，否則將導致所有人得病。 （3 3）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。 模型檢驗：模型檢驗： 醫療機構一般依據醫療機構一般依據r(t)來統計疾病的波及人數來統計疾病的波及人數 ，從廣義上，從廣義上理解，理解，r(t)為為t時刻已就醫而被隔離的人數，是康復還是死亡對時刻已就醫而被隔離的人數，是康復還是死亡對模型并無影響。模型并無影響。(1)drlinrsdt rloSS e及：及：注意到：注意到：可得可得：(1)rodrl nrs edt （3.20） 通常情況下，傳染病波及的人數占總人數的百分比不會通常情況下，傳染病波及的人數占總人數的百分比不會太大，故太

60、大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有： r211()2rrre 代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：2112oooSSdrrl nSrdt 積分得：積分得：21( )1tanh()2ooSr tmmltS 其中：其中：1222(1)1oooSS nSm 11tanh1oSm這里雙曲正切函數這里雙曲正切函數 ：tanhuuuueeuee2222()()4tanh()()uuuuuuuudeeeeudueeee而：而：對對r(t)求導求導 ：2221sec22odrlmhmltdtS（3.21）曲線曲線 2221sec22o