1、第第2講用導數研究函數的單調性與極值講用導數研究函數的單調性與極值考點梳理考點梳理函數函數f(x)在在(a，b)內可導，內可導，f(x)在在(a，b)任意子區間內都不恒任意子區間內都不恒等于等于0.f(x)0f(x)為為_函數；函數；f(x)0f(x)為為_函數函數(1)判斷判斷f(x0)是極值的方法是極值的方法一般地，當函數一般地，當函數f(x)在點在點x0處連續時，處連續時，如果在如果在x0附近的左側附近的左側f(x)0，右側，右側f(x)0，那么，那么f(x0)是是極大值；極大值；1函數的單調性函數的單調性2函數的極值函數的極值增增減減如果在如果在x0附近的左側附近的左側_，右側，右側_

2、 ，那么，那么f(x0)是極小值是極小值(2)求可導函數極值的步驟求可導函數極值的步驟求求f(x)；求方程求方程f(x)0的根；的根；檢查檢查f(x)在方程在方程f(x)0的根左右值的符號如果左正右的根左右值的符號如果左正右負，那么負，那么f(x)在這個根處取得在這個根處取得_；如果左負右正，；如果左負右正，那么那么f(x)在這個根處取得極小值，如果左右兩側符號一在這個根處取得極小值，如果左右兩側符號一樣，那么這個根不是極值點樣，那么這個根不是極值點f(x)0f(x)0極大值極大值一個考情解讀一個考情解讀本講內容是高考的必考內容，主要以解答題的形式考查利本講內容是高考的必考內容，主要以解答題的

3、形式考查利用導數研究函數的單調性，求函數的單調區間，求函數的用導數研究函數的單調性，求函數的單調區間，求函數的極值也有可能以解答題的形式考查導數與解析幾何、不極值也有可能以解答題的形式考查導數與解析幾何、不等式、三角函數等知識相結合的問題綜合題一般作為壓等式、三角函數等知識相結合的問題綜合題一般作為壓軸題出現，難度較大軸題出現，難度較大【助學助學微博微博】考點自測考點自測2函數函數y3x26ln x的單調增區間為的單調增區間為_，單調減，單調減 區間為區間為_ 答案答案(1，)(0,1)3若函數若函數f(x)ax33x2x恰有恰有3個單調區間，則實數個單調區間，則實數a的的 取值范圍是取值范圍

4、是_ 答案答案(3,0)(0，)解析解析f(x)3x2a，由，由f(x)在在1，)上是單調遞增函上是單調遞增函數，得數，得f(x)0在區間在區間1，)上恒成立，即上恒成立，即3x2a0，x1，)恒成立，故實數恒成立，故實數a3x2在在1，)上的最小上的最小值，即值，即a3.答案答案(，34已知已知a0，函數，函數f(x)x3ax在在1，)上是單調遞增上是單調遞增函數，則函數，則a的取值范圍是的取值范圍是_5(2012啟東中學一模啟東中學一模)若函數若函數f(x)x3x2ax4在區間在區間(1,1)內恰有一個極值點，則實數內恰有一個極值點，則實數a的取值范圍是的取值范圍是_ 答案答案1,5)考向

5、一考向一利用導數解決函數的單調性問題利用導數解決函數的單調性問題令令g(x)ax2x1a，x(0，)，當當a0時，時，g(x)x1，x(0，)，所以，當所以，當x(0,1)時，時，g(x)0，此時，此時f(x)0，函數，函數f(x)單調單調遞減；當遞減；當x(1，)時，時，g(x)0，函數，函數f(x)單調遞增；單調遞增；當當a0時，由時，由f(x)0，x(0,1)時，時，g(x)0，此時，此時f(x)0，函數，函數f(x)單調遞減；單調遞減；x(1，)時，時，g(x)0，函數，函數f(x)單調遞單調遞增增方法總結方法總結 討論函數的單調性其實就是討論不等式的解集討論函數的單調性其實就是討論不

6、等式的解集的情況大多數情況下，這類問題可以歸結為一個含有參的情況大多數情況下，這類問題可以歸結為一個含有參數的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解數的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時依據根的大小進行分類討論，求出不等式對應方程的根時依據根的大小進行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時根據不等式對應方程在不能通過因式分解求出根的情況時根據不等式對應方程的判別式進行分類討論的判別式進行分類討論(1)求求f(x)的單調增區間；的單調增區間；(2)若若f(x)在定義域在定義域R內單調遞增，求內單調遞增，求a的取值范圍的取值范圍解解(1)f(x)ex

7、ax1，f(x)exa.令令f(x)0，得，得exa，當當a0時，有時，有f(x)0在在R上恒成立；上恒成立；當當a0時，有時，有xln a.綜上，當綜上，當a0時，時，f(x)的單調增區間為的單調增區間為(，)；當當a0時，時，f(x)的單調增區間為的單調增區間為ln a，)【訓練訓練1】 已知已知f(x)exax1.(2)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在在R上單調遞增，上單調遞增，f(x)exa0恒成立，恒成立，即即aex，xR恒成立恒成立xR時，時，ex(0，)，a0.當當a0時，時，f(x)ex，f(x)0在在R上恒成立上恒成立故當故當a0時，時，f(x)在定義域在定義域

8、R內單調遞增內單調遞增考向二考向二利用導數解決函數的極值問題利用導數解決函數的極值問題x(0,1)(1，e)e(e，)f(x)0f(x)單調遞減單調遞減單調遞減單調遞減極小值極小值f(e)單調遞增單調遞增由表得函數由表得函數f(x)的單調減區間為的單調減區間為(0,1)及及(1，e)，單調增區間，單調增區間為為(e，)所以存在極小值為所以存在極小值為f(e)e，無極大值，無極大值方法總結方法總結 (1)求函數單調區間與函數極值時要養成列表的求函數單調區間與函數極值時要養成列表的習慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能習慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能(2)導函數的零點并不一定就是函數

9、的極值點，所以在求出導函數的零點并不一定就是函數的極值點，所以在求出導函數的零點后一定注意分析這個零點是不是函數的極值導函數的零點后一定注意分析這個零點是不是函數的極值點點(2)若若f(x)為為R上的單調函數，上的單調函數，則則f(x)在在R上不變號，結合與條件上不變號，結合與條件a0，知，知ax22ax10在在R上恒成立，上恒成立，因此因此4a24a4a(a1)0(a0)，解得，解得0a1.所以所以a的取值范圍為的取值范圍為(0,1 【例例3】 (2011江蘇江蘇)已知已知a，b是實數，函數是實數，函數f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)和和g(x)分別是分別是f(x)和和g(x)的

10、導函數，的導函數，若若f(x)g(x)0在區間在區間I上恒成立，則稱上恒成立，則稱f(x)和和g(x)在區間在區間I上單調性一致上單調性一致考向三考向三利用導數求參數的取值范圍問題利用導數求參數的取值范圍問題(1)設設a0.若若f(x)和和g(x)在區間在區間1，)上單調性一致，求上單調性一致，求b的取值范圍；的取值范圍；(2)設設a0，故，故3x2a0，進而進而2xb0，即，即b2x在在1，)上恒成立，上恒成立，所以所以b2.因此因此b的取值范圍是的取值范圍是2，)方法總結方法總結 若若f(x)在區間在區間D上單調增上單調增(減減)，則對任意的，則對任意的xD，恒有，恒有f(x)0(f(x)

11、0)，由此可求出含參數的取值，由此可求出含參數的取值范圍，另外，還可由范圍，另外，還可由af(x)(af(x)恒成立恒成立af(x)min(af(x)max)，由，由f(x)單調性求出單調性求出f(x)的最大的最大(小小)值，從而可確定參數值，從而可確定參數a的取值范圍的取值范圍 由于函數的單調性可以用來求最值、解不等式和求解由于函數的單調性可以用來求最值、解不等式和求解恒成立問題，所以要靈活應用單調性解題恒成立問題，所以要靈活應用單調性解題 要善于將有關問題轉化成單調性問題求解，比如分離要善于將有關問題轉化成單調性問題求解，比如分離參數，構造函數等參數，構造函數等規范解答規范解答4函數的單調

12、性及其應用函數的單調性及其應用當當x(0,1)時，時，g(x)0，故，故(0,1)是是g(x)的單調減區間，的單調減區間，當當x(1，)時，時，g(x)0，故，故(1，)是是g(x)的單調增的單調增區間，區間，因此，因此，x1是是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為最小值點，所以最小值為g(1)1.(4分分)點評點評 本題主要考查導數的應用，即如何利用導數求函本題主要考查導數的應用，即如何利用導數求函數的單調性和最值數的單調性和最值1(2012重慶卷改編重慶卷改編)設函數設函數f(x)在在R上可導，其導函數為上可導，其導函數為f(x

13、)，且函數，且函數y(1x)f(x)的圖象如圖所的圖象如圖所示則示則f(x)的極值點分別為的極值點分別為_高考經典題組訓練高考經典題組訓練解析解析當當x3，則，則f(x)0；當；當2x 1時，時，01x3，則，則f(x)0，所以函數有極大值，所以函數有極大值f(2)當當1x2時，時，11x0，則，則f(x)2時，時，1x0，所以函數有極小值，所以函數有極小值f(2)答案答案2或或2又由又由f(x)ex1x知，當知，當x(，0)時，時，f(x)0，所以，所以f(x)在在(，0)上單調遞上單調遞減，在減，在(0，)上單調遞增上單調遞增(1)當當a1，b2時，求曲線時，求曲線yf(x)在點在點(2，f(2)處的切線處的切線方程；方程；(2)設設x1，x2是是f(x)的兩個極值點，的兩個極值點，x3是是f(x)的一個零點，且的一個零點，且x3x1，x3x2.證明：存在實數證明：存在實數x4，使得，使得x1