1、 回想一下上一節課所學的內容回想一下上一節課所學的內容.（1）函數的零點及其等價關系？）函數的零點及其等價關系？ 對于函數對于函數y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0的實數的實數x叫做叫做函數函數y=f(x)的零點的零點.方程方程f(x)=0有實數根有實數根函數函數y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數函數y=f(x)有零點有零點（2）如何求零點個數及所在區間？）如何求零點個數及所在區間？ ,( )x f x解一：解一：利用計算器或計算機作利用計算器或計算機作的對應的對應 , a b( )yf x那么函數那么函數在區間在區間內至少有一個實數內至少有一個實數 , a b有且只有

2、一個零點、再在其它區間內去尋找有且只有一個零點、再在其它區間內去尋找.( )( ) 0f af b( , )a b上連續，并且有上連續，并且有值表，若在區間值表，若在區間( )yf x , a b在在上的單調性，則在上的單調性，則在根、若能證明根、若能證明 解二：解二：試探著找到兩個試探著找到兩個x對應值為一正一負對應值為一正一負（至少有一個）；再證單調增函數即可得有（至少有一個）；再證單調增函數即可得有且只有一個且只有一個. 解三：解三：構造兩個易畫函數，畫圖，看圖象構造兩個易畫函數，畫圖，看圖象交點個數，很實用交點個數，很實用. （3）連續函數）連續函數在某個區間上在某個區間上存在零點存在

3、零點的判別的判別方法：方法： 如果函數如果函數y=f(x)在區間在區間a,b上的圖象是連續上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，那么，函數函數y=f(x)在區間在區間(a,b)內有零點內有零點.即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c )=0，這個，這個c也就是方也就是方程程f(x)=0的根的根. 從學校教學樓到學校食堂的電纜有從學校教學樓到學校食堂的電纜有5個接點個接點.現在某處發生故障，需及時修理現在某處發生故障，需及時修理.為了盡快把故為了盡快把故障縮小在兩個接點之間，一般至少需要檢查多障縮小在兩個接點之間，一般至少需要檢查多少少_次次21

4、 2 3 4 5猜數字游戲，看誰先猜中猜數字游戲，看誰先猜中10次以內猜出，你們能做到嗎次以內猜出，你們能做到嗎 ？ 從從11000這這1000個自然數隨機抽出個個自然數隨機抽出個數，誰能根據提示數，誰能根據提示“大了大了”“”“小了小了”“”“對了對了”先猜出這個數？先猜出這個數？3.1.2 用二分法求方程用二分法求方程的近似解的近似解ax2+bx+c=0 x2+x-6=0 一元二次方程可以用公式求根一元二次方程可以用公式求根,但沒有公式但沒有公式可用來可用來求求lnx+2x-6=0的根的根,能否利用函數的有關能否利用函數的有關知識來求它根的近似值呢？知識來求它根的近似值呢？探究探究1.62

5、ln)(的的零零點點函函數數 xxxf 5 , 4.4 , 3.3 , 2.2 , 1.DCBA2.你能繼續縮小零點所在的區間嗎？你能繼續縮小零點所在的區間嗎？1.你能找出零點落在下列哪個區間嗎？你能找出零點落在下列哪個區間嗎？.062ln的根的根方程方程 xx: lnx+2x-6 = 0解解方方程程 f(x) = lnx+2x-6數點找找函函的的零零f(x) = lnx + 2x-6漸縮數點圍逐逐小小函函的的零零所所在在范范(a，b)中點中點x1f(a)f(x1)(2 , 3)2.5負負 -0.084(2.5,3) 2.75負負0.512(2.5,2.75)2.625負負0.215(2.5,

6、2.625)2.5625負負0.066(2.5,2.5625)2.53125負負 -0.009(2.53125,2.5625)2.546875負負0.029(2.53125,2.546875)2.5390625負負0.010(2.53125,2.5390625) 2.53515625負負0.001f(b)正正正正正正正正正正正正 正正正正| 2.5390625 2.53125|=0.0078125001 精確度已達到精確度已達到001 這種運用這種運用縮小零點所在范圍縮小零點所在范圍的方法在數學和計的方法在數學和計算機科學上被稱為算機科學上被稱為二分法二分法. 對于區間對于區間a,b上連續不斷

7、且上連續不斷且f(a) f(b)0的函數的函數y=f(x)，通過不斷地把函數，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做到零點近似值的方法叫做二分法二分法(bisection). 二分法的實質二分法的實質就是將函數零點所在的區間就是將函數零點所在的區間不斷地一分為二，使新得到的區間不斷變小，不斷地一分為二，使新得到的區間不斷變小，兩個端點逐步逼近零點兩個端點逐步逼近零點 思考：下列函數中思考：下列函數中哪個能用二分法求零點？哪個能用二分法求零點？二分法求方程近似解的一

8、般步驟：二分法求方程近似解的一般步驟： 1、確定區間確定區間a,ba,b，驗證，驗證f(a)f(b)0f(a)f(b)0，給定，給定精確度精確度.2、求區間求區間(a,b)(a,b)的中點的中點c.c.3、計算、計算f(c);(1) 若若f(c)=0,則則c就是函數的零點就是函數的零點(2) 若若f(a)f(c)0,則令則令b= c(此時零點此時零點x0(a,c)(3) 若若f(b)f(c)0,則令則令a= c(此時零點此時零點x0(c,b) 4、判斷是否達到精確度、判斷是否達到精確度，即若，即若|a-b| ,則得則得到零點的近似值到零點的近似值a(或或b)；否則重復；否則重復24. 由由|a

9、-b|可知，區間可知，區間a，b中任意一個值都是中任意一個值都是零零點點x x0 0 的滿足精確度的滿足精確度的近似值，這是為什么呢？的近似值，這是為什么呢？（當然為了方便，這里統一取區間端點（當然為了方便，這里統一取區間端點a（或（或b）作）作為零點的近似值）為零點的近似值）確定初始區間確定初始區間求中點，算其函數值求中點，算其函數值縮小區間縮小區間算長度，比精度算長度，比精度下結論下結論返返回回周而復始怎么辦周而復始怎么辦? ? 精確度上來判斷精確度上來判斷. .定區間，找中點，中值計算兩邊看定區間，找中點，中值計算兩邊看. .同號去，異號算，零點落在異號間同號去，異號算，零點落在異號間.

10、 .口口 訣訣例例: 求出方程求出方程x2-2x-1=0的一個近似解的一個近似解(精確度精確度0.1) 解：做出函數解：做出函數f(x)=x2-2x-1的對應值表與圖的對應值表與圖像像x-10123f(x)2-1-2-12 由圖可知道此函數在由圖可知道此函數在區間（區間（-1，0）與（）與（2，3）內有零點）內有零點-1-2-2-111 232oxy2+3f(2) 021x(2,2.5)2+2.52f() 01x(2.25,2.5)2.25+2.5f() 021x(2.375,2.5)f(2.375) 01x(2.375,2.4375)在區間（在區間（2 2，3 3）中）中由于由于2.375-

11、2.4375 = 0.0625 0.1所以方程的一個近似解可取為所以方程的一個近似解可取為2.4375.2.4375. 在區間（在區間（-1，0）中同理可得到方程的另外）中同理可得到方程的另外一個近似解為一個近似解為0.375.綜上所述方程的近似解分別是綜上所述方程的近似解分別是0.375，2.4375. 用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的數的變號零點變號零點適合，對函數的不變號零點不適用適合，對函數的不變號零點不適用.例：用二分法求方程例：用二分法求方程 在區間在區間(-1,0)(-1,0)內的近似解內的近似解( (精確度精確度0.1)0.1)1

12、)3)(2)(1( xxx0f(x) = (x+1)(x-2)(x-3)-1,x ,點為為令令零零精精確確度度易知：易知：f(-1)0f(-1)0f(0)0取取x=-0.5x=-0.5，計算，計算f(-0.5)3.3750f(-0.5)3.37500 x(-1,-0.5)取取x=-0.75x=-0.75，計算，計算f(-0.75)1.580f(-0.75)1.580)75. 0, 1(0 x解：解：取取x=-0.875，計算，計算f(-0.875)0.390)875. 0, 1(0 x取取x=-0.9375，計算，計算f(-0.9375)-0.280)875. 0,9375. 0(0 x1 .

13、 00625. 0| )875. 0()9375. 0( | 此時此時 原方程的近似解取為原方程的近似解取為-0.9375 對于對于在區間在區間a,b上上連續不斷連續不斷、且、且f(a)f(b)0的函數的函數y=f(x)，通過不斷把函數，通過不斷把函數f(x)的零點所在的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫點，進而得到零點近似值的方法叫二分法二分法1.二分法二分法 2.概括利用二分法求函數概括利用二分法求函數f(x)零點的近似值的步驟零點的近似值的步驟f(a) f(b) 0.f(a) f(b) 00 x(a,c)

14、a-b f(c) f(b) 00 x(c,b)1.下列函數中能用二分法求零點的是（下列函數中能用二分法求零點的是（ ）xy0 xy0 xy0 xy0ABCDB 2.用二分法求函數用二分法求函數y=f(x)在在 內零點內零點近似值的過程中得到近似值的過程中得到f(1)0，f(1.25)0，則函數的零點落在區間（，則函數的零點落在區間（ ）x(1,2)A.（1，1.25） B.（1.25，1.5）C. （1.5，2） D.不能確定不能確定A2f(x) = mx +(m-3)x+13.已知函數已知函數的圖象與的圖象與x x軸的交點至少有一個在原點右側，則軸的交點至少有一個在原點右側，則 實數實數m的

15、取值范圍是（的取值范圍是（ ）(0,1(0,1)(- ,1)(- ,1 B DACD32f(x) = ax +bx +cx+d4.已知函數已知函數的圖象如圖所示，則的圖象如圖所示，則12b(0,1) Bb(1,2) Cb(2,+) D b(- ,0)A 1. 有題設可知有題設可知f(0)=-1.40，由于，由于f(0).f(1)0，所以函數，所以函數f(x)在區間（在區間（0，1）內有一）內有一個零點個零點 下面用二分法求函數下面用二分法求函數f(x)=x3 +1.1x2 +0.9x-1.4在區間（在區間（0，1）內的零點）內的零點取區間（取區間（0，1）的中點）的中點 ，用計算器算得，用計算

16、器算得f(0.5)=-0.55，因為，因為f(0.5).f(1)0，所以，所以 1x = 0.50 x(0.5,1).再取區間（再取區間（0.5，1）的中點）的中點 ，用計算器算得，用計算器算得f(0.75) 0.32.因為因為f(0.5).f(0.75)0,所以所以1x = 0.752x(0.5,0.75)同理得同理得000 x(0.625,0.75),x(0.625,0.6875),x(0.65625,0.6875).0.6875-0.65625 = 0.03125 0.1.由由于于所以原函數在區間（所以原函數在區間（0，1）內精確到）內精確到0.1的零點約的零點約為為0.7. 2.原方程即原方程即x+lgx-3=0，令，令f(x)=x+lgx-3用用計算器算得計算器算得f(2) -0.70，f(3) 0.48，于是，于是f(2).f(3)0，所以這個方程在區間（，所以這個方程在區間（2，3）內有）內有一個解下面用二分法求方程一個解下面用二分法求方程x=3-lgx在區間在區間（2，3）的近似解：）的近似解：取區間（取區間（2，3）的中點）的中點 ，用計算器得，用計算器得f(2.5) -0.10.因為因為f(2.5).f(3)0，所以，所以1x = 2.50 x(2.5,3)