1、函數的單調性與最值函數的單調性與最值 第二講函數及其性質之三第二講函數及其性質之三憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點上升的上升的 下降的下降的 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點增函數增函數 減函數減函數 2121212121函數的單調性與不等式函數的單調性與不等式 設函數設函數yf(x)的定義域為的定義域為I,如果對于定義域如果對于定義域I內的內的某個區間某個區間D內的任意兩個自變量內的任意兩個自變量x1、x2,當當x1x2時時,都有都有f(x1)f(x2),那么就說那么就說f(x)在區間在區間D上是增函數上是增函數.1.函數單調性的定義函數單調性的定義 設函數設函數yf(x)的

2、定義域為的定義域為I，如果對于定義域，如果對于定義域I內內的某個區間的某個區間D內的任意兩個自變量內的任意兩個自變量x1、x2, 當當x1f(x2) , 那么就說那么就說f(x)在區間在區間D上是增函數上是增函數.憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點任取任取x1, x2D,且且x10時，時，f(x)1,且對任意的且對任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求求f(0)的值；的值； (2)判斷判斷f(x)的單調性的單調性.一、抽象函數的單調性與最值一、抽象函數的單調性與最值解解: (1)令令 a = b = 0, 則則2(0)(0),ff (0)0,(0)1.ff任取任

3、取x1, x2R，且，且x10 恒成立恒成立.(0)( )(),ff xfx( )()1f xfx即即. .由于當由于當 x 0 時，時，f (x) 1,則則 f(x2)=f(x2- -x1)+x1 f( x1).即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函數的增函數.=f(x2- - x1)f(x1) f(x2- - x1)1. 【1】若對一切實數】若對一切實數x, y 都有都有 (1)求求f(0)的值的值; (2)判定判定f(x)的奇數偶性的奇數偶性. .()( )( ).f xyf xf y 令令 x = y = 0, 則則令令y = - -x , 則則故故 f (x)

4、是奇函數是奇函數.解解:因為對于任何實數因為對于任何實數 x, y 都有都有(0)( )(),ff xfx(0)2 (0),ff (0)0.f()( ).fxf x ()( )( ),f x yf xf y 證明證明: 任取任取 x1, x2R，且，且 x10, f(x2- - x1)1. = =f(x2- - x1)- -1.f(x2)- -f(x1)0， 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函數的增函數. 【 2 】 若 函 數若 函 數 f ( x ) 對 任 意對 任 意 a , b R 都 有都 有 f(a+b)=f(a)+f(b)- -1, 并且當并且當x0

5、 時時, 有有 f(x)1. 求證求證: f(x) 是是 R 上上 的增函數的增函數.f(x2- - x1)- -10. =f(x2- - x1)+f(x1) - -1- - f(x1) 【3】已知函數】已知函數 f (x) 對于任何實數對于任何實數 x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)=2f (x) f (y) 且且 f (0)0求證求證: f (x) 是偶函數是偶函數.令令 x = y = 0, 則則令令 x = 0 , 則則故故 f (x)是偶函數是偶函數.解：已知函數解：已知函數 f (x) 對于任何實數對于任何實數 x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)

6、=2f (x) f (y)，( )()2 ( ),f yfyf y22 (0)2(0),ff(0)0,(0)1.ff( )(),f yfy( )().f xfx即即例例2.2.判斷函數判斷函數 在區間在區間(- -1,1)上的單調性上的單調性.2( )1xf xx 解解: :設設則則 f( (x1 1) )f( (x2 2) )12221211xxxx ) 1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x xxxxx 1x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0 .即即 f(x1)f(x2) .故此函數

7、在故此函數在( (- -1,1)1,1)上是減函數上是減函數. .1211,xx 二、函數單調性的判定及證明二、函數單調性的判定及證明例例3. 設設 為奇函數為奇函數,且定義域為且定義域為R.(1)求求b的值；的值；(2)判斷函數判斷函數f(x)的單調性；的單調性；(3)若對于任意若對于任意t R, 不等式不等式 恒成立，求實數恒成立，求實數k的取值范圍的取值范圍12( )22xxbf x 22(2 )(2)0f ttftk 解解: (1)由由 f ( x ) 是奇函數是奇函數, 則則 f(- -x )=- -f (x),整理整理, 得得1.b 1122,2222xxxxbb 111220,2

8、 222xxxxbb (1)(21)0,2(21)xxb 證明證明: (2) 任取任取 x1, x2 , 且且x1 x2 , 12()()f xf x 則則1212()()0,()().f xf xf xf x 即即所以函數所以函數 f(x) 在在R內是減函數內是減函數.( 21) 211( ),22(21)21xxxf x 121111()222121xx 121111()222121xx 2112220.(21)(21)xxxx 所以實數所以實數k的取值范圍是的取值范圍是解解: (3) 因為因為 f(x)定義域為定義域為R的奇函數的奇函數,且是減函數且是減函數,從而判別式從而判別式4120,k 1.3k 22(2 )(2)0,f ttftk 22(2 )( 2),f ttftk 2222,tttk 所以對任意所以對任意t R, 不等式不等式 恒成立恒成立.2320ttk 從而不等式從而不等式等價于等價于1.3k 所以實數所以實數k的取值范圍是的取值范圍是設設22(2 )(2)0,f ttftk 22(2 )( 2),f ttftk 2222,tttk 所以對任意所以對任意t R, 恒成立恒成立.232ktt 從而不等式從而不等式等價于等價于1.3k min( ).kg t 從而從而只須只須2( )32 ,g ttt 211( )3(