1、2022年5月7日振動力學22022年5月7日中國力學學會學術大會200522022年5月7日22022年5月7日振動力學3單自由度系統振動單自由度系統振動2022年5月7日振動力學32022年5月7日振動力學4單自由度系統振動單自由度系統振動2022年5月7日振動力學4振動力學5單自由度系統的振動單自由度系統的振動2-4 2-4 單自由度系統的強迫振動單自由度系統的強迫振動 簡諧激勵簡諧激勵所引起的系統響應所引起的系統響應 周期激勵周期激勵所引起的系統響應所引起的系統響應 任意激勵任意激勵所引起的系統響應所引起的系統響應1.1.簡諧激振力引起的強迫振動簡諧激振力引起的強迫振動 （1 1）運動

2、微分方程及求解）運動微分方程及求解 圖圖2-272-27為單自由度系統受簡諧激振力為單自由度系統受簡諧激振力的力學模型。簡諧力的力學模型。簡諧力F=FF=F0 0 sin sin 0 0 t, t, 0 0為激振為激振頻率頻率，則系統運動微分方程為，則系統運動微分方程為上式坐標原點在靜平衡位置。方程（上式坐標原點在靜平衡位置。方程（2-352-35）的解可表示為的解可表示為圖圖 2-272-2700sin(2 35)mx cx kxFt12( )( )( )x tx tx tF=FF=F0 0 sin sin 0 0 t t2022年5月7日600sinmxcxkxFt振動微分方程：振動微分方

3、程：顯含時間顯含時間 t t非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解（阻尼）自由振動（阻尼）自由振動逐漸衰減逐漸衰減瞬態響應瞬態響應持續等幅振動持續等幅振動穩態響應穩態響應本節內容本節內容單自由度系統受迫振動單自由度系統受迫振動 / / 簡諧力激勵的強迫振動簡諧力激勵的強迫振動振動力學7單自由度系統的振動單自由度系統的振動其中其中x x 1 1(t)(t)為齊次方程通解，為齊次方程通解，稱為瞬態響應稱為瞬態響應，在弱阻尼情況下，在弱阻尼情況下x x 2 2(t)(t)為特解，為特解，稱為穩態響應稱為穩態

4、響應，令其形式為，令其形式為為求為求B B和和 將將x x 2 2(t)(t) 代入式（代入式（2-352-35）整理得）整理得令令 0 0/ / = = , , 稱為稱為頻率比頻率比，則，則則（則（2-372-37）為）為系統穩態響應系統穩態響應相位角相位角 112( )(cossin )tx teDtDt20( )sin()(236)x tBt022200(237)()()FBkmc22200002,22mckk0222/(238)(1)(2)FkB020222/( )sin()(239)(1)(2)Fkx tt0222arctan()arctan()(240)1ckm振動力學8單自由度系

5、統的振動單自由度系統的振動 系統的阻尼的存在，使系統的阻尼的存在，使系統的穩態響應在相位上比激振力之后系統的穩態響應在相位上比激振力之后 角角。 若沒有阻尼，即若沒有阻尼，即 =0=0，則，則 =0=0，此時激振力與響應同相位。，此時激振力與響應同相位。 強迫振動性質：強迫振動性質： 1 1）簡諧激勵下，穩態響應）簡諧激勵下，穩態響應為簡諧運動，其頻率與激振頻率為簡諧運動，其頻率與激振頻率 0 0 相相同。同。 2 2）穩態響應振幅）穩態響應振幅B B和相位差和相位差 只決定于系統只決定于系統本身的物理性質和激振力本身的物理性質和激振力的振幅大小與頻率的振幅大小與頻率，與初始條件無關；，與初始

6、條件無關； 3) 3) 初始條件只影響系統的瞬態響應初始條件只影響系統的瞬態響應; ; 記記B B0 0= =F F0 0/ /k k ，則，則 4) 4) 影響穩態響應幅值因素有影響穩態響應幅值因素有3 3個：個：B B0 0、 B B0 0反映了激振力的影響，因此改變振幅方法之一是改變激振幅值。反映了激振力的影響，因此改變振幅方法之一是改變激振幅值。 反映激勵頻率的影響。反映激勵頻率的影響。 反映阻尼的影響。反映阻尼的影響。 式（式（2-412-41）寫為）寫為0222(241)(1)(2)BB振動力學9單自由度系統的振動單自由度系統的振動 稱為稱為動力放大系數，動力放大系數，是評估機械系

7、統是評估機械系統動態工作環境動態工作環境的重要指標之一。為了的重要指標之一。為了分析系統的特性，以頻率比分析系統的特性，以頻率比 為橫坐標，為橫坐標， 為縱坐標、以阻尼比為縱坐標、以阻尼比 為參數畫為參數畫出一組曲線，稱為出一組曲線，稱為幅頻響應曲線幅頻響應曲線。 可見：可見： . . 111時，即時，即 0 0 遠大于遠大于 時，無論時，無論阻尼大小如何，阻尼大小如何， ，此時，此時 22201=(242)(1)(2)BB圖圖 2-282-28001FBBBk，0200022200=FFFBkkm振動力學10單自由度系統的振動單自由度系統的振動振幅大小主要決定于系統慣性，這一區域振幅大小主要

8、決定于系統慣性，這一區域稱為稱為“慣性控制區慣性控制區”。 對啟動次數不多的高速旋轉機械，在對啟動次數不多的高速旋轉機械，在通過共振區后就有抑制振幅的預防措施，通過共振區后就有抑制振幅的預防措施，在越過共振區到達高速旋轉時，振幅反而在越過共振區到達高速旋轉時，振幅反而很小，旋轉更趨平衡。很小，旋轉更趨平衡。 . . 1 1 時，即時，即 0 0接近接近 ，振幅大小，振幅大小與阻尼情況極為密切。在與阻尼情況極為密切。在 較小的情況下較小的情況下，振幅，振幅B B可以很大，在可以很大，在0 0 的情況下，振的情況下，振幅幅B B趨向無窮大。趨向無窮大。 因為因為 可見可見慣性力和彈性力基本平衡慣性

9、力和彈性力基本平衡，從而有，從而有激振力與阻尼力相平衡激振力與阻尼力相平衡， 即有即有BcBc 0 0=F=F 0 0 ，B=FB=F0 0/c/c 0 0 , ,因此阻尼對系統響應有著因此阻尼對系統響應有著決定性影響，振幅決定性影響，振幅B B大小隨阻尼大小隨阻尼c c而定，這而定，這一區域稱為一區域稱為“阻尼控制區阻尼控制區”。 2200, mBmBkB故 振動力學11單自由度系統的振動單自由度系統的振動 激振力頻率激振力頻率 0 0與系統固有頻率與系統固有頻率 相等相等時，稱為時，稱為共振共振。實際上當有阻尼作用時，。實際上當有阻尼作用時，振幅最大不在振幅最大不在 0 0 = = 處處

10、可見，響應的峰值出現在可見，響應的峰值出現在 0 0比比 略略小的地方。實際上，阻尼往往比較小，所小的地方。實際上，阻尼往往比較小，所以一般以以一般以 0 0 = = 作為作為共振頻率共振頻率。 相對阻尼系數相對阻尼系數 對振幅的影響，從對振幅的影響，從幅頻響應曲線可以看出阻尼在共振附近一幅頻響應曲線可以看出阻尼在共振附近一定范圍內，對減小振幅有顯著作用，增加定范圍內，對減小振幅有顯著作用，增加阻尼，振幅可以明顯下降。阻尼，振幅可以明顯下降。20= 1-2 時，阻尼對振時，阻尼對振幅幾乎沒有什么作用。幅幾乎沒有什么作用。 . .共振時的動力放大系數稱為共振時的動力放大系數稱為“品質因子品質因子

11、”用符號用符號Q Q表示。由式（表示。由式（2-422-42），當），當 =1=1時時 在頻率比為在頻率比為 =1=1的虛線兩側，曲線可以近似的虛線兩側，曲線可以近似地認為是對稱的，作地認為是對稱的，作 的一條水平線與響應的一條水平線與響應曲線交于曲線交于q q1 1和和q q2 2兩點，稱為兩點，稱為半功率點半功率點，其對應的頻率比為，其對應的頻率比為 1 1和和 2 2。對于半功。對于半功率點率點q q1 1和和q q2 2 ，由式，由式(2-42)(2-42)與式（與式（2-442-44）得）得00max2BFBc圖圖 2-292-291(2 44)2Q/ 2Q2211222(1)(2)

12、Q振動力學13單自由度系統的振動單自由度系統的振動從上式可解出兩個根從上式可解出兩個根 ，這里，這里 1 1和和 2 2 就是半功率點的橫坐就是半功率點的橫坐標，標， 2 2- - 2 2=2=2或或2 2 1 1 稱為稱為系統的帶寬系統的帶寬，于是，于是Q Q 值可表示為值可表示為 當阻尼大時，帶寬就寬，過共振時振幅變化平緩，振幅較小；反之，當阻尼大時，帶寬就寬，過共振時振幅變化平緩，振幅較小；反之，阻尼小時，帶寬就窄，過共振時振幅變化較陡，振幅就大。所以阻尼小時，帶寬就窄，過共振時振幅變化較陡，振幅就大。所以品質因子品質因子反映了系統阻尼強弱性質和共振峰的陡峭程度反映了系統阻尼強弱性質和共

13、振峰的陡峭程度。在機械系統中，為了過共。在機械系統中，為了過共振時比較平穩，希望振時比較平穩，希望Q Q值小些。式（值小些。式（2-452-45）提供了由）提供了由試驗估算系統阻尼比試驗估算系統阻尼比 的方法的方法。 半功率點半功率點q q1 1和和q q2 2 處的相位角由式（處的相位角由式（2-402-40）估算如下：估算如下： 121,1 212111(245)2Q11221122222222 (1)tan111(1)4522 (1)tan111(1)135 。振動力學14單自由度系統的振動單自由度系統的振動 . .相位差相位差 與頻率比與頻率比 、阻尼、阻尼比比 關系曲線如圖關系曲線如

14、圖2-302-30，稱為，稱為相頻相頻響應曲線響應曲線。 a. a.當當 =1=1，即共振時，不管系，即共振時，不管系統阻尼如何，響應總是滯后于激振統阻尼如何，響應總是滯后于激振力力9090； b. b.若若 =0=0，相位角僅是，相位角僅是0 0或或180180。相位在共振點前后發生突。相位在共振點前后發生突變；變； c. c.若若 00，則，則 隨隨 增大而逐增大而逐漸增大，不會發生突變，但在共振漸增大，不會發生突變，但在共振點，特別當點，特別當 較小時，相位角較小時，相位角 變化變化較大。較大。圖圖 2-302-302022年5月7日振動力學15振動力學15單自由度系統的振動單自由度系統

15、的振動（2 2）系統初始階段的響應）系統初始階段的響應 a) a) 響應特征響應特征 在簡諧激振力作用下系統的總響應為在簡諧激振力作用下系統的總響應為 由兩種由兩種不同頻率不同頻率和和振幅振幅的簡諧運動疊的簡諧運動疊加而成的比較復雜的運動。加而成的比較復雜的運動。 實線實線表示某種情況下兩種表示某種情況下兩種運動疊加運動疊加的的結果。結果。 虛線虛線表示表示等幅等幅運動。運動。 經過一段時間后，實線逐漸與虛線相經過一段時間后，實線逐漸與虛線相重合而成為重合而成為單純的穩態振動單純的穩態振動。120( )( )( )(246)sin()sin()tx tx tx tAetBt振動力學16單自由度

16、系統的振動單自由度系統的振動 b) b) 積分常數特征積分常數特征 1 1）式（）式（2-462-46）中的積分常數）中的積分常數A A、 雖然雖然仍由初始條件定，但在此情況下不能按自仍由初始條件定，但在此情況下不能按自由振動得到的積分常數直接代入；由振動得到的積分常數直接代入； 2 2）強迫振動情況下，即使初位移和初）強迫振動情況下，即使初位移和初速度均為零，在響應中仍包含瞬態部分，速度均為零，在響應中仍包含瞬態部分，積分常數必須與穩態解一起考慮。積分常數必須與穩態解一起考慮。 如無阻尼，將式（如無阻尼，將式（2-462-46）改寫為）改寫為 設設t=0t=0時，時， , ,代入初始條件得代

17、入初始條件得圖圖 2-31002sin( )sin()(247)1Ftx tAtk0,0 xx002,0(1)FAk振動力學17單自由度系統的振動單自由度系統的振動代入（代入（2-472-47）得）得 可見：可見：1 1）強迫振動即使在初位移和初速度均為零，在強迫振動即使在初位移和初速度均為零，在激振力作用下仍存在著瞬態響應激振力作用下仍存在著瞬態響應，即上式等號右端括號，即上式等號右端括號中的第二項，在有阻尼的情況下，此項數值將逐漸趨向中的第二項，在有阻尼的情況下，此項數值將逐漸趨向于零。于零。 2 2）當系統的固有頻率比較低時，瞬態振動振幅）當系統的固有頻率比較低時，瞬態振動振幅就可能比較

18、大，而且在較長時間內不易衰減下去。就可能比較大，而且在較長時間內不易衰減下去。 3 3）因此）因此實驗中測定強迫振動振幅時，應該在經實驗中測定強迫振動振幅時，應該在經過一段時間穩定以后再測量過一段時間穩定以后再測量，否則可能測到的是兩部分，否則可能測到的是兩部分振動之和。振動之和。 0002( )(sinsin)(248)(1)Fx tttk2022年5月7日振動力學1818單自由度系統的振動單自由度系統的振動 c) c)一般初值響應一般初值響應 如果初始條件是如果初始條件是t=0, t=0, ，由式（，由式（2-462-46），在簡諧），在簡諧激振力作用下系統初始階段的響應為激振力作用下系統

19、初始階段的響應為其中其中00,xx xx0sin()sin()txAetBt22000000002 22sincos()(sin )(sin )arctan(2 49)sincos/(1)(2)xxBBAxBxBxxBBFkB22000000()arctanxxAxxxx自由振動自由振動振動力學19單自由度系統的振動單自由度系統的振動 d) d) 激振力頻率激振力頻率 0 0等于或接近于自由振動頻率等于或接近于自由振動頻率 情形情形 引入引入 0 0 =2=2考慮式（考慮式（2-482-48），當），當 很小時，則很小時，則式（式（2-502-50）中）中很小，很小，sinsint t變化緩慢

20、，周期變化緩慢，周期2 2/ /很大。式（很大。式（2-502-50）可看成周期為可看成周期為2 2/ / 、可變振幅等于、可變振幅等于 的振動。的振動。這種現這種現象稱為拍，象稱為拍，按圖按圖2-322-32中規律變化。拍的周期為中規律變化。拍的周期為/ / 。 0sincos(250)2Ftxtm 0(/2)sinFmt 圖圖 2-322-322022年5月7日振動力學20振動力學20單自由度系統的振動單自由度系統的振動當當 0 0接近接近 時時 說明共振時，如無阻尼，振幅將隨時說明共振時，如無阻尼，振幅將隨時間無限的增大，拍的周期稱為無窮大，如間無限的增大，拍的周期稱為無窮大，如圖圖2-

21、332-33。0cos2F txtm 圖圖 2-332-33振動力學21單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例 2-17 2-17 如圖如圖2-26 2-26 所示系統，若所示系統，若m=20kgm=20kg，k k=8kN/m=8kN/m，c=130N.s/mc=130N.s/m，受到，受到F(t)=24sin15t (N)F(t)=24sin15t (N)的激振力作用；設的激振力作用；設t=0t=0時，時， , ,求系統的穩態響應、瞬態響應和總響應。求系統的穩態響應、瞬態響應和總響應。解：解：穩態響應：穩態響應：(0)0, (0) 100/xxmm s圖圖 2-2622800020/20

22、/ 2130 / (22020)0.1625120 10.162519.73/kradsmcmrads0022222 22sin()( )(1)(2)24sin(15)800015151 () (2 0.1625)20200.006sin(15)6sin(15)Ftx tktttF(t)振動力學22單自由度系統的振動單自由度系統的振動瞬態響應：瞬態響應：總響應為總響應為由初始條件由初始條件得得總響應為總響應為221520.1625220arctanarctan29.121511()20。3.251( )sin( )sin(19.73)ttx tAetAet3.25( )sin(19.73)6s

23、in(1529.12 )tx tAett。(0)0sin6sin( 29.12 )(0)100 xAx。3.31,61.82A。3.25( )3.31sin(19.7361.82 )6sin(1529.12 )tx tett。2022年5月7日振動力學232022年5月7日振動力學23單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年5月7日振動力學242022年5月7日振動力學24單自由度系統振動單自由度系統振動2022年5月7日振動力學24振動力學25單自由度系統的振動單自由度系統的振動2.2.偏心質量引起的強迫振動偏心質量引起的強迫振動 設總質量為設總質量為M M，其中轉子質量為，其中轉

24、子質量為m m，轉子質心到轉軸距離，即偏心距，轉子質心到轉軸距離，即偏心距為為e e，轉子以角速度，轉子以角速度 0 0轉動，機器通過彈簧與阻尼器安裝在基礎上。由轉動，機器通過彈簧與阻尼器安裝在基礎上。由于約束的限制，機器只能沿鉛直方向運動，如圖于約束的限制，機器只能沿鉛直方向運動，如圖2-342-34（a a）所示。）所示。 設設x(t)x(t)為非轉動部分的質量（為非轉動部分的質量（M-mM-m）自靜平衡起的垂直位移，則）自靜平衡起的垂直位移，則m m的的垂直位移為：垂直位移為：x(t)+esinx(t)+esin 0 0t t。由牛頓第二定律：。由牛頓第二定律：整理得整理得式中式中 為因

25、轉子失衡而產生的為因轉子失衡而產生的激振力的幅值，其等效系統如圖激振力的幅值，其等效系統如圖2-342-34（b b）圖圖 2-342-3422022()(sin)d xddxM mmx etckxdtdtdt20000sinsin(251)MxcxkxmetFt200Fme振動力學26單自由度系統的振動單自由度系統的振動 可見只要用可見只要用meme 0 02 2 取代取代F F0 0，前面分析皆適用。穩態強迫振動為，前面分析皆適用。穩態強迫振動為且有且有根據式（根據式（2-522-52）可畫）可畫 與與 的關的關系曲線，如圖系曲線，如圖2-352-35。0sin()xBt220222222

26、200022202222/()(2)(1)(2)22arctanarctan1(252)(1)(2)meMmeBMMBmeMBme圖圖 2-352-352 2201=(2 42)(1)(2)BB振動力學27單自由度系統的振動單自由度系統的振動可見：可見：當當 , ,即動態響應為零，因為即動態響應為零，因為 時，自然就無振動時，自然就無振動. .當當 ，出現共振，出現共振， =90=90。即當整個系統向上運動通過。即當整個系統向上運動通過靜平衡位置時，偏心質量正好處于旋轉中心的正上方，因此，靜平衡位置時，偏心質量正好處于旋轉中心的正上方，因此，可用試驗可用試驗方法來測定系統的固有頻率方法來測定系

27、統的固有頻率( (測定由水平或底部位置到達頂部時間測定由水平或底部位置到達頂部時間）。當當 , , 說明說明超越臨界轉速后，系統的響應與頻超越臨界轉速后，系統的響應與頻率及阻尼無關，且振幅保持為率及阻尼無關，且振幅保持為一個常數，相位角一個常數，相位角 是是180180。也就是說整個系統向上運動到也就是說整個系統向上運動到最頂位置時，偏心質量正好在最頂位置時，偏心質量正好在旋轉中心的最下方。旋轉中心的最下方。0,/0MB me001,/1/2MB me1,/1/MB meme M，即 B圖圖 2-352-352022年5月7日振動力學282022年5月7日振動力學282022年5月7日振動力學

28、28單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年5月7日振動力學292022年5月7日振動力學292022年5月7日振動力學29單自由度系統振動單自由度系統振動2022年5月7日振動力學292022年5月7日振動力學30振動力學30單自由度系統的振動單自由度系統的振動3.3.支承運動引起的強迫振動支承運動引起的強迫振動 系統振動在不少情況下是由支承運動引起的。系統振動在不少情況下是由支承運動引起的。 如：地面的振動會引起它上面機器的振動；如：地面的振動會引起它上面機器的振動； 汽車駛過不平的路面產生的振動。汽車駛過不平的路面產生的振動。振動力學31單自由度系統的振動單自由度系統的振動支承

29、運動下的強迫振動模型如圖支承運動下的強迫振動模型如圖2-362-36設設y(t)y(t)和和x(t)x(t)分別為基礎和質量的位移，其相對位移分別為基礎和質量的位移，其相對位移z=x-yz=x-y，以質量，以質量塊為對象，由牛頓第二定律得塊為對象，由牛頓第二定律得以以z=x-yz=x-y代入上式，并設支承點作簡諧代入上式，并設支承點作簡諧運動：運動：y=asiny=asin 0 0t,t,則則其穩態響應為其穩態響應為式中式中圖圖 2-362-36()()(2 53)mxc xyk xy 200sin(2 54)mzczkzmymat0sin()zBt2202 222 2200220()(1)(

30、2)2tan1maaBkmcckm振動力學32單自由度系統的振動單自由度系統的振動若用質量塊的絕對運動若用質量塊的絕對運動x x來表示，則來表示，則可見：可見：支承運動時相當于系統上作用了兩個激振力支承運動時相當于系統上作用了兩個激振力。一個是經過彈簧一個是經過彈簧傳遞過來的傳遞過來的kyky，另一個是，另一個是 。兩者相位不同，前者與。兩者相位不同，前者與y y同向，后者超同向，后者超前前9090，與，與 同向。同向。 設（設（2-552-55）解為）解為x=Bsin(x=Bsin( 0 0t-t- ) )，則，則動力放大系數為動力放大系數為(2 55)mx cx kxky cycy y 2

31、2223221 (2)(1)(2)2arctan(256)1(2)Ba22221 (2)(257)(1)(2)Ba振動力學33單自由度系統的振動單自由度系統的振動幅頻響應和相頻響應曲線如圖幅頻響應和相頻響應曲線如圖2-372-37可見：可見： 1 1）當）當 。這時質量塊相對支承幾乎沒有運動。這時質量塊相對支承幾乎沒有運動。 2 2）當）當 時，響應大小決定于系統的阻尼比時，響應大小決定于系統的阻尼比 的數值。且阻尼較小時，的數值。且阻尼較小時， 有極值，系統發生共振。有極值，系統發生共振。 3 3）當）當 時，不論時，不論 為何值，都有為何值，都有 =1=1圖圖 2-372-37000=1=

32、0即時，1= 2振動力學34單自由度系統的振動單自由度系統的振動 4 4）當）當 時，振幅時，振幅B B 就小于支承運動的振幅就小于支承運動的振幅a a，而且阻尼大的，而且阻尼大的系統比阻尼小的振幅反而要稍大些。系統比阻尼小的振幅反而要稍大些。 5 5）當）當 時，時，B/a0,B/a0,質量塊幾乎不動，說明支承的運動對重質量塊幾乎不動，說明支承的運動對重物影響極小。物影響極小。22圖圖 2-372-372022年5月7日振動力學352022年5月7日振動力學352022年5月7日振動力學352022年5月7日振動力學35單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年5月7日振動力學362

33、022年5月7日振動力學362022年5月7日振動力學362022年5月7日振動力學36單自由度系統振動單自由度系統振動2022年5月7日振動力學362022年5月7日振動力學37振動力學37單自由度系統的振動單自由度系統的振動4.4.隔振原理隔振原理 隔振隔振是在物體與支承面之間加入彈性襯墊，以隔離振動。是在物體與支承面之間加入彈性襯墊，以隔離振動。 分主動隔振和被動隔振兩種情況。分主動隔振和被動隔振兩種情況。 （1 1）主動隔振）主動隔振 機器本身是根源，使它與地基隔離開來，以機器本身是根源，使它與地基隔離開來，以減少它對環境的影減少它對環境的影響響，稱，稱主動隔振主動隔振。例如把機器安裝

34、在較大的基礎上，在基礎與地基。例如把機器安裝在較大的基礎上，在基礎與地基之間設置若干橡膠隔振器就是一種常用的主動隔離措施。之間設置若干橡膠隔振器就是一種常用的主動隔離措施。 主動隔離效果用主動隔離效果用主動隔振系數主動隔振系數 1 1來表示。來表示。1隔振后傳到地基上的力幅沒有隔振時傳到地基上的力幅隔振系數越小，隔振效果越好。隔振系數越小，隔振效果越好。振動力學38單自由度系統的振動單自由度系統的振動圖圖2-382-38（a a）表示質量塊）表示質量塊m m未未加隔振裝置，其上作用有簡加隔振裝置，其上作用有簡諧干擾力諧干擾力F=FF=F0 0 sin sin 0 0t t，顯然，顯然傳到地基上

35、的力幅是傳到地基上的力幅是F F0 0。加隔振裝置后，如圖加隔振裝置后，如圖2-382-38（b b），），傳到地基上的力為彈簧作用力傳到地基上的力為彈簧作用力F Fk k與阻尼器作用的力與阻尼器作用的力F Fc c之和。之和。 這兩部分力頻率相同，均為這兩部分力頻率相同，均為 0 0，用旋轉矢量表示如圖，用旋轉矢量表示如圖2-382-38（c c）。合）。合力最大值為力最大值為 000sin()cos()kcFkxkBtFcxcBt0222(1)(2)FBk2022年5月7日振動力學39振動力學39單自由度系統的振動單自由度系統的振動 因為在激振力因為在激振力F=FF=F0 0 sin si

36、n 0 0t t作用下，系統穩態響應振幅為作用下，系統穩態響應振幅為代入（代入（2-582-58）得到）得到是得主動隔振系數是得主動隔振系數222222maxmax01 (2)(2 58)TkcFFFB kckB202221(2)(1)(2)TFF212 2201 (2)(2 59)(1)(2)TFF0222/(1)(2)FkB振動力學40單自由度系統的振動單自由度系統的振動以以 為橫坐標，為橫坐標， 1 1為縱坐標為縱坐標，阻尼比，阻尼比 取不同值時，得到主動隔振系數取不同值時，得到主動隔振系數 1 1與頻率比與頻率比 的關系曲線。的關系曲線。 因為只有因為只有 1 1 1 1 1，傳給地基

37、的力比不用隔振彈簧還大。，傳給地基的力比不用隔振彈簧還大。22221(2)(1)(2)221111 或2222022年5月7日振動力學41振動力學41單自由度系統的振動單自由度系統的振動當當 ， 1 1 值隨阻尼值隨阻尼 增加而變大，如盲目增大阻尼，反而使增加而變大，如盲目增大阻尼，反而使隔振效果變壞。隔振效果變壞。2振動力學42單自由度系統的振動單自由度系統的振動 （2 2）被動隔振）被動隔振 振源：地基運動振源：地基運動 力學原理：支承運動引起系統發生的強迫振動力學原理：支承運動引起系統發生的強迫振動 為為減少環境振動對系統減少環境振動對系統影響，采取的隔振措施稱為影響，采取的隔振措施稱為

38、被動隔振被動隔振，其，其隔振效果用隔振效果用被動隔振系數被動隔振系數 2 2來表示來表示設振源振動是簡諧的，設振源振動是簡諧的，y=asiny=asin 0 0t t，隔振后物塊振幅，隔振后物塊振幅得被動隔振系數得被動隔振系數 由（由（2-592-59）和（）和（2-602-60）可見，無論主動還是被動隔振，隔振系數與）可見，無論主動還是被動隔振，隔振系數與頻率變化規律是相同的，對主動隔振時頻率變化規律是相同的，對主動隔振時 1 1的討論也適用于被動隔振。的討論也適用于被動隔振。2被 隔 振 物 塊 振 幅振 源 振 動 的 振 幅22221(2)(1)(2)Ba222221(2)(260)(

39、1)(2)Ba振動力學43單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例 2-18 2-18 一臺電機質量一臺電機質量31kg31kg，轉速，轉速n=2970r/minn=2970r/min，在電機與基礎之間，在電機與基礎之間加油彈性襯墊，阻尼不計。要使傳到基礎上的力減為不平衡力的加油彈性襯墊，阻尼不計。要使傳到基礎上的力減為不平衡力的1/101/10，問彈性襯墊的剛度系數，問彈性襯墊的剛度系數k k因為多少。因為多少。解：令式（解：令式（2-592-59）中）中 =0=0，則得不計阻尼時的隔振系數為，則得不計阻尼時的隔振系數為由由 得得2211(2)11才有隔振效果1=10211=10-12202

40、=112（）02297099/30radskm22(99)1131(99)312726/11kkNcm2022年5月7日振動力學442022年5月7日振動力學442022年5月7日振動力學442022年5月7日振動力學44單自由度系統振動單自由度系統振動2022年5月7日振動力學4445單自由度系統的振動單自由度系統的振動5.5.測振原理測振原理測量振動的儀器測量振動的儀器: :測量振幅、振速和振動加速度測量振幅、振速和振動加速度基本原理基本原理: : 強迫振動理論強迫振動理論( (支承運動）支承運動）原理圖組成原理圖組成: : 彈簧彈簧k k、質量、質量m m、阻尼、阻尼c c和機械式記錄器

41、、外殼和機械式記錄器、外殼外殼固定于被測物體上外殼固定于被測物體上 2022年5月7日振動力學46振動力學46單自由度系統的振動單自由度系統的振動設設y y、x x分別為被測物體和儀器質量分別為被測物體和儀器質量m m的位移，在記錄器轉筒上所記錄的的位移，在記錄器轉筒上所記錄的則是它們的相對位移則是它們的相對位移(x-y)(x-y) 設設則則穩態響應為穩態響應為式中式中0sin,yatzxy200()()sinmxc xyk xymzczkzmat 0sin()zBt22022222200220()()(1)(2)2tan(2.61)1maaBkmcckm振動力學47單自由度系統的振動單自由度

42、系統的振動對各個不同的對各個不同的 值，值，B/aB/a與與 的關系如圖的關系如圖2.402.40。圖圖 2-402-402022年5月7日振動力學48振動力學48單自由度系統的振動單自由度系統的振動兩種慣性式測振儀兩種慣性式測振儀（1 1）位移計）位移計 當當 11，即，即 0 0 時，時， B/a1 B/a1， ，表明：記錄的相對運動振幅與頻率與被測物體的振幅與頻表明：記錄的相對運動振幅與頻率與被測物體的振幅與頻率都相同，相位相反。這時率都相同，相位相反。這時x=y+z0,x=y+z0,質量塊在空間幾乎質量塊在空間幾乎不動。不動。 為擴大儀器使用范圍，應使為擴大儀器使用范圍，應使B/a 1

43、B/a 1的范圍盡量大。的范圍盡量大。 由于由于 0 0 ，位移計是一種低固有頻率的儀器，體積，位移計是一種低固有頻率的儀器，體積大、笨重，適用于測量大型機器的振動和地震等。大、笨重，適用于測量大型機器的振動和地震等。00sin()sinzataty振動力學49單自由度系統的振動單自由度系統的振動（2 2）加速度計）加速度計 當當 11，即，即 0 0 時，時， 因加速度計體積小，質量輕，儀器本身質量對測量結果影響小，工因加速度計體積小，質量輕，儀器本身質量對測量結果影響小，工程上現已廣泛使用加速度計。程上現已廣泛使用加速度計。 為使測量結果準確，需盡量使為使測量結果準確，需盡量使 接近于接近

44、于1 1。 與與 、 的關系見圖的關系見圖2.282.28。將圖中。將圖中 11的部分放大畫出圖的部分放大畫出圖2.412.41。 可見要擴大頻率使用范圍，應選擇適當的阻尼，在可見要擴大頻率使用范圍，應選擇適當的阻尼，在 =0.65=0.65 0.700.70， =0=0 0.400.40時，時， 1 1，誤差小于，誤差小于0.1%0.1%。 因此阻尼的合理選擇可以增高加速度計的頻率使用范圍。因此阻尼的合理選擇可以增高加速度計的頻率使用范圍。202aB2222201(1)(2)Ba振動力學50單自由度系統的振動單自由度系統的振動（3 3）加速度計的相位矢量）加速度計的相位矢量 加速度計所示值與

45、被測振動物體運動之間有相位差加速度計所示值與被測振動物體運動之間有相位差 。 與與 的變化規律通常是的變化規律通常是非線性非線性的，在測量由若干簡諧函數疊加而的，在測量由若干簡諧函數疊加而成的非簡諧周期振動時，會造成成的非簡諧周期振動時，會造成波形畸變波形畸變（或（或相位畸變相位畸變）。）。 圖圖 2-412-41振動力學51單自由度系統的振動單自由度系統的振動避免畸變的方法：避免畸變的方法：所測的各次簡諧波的所測的各次簡諧波的相相位角皆為零位角皆為零; ;( (2)2)使每一簡諧波相位角使每一簡諧波相位角 與頻率比與頻率比 成正比，成正比， 即即線性變化線性變化。 由圖可見當由圖可見當 =0

46、.7=0.7時時, ,在在00 1ttt1 1時系統響應時系統響應方法方法1 1：0110011cos()sin()sin()sinFxCttDttkFFtttk tk001111sin(1 cos)FFCtDtk tk t ，2022年5月7日振動力學80振動力學80單自由度系統的振動單自由度系統的振動 方法方法2 2：也可看作兩個從不同時間開始的斜坡函數疊加。對無阻尼系也可看作兩個從不同時間開始的斜坡函數疊加。對無阻尼系統，可得統，可得tttt1 1時系統響應為時系統響應為11111001sin()sin()()sin()sinsin()sinttataxtttkkatattttkkFFt

47、ttkk振動力學81單自由度系統的振動單自由度系統的振動 三角形脈沖的響應三角形脈沖的響應( (無阻尼）無阻尼） a. tt a. tttt1 1時的響應按自由振動處理。時的響應按自由振動處理。t=tt=t1 1時的位移與速度為時的位移與速度為將將 作為初始條件代入自由振動公式得作為初始條件代入自由振動公式得式中式中a=F a=F 0 0/t/t1 1，代入得，代入得10101sin(),(1s)taaxtxcotkk00 xx 、0011111111cos ()+sin()sin=()cos ()+(1-cos t )sin (),xxxtttttaatttttttkk01111111 co

48、s ()sin()sin,Fxtttttt ttkt2022年5月7日振動力學82振動力學82單自由度系統的振動單自由度系統的振動b. ttb. tt tt1 1時的響應按自由振動處理，時的響應按自由振動處理， 圖圖2.492.49（c c）右側圖看作左側圖）右側圖看作左側圖兩個斜坡函數的疊加，得兩個斜坡函數的疊加，得因因a=F a=F 0 0/t/t1 1，整理得，整理得0111sin()sin()()1 cos()Fttataxtttttkkk0111111 cos ()sin()sin(2.78)Fxttttttkt振動力學83單自由度系統的振動單自由度系統的振動半波正弦脈沖的響應半波正

49、弦脈沖的響應 圖（圖（d d）右側為半波正弦脈沖。）右側為半波正弦脈沖。方法方法1 1：把圖（把圖（d d）右側圖看作左側圖兩正弦）右側圖看作左側圖兩正弦 函數疊加。設函數疊加。設t=0t=0時的初速度、初位時的初速度、初位 移為移為0 0。則。則tttt1 1是響應為是響應為因半波時間長度為因半波時間長度為t t1 1,t,t1 1= = / / 0 0，代入有，代入有 000112=sint- sint+sin(t-t )- sin(t-t )(1-)Fxk012=-sin(t-t )+sint2.79(1-)Fxk（）2022年5月7日振動力學84振動力學84單自由度系統的振動單自由度系

50、統的振動方法方法2 2：tttt tt1 1時的響應按自由振動處理，時的響應按自由振動處理， 把把t=tt=t1 1 = = / / 0 0 代入上式得代入上式得把把 代入自由振動響應公式，得代入自由振動響應公式，得002=(sint- sint)(1-)Fxk0020=-sin(1-)Fxk00020=-1-cos(1-)Fxk011200012=-(1+cos)sin(t-t )+sincos(t-t )(1-)-sin(t-t )+sint(1-)FxkFk00 x x 、2022年5月7日振動力學85振動力學85單自由度系統的振動單自由度系統的振動（2 2）任意激勵的響應）任意激勵的響

51、應 將激勵看成是持續時間非常短的脈沖的疊加將激勵看成是持續時間非常短的脈沖的疊加. . 單位脈沖或狄拉克單位脈沖或狄拉克 函數定義：如果函數函數定義：如果函數 （t) t)滿足滿足 （1 1） 當當tt 時時 （2 2）當）當t=t= 時，有時，有 稱函數稱函數 （t) t)為為單位脈沖函數或狄拉克單位脈沖函數或狄拉克 函數函數()0t()1(2.80)tdt 函數幾何意義函數幾何意義 在在t=t=處，脈沖以處，脈沖以(t-(t-) )表示，函數不為零的時間間隔被限定表示，函數不為零的時間間隔被限定為無窮小為無窮小，該間隔內函數的值不定，曲線下面積等于，該間隔內函數的值不定，曲線下面積等于1.

52、1. 函數的單位為函數的單位為s s-1-1。振動力學86單自由度系統的振動單自由度系統的振動圖圖 2-502-502022年5月7日振動力學87振動力學87單自由度系統的振動單自由度系統的振動 函數的力學意義函數的力學意義一個力的沖量一個力的沖量 是力是力F F（t t）對時間的積分，即）對時間的積分，即 若力若力F F（t t）的值非常大但作用時間卻很短，那么沖量）的值非常大但作用時間卻很短，那么沖量 仍是有限仍是有限值，該力就稱為值，該力就稱為脈沖力脈沖力。在時間。在時間t=t=時作用的脈沖力可用時作用的脈沖力可用 函數表為函數表為函數函數 （t)-t)-沖量為沖量為1 1的脈沖力的脈沖

53、力 函數還有如下性質：函數還有如下性質：F( )FFt dtF( )()F tFt( ) ()( )(2.81)f ttdtf振動力學88單自由度系統的振動單自由度系統的振動單自由度阻尼系統的脈沖響應單自由度阻尼系統的脈沖響應單自由度阻尼系統在單自由度阻尼系統在t=0t=0時受到一脈沖力的激勵，振動方程為時受到一脈沖力的激勵，振動方程為對零初始條件，即對零初始條件，即 ，則在極短時間，則在極短時間t= = 內，有內，有右側積分為右側積分為 ，左側積分，左側積分記號記號 表在時間增量表在時間增量t=t= 之后速度的變化。因時間之后速度的變化。因時間t t非常短，來不非常短，來不及發生位移，所以及

54、發生位移，所以x(x()=0)=0。( )mxcxkxFt(0)(0)0 xx0000lim ()lim( )(2.82)mxcxkx dtFt dtF00000limlimlim ( )(0)(0 )mxdtmxm xxmx00000limlimlim ( )(0)0cxdtcxc xx00lim0kxdt(0 )x2022年5月7日振動力學89振動力學89單自由度系統的振動單自由度系統的振動方程（方程（2.822.82）可寫成）可寫成因系統動量的變化等于系統所受的力在此刻的沖量，即因系統動量的變化等于系統所受的力在此刻的沖量，即 因速度變化因速度變化dv=dv= ，從動量定理也可導出式（，

55、從動量定理也可導出式（2.832.83）可見可見0 0時，時，x(x() ) 0,0, 方程方程可以看成在初始條件可以看成在初始條件x(x()=0, ,t)=0, ,t 的自由振動，其響的自由振動，其響應為（稱為應為（稱為脈沖響應脈沖響應） =1 =1時的響應稱為時的響應稱為單位脈沖響應，單位脈沖響應，用用h h( (t t) )表示表示(0 )/(2.83)xF m( )mdvF t dtF(0 )x( )sin(2.84)tFx tetm( )mxcxkxFt( )/(2.83)xF m( )/xF mF振動力學90單自由度系統的振動單自由度系統的振動 若單位脈沖力在若單位脈沖力在t=t=

56、時施加，則響應記為時施加，則響應記為h(t-h(t-) )，表達式為，表達式為 1( )sin (2.85)th tetm()1()sin ()(2.86)th tetm2022年5月7日振動力學91振動力學91單自由度系統的振動單自由度系統的振動任意激勵的響應任意激勵的響應 設任意激勵力設任意激勵力F F（ ），），00 t t，如圖，如圖2.512.51，作用于彈簧，作用于彈簧質量質量- -阻尼單自由度系統上，振動方程為阻尼單自由度系統上，振動方程為 將該任意激勵分為很多脈沖力，將該任意激勵分為很多脈沖力，在在t=t=鄰近的微小沖量為鄰近的微小沖量為F(F() )，由單位脈沖響應公式，得由

57、單位脈沖響應公式，得F(F() )產生產生的響應為的響應為 將將0,t0,t上響應疊加，有上響應疊加，有圖圖 2-512-51( )(2.87)mxcxkxF( )()xFh t 0( )( ) ()(2.88)tx tFh td振動力學92單自由度系統的振動單自由度系統的振動將將h(t-h(t-) ) 代入得代入得上式為阻尼單自由度系統受任意激勵上式為阻尼單自由度系統受任意激勵F(t)F(t)作用時的響應，稱為作用時的響應，稱為杜哈美積杜哈美積分分(Duhamel)(Duhamel)。注意注意: :杜哈美積分包括了穩態響應和瞬態響應兩部分。杜哈美積分包括了穩態響應和瞬態響應兩部分。 對小阻尼

58、，即對小阻尼，即 =0=0， = = ，有，有 在在t=0t=0時有初速度時有初速度 和初位移和初位移 存在，系統總響應為存在，系統總響應為忽略阻尼，總響應為忽略阻尼，總響應為()1( )( )sin()(2.89)tx tFetdm01sin ()(2.90)txFtdm0 x 0 x()00001( )sincos ( )sin()tttxxx tetxtFetdm0001( )sincos( )sin ()(2.92)txx ttxtFtdm振動力學93單自由度系統的振動單自由度系統的振動任意支承運動函數的響應任意支承運動函數的響應 系統在支承運動下振動，支承運動規律是任意時間函數系統在支承運動下振動，支承運動規律是任意時間函數y(y( ) )，同，同樣可用杜哈美積分來求系