1、斜拋運動的最正確角度源子琦鄧越葉紅玲（工業大學100012）摘要：拋體運動是力學研究的一部分，歷史上不少學者都貢獻過自己的觀點和看法，文章通過研究發射體的運動軌跡來討論在何角度時發射體達到最大射程的問題與其規律。關鍵詞：斜拋方程軌跡角度最大射程1同一水平線上的斜拋運動X木X在斜拋運動中，若拋體的初速度為V,投射角為0（如圖），則物體的運動方程如下所示：xvtcos1.2yvtsingt2（1）消去參數t,得水平射程xv2s1n/g,可見當投射角為。=兀/4時，物體有最遠射程：22XV/gO這時物體達到最大高度YV/4g,在這種情況下則說斜拋運動的最正確角度為兀/4。2不同水平線上的斜拋運動在許

2、多情況下，斜拋物體并不是在同一水平線上，如投擲鉛球時，出手點與落地點；或在地面較低的位置向地面較高的位置發射炮彈（如圖）。這時，為使拋體達到最遠射程，它的最正確角度是否仍是兀/4。如果不是，這種情況的最正確角度又如何選擇。設拋射點A離落地點的相對高度為h,點B為彈道曲線與A處于同一水平線上的位置（落地點C可能在直線AB的上方或下方，如圖）點C為拋體落到地面處的位置，它與O點處于同一水平線上，這時拋體的射程是OC而不是OB建立如下圖直角坐標系，設A（0,h）,這時拋體運動方程是x(vcos)t,12yh(vsin)tgt2(2)其中t為時間參數，h是拋射點A離開水平位置OC的相對高度。消去參數t

3、,得拋體的運動軌跡方程是：g2，一yx2(tanx2v2cos2(3)在方程(3)中令y=0,得22.2vsin22vcosvsin2ghx2從而得到落地點C的坐標為：2vsin2(2.22vcosvsin2gh2g,0)為求最正確角度，即求。為何值時，函數x()v2sin2vcos；vsin22gh/2g(4)有最大值。為此(4)對。求導數得：22dX()/d()vcos2/gvsin(vcos22gh)/g,(vsin)22ghdX()令d()2-，式中將負項移至右邊，然后兩邊約去因式，vnv(vs1n)2gh)得v2cos2sin(vsin)22gh2.2vsin2解得2(v2gh)(5

4、)一一varcsin,2根據實際問題，當(5)式成立時，也就是當2V2gh時，X(0)有最大值。下面求，X(。)的最大值，由(5)式與。為銳角得cos.1sin2v22gh1.2v22ghv、,v22ghsin22sincos2所以vgh把上述的值帶入（4）式，得最遠射程、.vl2一(6)Xmax一/v2ghg由（5）式與（6）式可以看出，當h=0時，得arcsin1.2/42,Xmaxv/g與前面的結果一致。為得到拋出角0與高度h和速度v的關系，在（5）式中分別對v和h求導，得(sin()hgh2(v2gh)3/2sin()v2ghrc/2.53/22(vgh)gh2(v2gh)3(8)由（7）式知不論h0還是h0時，n）v0,這時sin。是v的增函數，且有sin()v2(v2gh)即0。V2/2,(ii)當h0時，(sin)v0,這時sin0是v的減函數，且有sin即0。0時，最正確角度的選擇是隨著v的增大而增大的，但不超過兀/4;當h0時,最正確角度的選擇是隨著v的增大而減小的，