1、一、一元函數唯一駐點處的極值就是最值一、一元函數唯一駐點處的極值就是最值09年、年、10年、年、05年年知識點：一元函數求極值知識點：一元函數求極值1010、要做一個容積為、要做一個容積為V V的圓柱形帶蓋容器，問它的高與底面半的圓柱形帶蓋容器，問它的高與底面半徑的比值是多少時，用料最?。繌降谋戎凳嵌嗌贂r，用料最??？解：設容器的高與底面半徑分別為解：設容器的高與底面半徑分別為 ,其表面積為其表面積為S，則，則, h r2Vr h ，又因為，又因為222Srrh把把 帶入，得帶入，得2Vhr 222VSrr 令令 ，2240VSrr 得唯一駐點，得唯一駐點，32Vr 根據實際意義可知根據實際意義

2、可知 即為表面積的極小值點，即為表面積的極小值點，此時此時32Vr 2322VhVVrrrrV 故當容器的高與底面半徑之比為故當容器的高與底面半徑之比為2時用料最省。時用料最省。rh09、靠一堵充分長的墻邊，增加三面墻圍成一矩形場地，在、靠一堵充分長的墻邊，增加三面墻圍成一矩形場地，在限定場地面積為限定場地面積為64平方米的條件下，問增加的三面墻各長多平方米的條件下，問增加的三面墻各長多少時，其總長最小。少時，其總長最小。解：設與已知墻面平行的墻的長度為解：設與已知墻面平行的墻的長度為 ，則另二面墻的長為，則另二面墻的長為x64x故三面墻的總長為故三面墻的總長為128(0)lxxx令令2128

3、10lx 得唯一駐點得唯一駐點8 2x 根據實際意義可知根據實際意義可知 ，當，當 時取得最小值時取得最小值8 2x 此時三面墻的長度分別為此時三面墻的長度分別為8 2,4 2,4 2x x64x64x二、二元函數唯一駐點處的極值就是最值二、二元函數唯一駐點處的極值就是最值03年、年、07年、年、08年年知識點：二元函數求極值知識點：二元函數求極值08、一塊鐵皮寬、一塊鐵皮寬24厘米，把它的兩邊折上去，做成一個正截面為厘米，把它的兩邊折上去，做成一個正截面為等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面積等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面積A最大，求腰長最大，求腰長 和底邊和底邊的傾角的傾角x xxA242x 解

4、：根據題意知梯形的上底和下底分別為解：根據題意知梯形的上底和下底分別為2422 cos,242xxx 等腰梯形的面積等腰梯形的面積1(2422 cos242 )sin2Axxxx 2224 sin2sincossinxxx 222224sin4 sin2 cossin24 cos2cos(cossin)AxxxAxxx 令令00AxA 顯然顯然 不合題意，不合題意，在定義域內得唯一駐點在定義域內得唯一駐點 0,0 x 18,cos2x 所以，當所以，當 時，面積時，面積A最大最大8,3x 22sin (122)0(24cos2 cos2 cos)0AxxcoxxAxxxx 07、某工廠欲建造一

5、個無蓋的長方體污水處理池，設計該池容積、某工廠欲建造一個無蓋的長方體污水處理池，設計該池容積為為V，底面造價每平方米，底面造價每平方米a元，側面造價每平方米元，側面造價每平方米b元，問長、寬、元，問長、寬、高各為多少時，才能使污水處理池的造價最低？高各為多少時，才能使污水處理池的造價最低？解：設長方體的長、寬分別為解：設長方體的長、寬分別為x,y，則高為，則高為 ，又造價為，又造價為zVxy222 (),VbVbVzaxyb xyaxyxyyx 0,0 xy令令222020zbVayxxzbVaxyy 得唯一駐點得唯一駐點32bVxyaxyVxy根據題意可知造價一定有最小值，故根據題意可知造價

6、一定有最小值，故 就是造價最小的取值，此時高為就是造價最小的取值，此時高為32bVxya232aVb所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為3322,bVbVaa232aVb此時，造價最低此時，造價最低xy03、某工廠生產兩種產品甲和乙，出售單價分別為、某工廠生產兩種產品甲和乙，出售單價分別為10元和元和9元。元。生產甲產品生產甲產品 件與乙產品件與乙產品 件的總費用是件的總費用是22200230.01(33)xyxxyy問兩種產品的問兩種產品的產量各多少件時，利潤最大？產量各多少件時，利潤最大？解：根據題意，總利潤為解：根據題意，總利潤為( , )10

7、940023L x yxyxy220.01(33)xxyy10(20.060.01 )09(30.010.06 )0 xLxyLxy 即即68006600 xyxy 所以（所以（120,80）為駐點）為駐點0.01,0.06,0.06xyxxyyLLL 所以所以2( , )()0.0035xyxxyyP x yLL L 因此，因此，(120,80)0.00350P 又又0.060 xxL 所以（所以（120，80）為極大值點，根據實際意義，此極大值為）為極大值點，根據實際意義，此極大值為最大值，即最大值，即x=120,y=80時，利潤時，利潤L最大最大三、條件極值與拉格朗日乘數法三、條件極值與

8、拉格朗日乘數法06年、年、01年年06、某公司的甲乙兩廠生產同一種產品月產量分別為、某公司的甲乙兩廠生產同一種產品月產量分別為x,y（千（千件），甲廠的月生產成本是件），甲廠的月生產成本是 ，乙廠的月生，乙廠的月生產成本是產成本是 ，若要求該產品每月總產量為，若要求該產品每月總產量為8（千件），并使總成本最小，求甲乙兩工廠的最優產量和相應的（千件），并使總成本最小，求甲乙兩工廠的最優產量和相應的最小成本。最小成本。 2125Cxx2223Cyy解：用拉格朗日乘數法解：用拉格朗日乘數法總成本總成本22( , )228f x yxyxy約束條件約束條件( , )80 x yxy 作輔助函數作輔助函

9、數22( , )228(8)F x yxyxyxy 22022080 xyFxFyxy 令令解得解得5,3xy由于駐點（由于駐點（5,3）唯一，根據實際情況有最小值，所以當）唯一，根據實際情況有最小值，所以當x=5千千件，件，y=3千件時，總成本最小，最小成本千件時，總成本最小，最小成本 千件千件(5,3)38f 1111、求點（、求點（0 0，1 1）到拋物線）到拋物線 上的點的距離的平方的最小上的點的距離的平方的最小值。值。 2yx 解：令（解：令（0,1）到拋物線）到拋物線 上的距離為上的距離為d2yx 222(1)dxy22(1)1yyyy213()24y因為因為 ，0y 所以所以 的

10、最小值是的最小值是2d34例：某公司通過電視和報紙兩種形式做廣告，已知銷售收入例：某公司通過電視和報紙兩種形式做廣告，已知銷售收入R和和電視廣告費電視廣告費x和報紙廣告費和報紙廣告費y有如下關系：有如下關系：（1）在廣告費用不限的情況下，求最佳廣告策略）在廣告費用不限的情況下，求最佳廣告策略（2）如果總廣告費）如果總廣告費1.5，求相應的廣告策略，求相應的廣告策略22( , )1514328210R x yxyxyxy解解（1）利潤最大的廣告策略，利潤函數為）利潤最大的廣告策略，利潤函數為( , )()LR x yxy221513318210 xyxyxyxxLxyy 解得解得35,44xy因為駐點唯一，又因該問題最在最大利潤，所以最大利潤因為駐點唯一，又因該問題最在最大利潤，所以最大利潤只能在駐點處取得，所以最大利潤為：只能在駐點處取得，所以最大利潤為：3 5(, )39.254 4L （2）此問題為條件極值，即求利潤函數）此問題為條件極值，即求利潤函數L在條件在條件下的最大值，構造拉格朗日函數下的最大值，構造拉格朗日函數1.5xy22( , ,