1、8.3復(fù)二次型與實(shí)二次型授課題目：8.3復(fù)二次型與實(shí)二次型授課時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：掌握復(fù)二次型與實(shí)二次型的性質(zhì)，會(huì)將給定的復(fù)二次型與實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)二次型與實(shí)二次型的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)二次型與實(shí)二次型的性質(zhì)教學(xué)過程：1 .復(fù)（實(shí)）二次型與復(fù)（實(shí)）變換我們知道，在一般數(shù)域內(nèi)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是惟一的，而與所作的可逆線型替換有關(guān)，這同時(shí)也告訴我們：不能簡單地由兩個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)是否相同來判定它們是否等價(jià).本節(jié)，我么將在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上來討論二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的惟一性問題。系數(shù)在復(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)）數(shù)域上的二次型，簡稱復(fù)（實(shí)）二次型，與之對應(yīng)的矩陣實(shí)復(fù)（實(shí)）對稱矩陣，對它們進(jìn)行的可逆線型替換的系數(shù)也是

2、復(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)），稱之為復(fù)（實(shí)）變換。先看復(fù)數(shù)域上的情形，我們從與二次型一一對應(yīng)的對稱矩陣著手。2 .復(fù)對稱矩陣與復(fù)二次型的典范形定理8.3.1n階復(fù)對稱矩陣A與對角形矩陣1(1)10*< 0;合同，其中（1）式矩陣中1的個(gè)數(shù)=秩（A）.（1）式稱為復(fù)對稱矩陣A的典范形矩陣，典范形是惟一的.證由定理8.2.1知，A與對角形矩陣Clcr0< 01合同，注意到cw0(i=1,2,我)|用乘以B的第i列再乘以它的第i行G(i=1,2,)r,經(jīng)過這r次合同變換便得(1),從而A與(1)合同.又因合同矩陣的秩相等，故(1)式中1的個(gè)數(shù)等于A的秩，因而復(fù)對稱矩陣A的典范形惟一?？谧⒁夂贤且环N等價(jià)

3、關(guān)系，因而有以下推論.推論1兩個(gè)n階復(fù)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.推論2秩為r的n元復(fù)二次型f(x1,x2,xn),經(jīng)過一適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換可以化成y2+y2+y2.(2)(2)式稱為復(fù)二次f(X1,X2,x)的典范形，典范形式惟一的.推論3兩個(gè)n元復(fù)二次型等價(jià)的充分必要條件是它們的秩相等.再看實(shí)數(shù)域上的情形.3 .實(shí)對稱矩陣與實(shí)二次型的典范形(、1p定理8.3.2n階實(shí)對稱矩陣A與對角形矩陣-_(3)<0>合同，其中=秩(A),0&pWi'矩陣(3)叫做實(shí)對稱矩陣A的典范形矩陣.證由定理8.2.1知，A與G7+CrB=r0*<0/合同，cw0(

4、i=1,2,，注意到如果要交換Ci,cj,只需交換第i,j列再交換1弟i,j仃(1&Jj<)r.因而，不妨設(shè)C1,C2,，Cp>0,Cp+1,，Cr<0,用一.Ci乘以B的第i列再乘以B的第i行（i=1,2,1）經(jīng)此有限次合同變換便得（3）,從而A與（3）合同.口4.實(shí)二次型的典范型與慣性定律定理8.3.3（慣性定律）任意一個(gè)秩為r的n元實(shí)二次型f（xi,x2,，xn）,都可經(jīng)過一適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換化為22,2222.y1+y2+yp-yp書-yp*-丫.(0<p<r<n)(4)而（4）式稱為實(shí)二次型f（X1,X2,，*）的典范形，典范形是惟一的，即

5、典范形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是惟一確定的.證由定理8.3.2可得定理前半部分，下證p惟一.設(shè)實(shí)二次型f(X1,X2,xn)=XTA匕1如“n“1'、，7,b21b22b2nlV2X=BY=：<bn1bn2bnn人ynC11C12Cn丁乙”C21C22C2n1Z2X=CZ=：kpn1Cn2Cnn人ZnJ分別化為典范形經(jīng)可逆線性替換222Vi+丫2+.+Vp222-yp1-yp2-y(0三p三r一n)(5)22,2222Z1+Z2+Zq-Zq-Zq-2-Zr(0<q<r<n)(6)如果pwq我們不妨設(shè)p>q,由于典范形（5）可以看成是由典范形（6）經(jīng)過可逆線性替換Z

6、=C-1BY得到的，設(shè)C-1B=D=（dij）,即經(jīng)過可逆線性替換ZiZ2'dd112112221n2ny1y21dmdn2dnn人yn)_2._2,_2_2_2_22_2,2222，Zl+Z2+Zq-Zq中-Zq平-Zr=%+丫2+Yp-Yp卅丫p卡-Yr(7)令(7)式中Zl=-=Zp=yp+i=-=yn=0,注意到關(guān)系Z=DY,可得diYi+di2y2+dinyn=0=0jdqiyi+dq2y2+dqnyn=0yp+=0、Vn=0由于方程個(gè)數(shù)q+(n-p)=n-(p-q)<n,故上述關(guān)于yi,y2,y的齊次線性方程組有非零解，設(shè)(ki,#kp+i,的就是它的一個(gè)非零解，顯然

7、，kp+i=一=kn=0,將這個(gè)解代入(7)式的右端，就得到ki2+k2+Typ-0-0=ki2+k；+Ty2>0而將這個(gè)解通過Z=DY代入(7)式的左端，并注意到Zi=-=Zq=0,因而有-2"-巖蟲-22&*是一個(gè)矛盾，從而p=q,即實(shí)二次型的典范形是惟一的.推論4n階實(shí)對稱矩陣A的典范形中的p由矩陣A惟一確定.定義i在實(shí)二次型f(Xi,X2,x)的典范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為二次型f(xi,X2,x)的正慣性指標(biāo)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p稱為負(fù)慣性指標(biāo)；它們的差p-(r-p)=2p-r稱為f(xi,X2,，x)的符號差.因此，可以定義實(shí)對稱矩陣的正、負(fù)慣性指標(biāo)及符號

8、差.顯然，對于實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣的秩r、正慣性指標(biāo)p、負(fù)慣性指標(biāo)r-p以及符號p-(r-p)四個(gè)量，只需知道其中兩個(gè)，便可以算出其余兩個(gè).可以稱它們?yōu)檫@些變換下的不變量.推論5兩個(gè)n階實(shí)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們具有相同的秩和正慣性指標(biāo).兩個(gè)n元實(shí)二次型能用可逆線性替換互化的充分必要條件是它們具有相同的秩和正慣性指標(biāo).我們可以從實(shí)二次型的典范形中得到它的秩和符號差.定理8.3.4設(shè)A是一個(gè)實(shí)對稱矩陣，A的各行至多只有一個(gè)非零元，則A的秩等于非零元的個(gè)數(shù)，符號差等于主對角線上正的元素個(gè)數(shù)與負(fù)的元素個(gè)數(shù)之差.由定理8.3.4將實(shí)對稱陣用合同變換化為一個(gè)u每行最多只有一個(gè)非零元u的矩4陣，就

9、可求得它的秩和符號差.例1確定實(shí)二次型f（x,y,z）=2axy+2byz+2czx的秩和符號差解若a,b,c全為零，則f（x,y,z）的秩和符號差均為零.若a,b,c不全為零，不妨設(shè)awQ我們對二次型f（x,y,z）的矩陣施行合同變換、T32(-c)a.TTT23(-c)a0b2bcaJT3i(-b)-a>MB,a002bcaJ由此可知：1）若abc>0,則秩（f）=3,f的符號差為-1,2）若abc<0,則秩（f）=3,f的符號差為1,3）若abc=0,則秩（f）=2,f的符號差為0,例2分解實(shí)二次函數(shù)f（x,y,z）=-3xy+18xz-6x-2y2+17yz-5y-3

10、0z2+16z-2解該二次函數(shù)可視為實(shí)二次型(8)g（x,y,z,t）=-3xy+18xz-6xt-2y2+17yz-5yt-30z2+16zt-2t2當(dāng)t=1時(shí)的情形，對二次型（8）做可逆線性替換134001fxe-2y101(9)(10),僅1、由（9）式可得y1ZiUi)"3175、1/、x444107-1y3z00101t<00011t/(11)把（11）式代入（10）式即得二次型8）的分解式.這個(gè)過程我們可用矩陣來得g(x,y,z,t)=-2x29y2J(4x13y1)(-4x13y1)88完成;4x13%=(4,3,0,0)"xi'y1=(4,3,

11、0,0)zi317410k0=6x4y-10z2t同樣可得-4x1+3y1=-4y+24z-8t.于是g(x,y,z,t)=(3x+2y-5z+t)(-y+6z-2t)所以f(x,y,z)=(3x+2y-5z+1)(-y+6z-2)習(xí)題8.31.分別在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上求可逆線性替換，將下列二次型化為典范型:21 )f(x1,x2,x3)=x1+3x1x25x2x32222 )f(x1，x2,x3)二x1-4x1x22x1x34x2x33 .f(x1,x2,x3)=x1x2+2x2x3的秩、慣性指標(biāo)和符號差.4 .如果把n階對稱矩陣按合同關(guān)系進(jìn)行分類，即把彼此合同的n階對稱矩陣算一類，那么，所有n階復(fù)對稱矩陣共有多少個(gè)不同的合同類？所有n階對稱矩