1、學習必備歡迎下載基本不等式專題輔導二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式一、知識點總結1、基本不等式原始形式21、設a,b均為正數，證明不等式：JOBx11+-ab(1)若a,bwR,則a2+b2之2ab2.2(2)若a,bwR,則ab<ab22、基本不等式一般形式(均值不等式)*右a,b=R，則a+b之2Jab3、基本不等式的兩個重要變形2、已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：222abcabbcca(1)若a,bwR,則a+b><ab2(2)若a,bwR*,則ab<lab),2總結：當兩個正數的積為定植時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為定植時，它們的積

2、有最小值；特別說明：以上不等式中，當且僅當a=b時取“二”4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結論1(1)右xA0,則x+之2(當且僅當x=1時取=)x1(2)若x<0,則x+二2(當且僅當x=1時取“=”)x(3)若ab04U+b22(當且僅當a=b時取"=”)ba22(4)若a,bwR,則ab<(-ab)2<a22(5)若a,bWR*,則，w漏、3小+>1122ab特別說明：以上不等式中，當且僅當a=b時取一6、柯西不等式22213、已知a+b+c=1,求證：a+b+c>-34、已知a,b,ceR+,且a+b+c=1,求證：(1-a)(1

3、-b)(1-c)-8abc(1)若abc,dR，則(a24b2(c2右2)?acbd)25、已知a,b,ceR+,且a+b+c=1,(2)若a1,a2,a3,b1,b2,b3R,則有：(a；a22232)(162b22b32)(aq-a2b2a3b3)2(3)設a1，a2,：%與“心，：b是兩組實數，則有(a；a2,an2)(b；b22-，b；)(ama2b2anbn)2歡迎下載題劉三:一碼再不等式求函數值域1、求下列函數的值域學習必備6、（2013年新課標n卷數學（理）選修45:不等式選.講設a,b,c均為正數，且a+b+c=1,證明：(1)y=3x2+22x(2)y=x(4-x)2,22a

4、bc,n)-1.bca一.1(I)ab+bc+ca<-；(3-11.(3)y=x+(x>0)(4)y=x+(x<0)xx題型三：利用不等式求最值（一）（湊項）4，1、已知x>2,求函數y=2x-4+的最小值;2x-47、（2013年江蘇卷（數學）選修45:不等式選講._.3_3一22一已知a>b>0,求證:2a-b>2ab-ab4變式1：已知x>2,求函數y=2x+的最小值;2x-44變式2：已知x<2,求函數y=2x+的最大值;2x-4歡迎下載2、若0cx<2,求y=/x(6-3x)的最大值;學習必備5練習：1、已知x>,求函

5、數y=4x_2+的取小值;44x-552、已知X<,求函數y=4x_2+的取大值;44x-5變式：若0cx<4,求y=qx(82x)的最大值;題型四：利用不等式求最值(二)(湊系數)1、當。<4時，求y=x(82x)的最大值；3、求函數y=42x1+v5-2x(-<x<-)的最大值;22(提示：平方，利用基本不等式)變式1：當。WM<4時，求y=4x(82x)的最大值;變式：求函數y=/4x33+%；114x(2<x<U)的最大值;443變式2：設0<x(一，求函數y=4x(3一2x)的最大值。2學習必備題型五：巧用“1”的代換求最值問題1

6、11、已知a,b>0,a+2b=1,求t=+_的最小值;ab法一：歡迎下載19變式4：已知x,y>0,且一+=4,求x+y的最小值;xy變式5:11(1)右x,yA。且2X+y=1，求一十一的取小值；xy(2)若a,b,x,ywR*且亙+2=1,求x+y的最小值;xy11變式1:已知a,b>0,a+2b=2,求t=一十一的最小值;ab28.一一變式2：已知x,y>0,-+=1,求xy的最小值;xy變式6：已知正項等比數列GJ滿足：a7=a6+2a5,若14.一,.存在兩項am,an,使得aman=4&，求一十一的最小值；mn11變式3:已知x,y>0,且一

7、十一=9,求x+y的最小值。xy學習必備題型六：分離換元法求最值（了解）歡迎下載1、求函數y=2一一x7x10（x01）的值域;題型七：基本不等式的綜合應用一a一b1、已知10g2a+log2b之1,求3+9的最小值變式：求函數y2x8(x>1)的值域;x-12、（2009天津）已知a,b>0,求1口+2Gm的最小值;abx22、求函數y=的取大值；（提不：換兀法）2x5變式1：（2010四川）如果a>b>0,求關于a,b的表達,、211.式a+的最小值；aba（a-b）x1變式：求函數y=的最大值;4x9變式2：（2012湖北武漢診斷）已知，當aA0,a#1時，函數y

8、=1oga（x1）+1的圖像恒過定點A,若點A在直線mxy+n=0上，求4m+2n的最小值；學習必備歡迎下載3、已知x,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y最小值；4、（2013年山東（理）設正實數X,y,Z滿足x2一3xy+4y2z=0,則當xy取得最大值z一212時，一+的最大值為（）xyzA.0B,1C.9D.34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數求最值）變式1：已知a,b>0,滿足ab=a+b+3,求ab范圍;111變式2：（2010山東）已知x,y>0,+=2x2y3求xy最大值；（提示：通分或三角換元）2變式：設x,y,z是正數，滿足x-2y+3z=0,

9、求-的XZ最小值；變式3：（2011浙江）已知x,y>0,x2+y2+xy=1,求xy最大值；學習必備題型八：利用基本不等式求參數范圍1、（2012沈陽檢測）已知x,y>0,且（x+y）（1a）,9xy恒成立，求正實數a的最小值；11n,一，、2、已知xyAZ>0且+至恒成立,x-yy-zx-z如果nwN十求n的最大值；（參考：4）（提示：分離參數，換元法）、，14-4，、變式：已知a,b>0滿則一+=2,若a+b之c恒成立,ab求c的取值范圍；歡迎下載題刑兒:百而柯西不等式求最值1、二維柯西不等式ab（a,b,c,dwR,當且僅當一=;即ad=bc時等號成立）cd若a

10、,b,c,dwR,貝U（a2+b2）（c2+d2）之（ac+bd）22、二維形式的柯西不等式的變式（1）Ja2+b2,Jc2+d2>|ac+bdab（a,b,c,dwR,當且僅當一=;即ad=bc時等w成立）cd（2）a2b2rc2d2_acbd（a,b,c,dwR,當且僅當a=;即ad=bc時等號成立）cd（ab）（cd）_（ac-Jbd）2ab（a,b,c,d>0,當且僅當=2；即ad=bcM等號成立）cd3、二維形式的柯西不等式的向量形式Cf.P<CCK（當且僅當二。,或存在實數k,使a=k百時，等號成立）4、三維柯西不等式若ai,a2,a3,b1,b2,b3eR,則有

11、：2222222（aa2a3）（心bb3）-（a1bla2b2a3b3）（ai,bi-R,當且僅當史=史=曳時等號成立）b1b2b35、一般n維柯西不等式設闞©2,1an與b1，b2,-ibn是兩組實數，則有：（a；a；.an2）（b,2也2.bn2）-（曬骨2b2,3。）2（a,bi-R,當且僅當免=*=亙時等號成立）b1b2bn學習必備歡迎下載題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設x,y,zwR,若x2+y2+z2=4,則x2y+2z的4、（2013年湖南卷（理）已知a,b,cw,a+2b+3c=6,222則a+4b+9c的最小值是（Ans:12）最小值為時，（x,y,z）=析：(x-2y2z)2<(x2y2z2)12(2)222=49=36，x_2y+2z最小值為-6-23yz-6-2-2-12(-2)222-23-4z二32、設x,y,zwR,2x-y-2z=6,求x2+y2+z2的最小值m,并求此時x,y,z之值。5、（2013年湖北卷（理）設x,y,zwR,且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=VT4，求x+y+z的值；“，、，424、Ans：m