1、5.2 理想單色平面光波在晶體中的傳播理想單色平面光波在晶體中的傳播 (The transmission of ideal nonochrome planar lightwave in crystals)5.2.1 光在晶體中傳播的解析法描述光在晶體中傳播的解析法描述 (analytic description of transmission of light in crystals)5.2.2 光在晶體中傳播的幾何法描述光在晶體中傳播的幾何法描述 (Geometric description of transmission of light in crystals)5.2.1 光在晶體中傳播

2、的解析法描述光在晶體中傳播的解析法描述 根據光的電磁理論，光在晶體中的傳播特性仍然由根據光的電磁理論，光在晶體中的傳播特性仍然由麥麥克斯韋方程組描述克斯韋方程組描述。0(1-8)0(1-9)(1-10)(1-11)tt DBBEDHDEBHJE1. 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組均勻、不導電、非磁性均勻、不導電、非磁性的各向異性介質的各向異性介質( (晶體晶體) )中，中，若沒有自由電荷存在，麥克斯韋方程組為若沒有自由電荷存在，麥克斯韋方程組為0 (17) (18)0 (19)0 (20)tt DHEBD0 (21) (22)BHDE我們只討論我們只討論單色平面光波在晶體中的傳播特性單色平面光波

3、在晶體中的傳播特性。1)單色平面光波在晶體中的傳播特性單色平面光波在晶體中的傳播特性(1)晶體中光電磁波的結構晶體中光電磁波的結構i()000()ntce、 、k rEDHEDH式中，式中，設晶體中傳播的單色平面光波為設晶體中傳播的單色平面光波為00 1/rncc n 2 22 cvcncnkvnki()0(1-22)t kzeEEi()000()ntce、 、k rEDHEDH對于這樣一種光波，在進行公式運算時，可以以對于這樣一種光波，在進行公式運算時，可以以 -i 代替代替 ，以，以 (in/c)k 代換算符代換算符 。/ t ()()00nnititcceiett k rk rEEE()

4、()00nnititccneikerrck rk rEEEE經過運算，經過運算，(17)式式(20)式變為式變為(1)晶體中光電磁波的結構晶體中光電磁波的結構0 (23) (24)0 (25)0 (26)cncn HkDEkHk Dk H由這些關系式可以看出：由這些關系式可以看出：0 (17) (18)0 (19)0 (20)tt DHEBD(1)晶體中光電磁波的結構晶體中光電磁波的結構 D 垂直于垂直于 H 和和 k，H 垂直于垂直于 E 和和 k，所以，所以 H垂直于垂直于 E、D、k，因此，因此，E、D、k 在垂直于在垂直于 H 的的同一平面內同一平面內。波陣面波陣面波陣面波陣面kHDE

5、svpvr0 (23) (24)cncn HkDEkH(1)晶體中光電磁波的結構晶體中光電磁波的結構由能流密度的定義由能流密度的定義SEH可見，可見，H 垂直于垂直于 E 和和 s ( (能流方向上的單位矢量能流方向上的單位矢量) )，故故 E、D、 s、k 同在一個平面上同在一個平面上。0 (24)cn EkH波陣面波陣面波陣面波陣面kHDEsvpvr(1)晶體中光電磁波的結構晶體中光電磁波的結構可以得到一個重要結論：在晶體中，光的可以得到一個重要結論：在晶體中，光的能量傳播方能量傳播方向通常與光波法線方向不同向通常與光波法線方向不同。波陣面波陣面波陣面波陣面kHDEsvpvr(2)能量密度

6、能量密度e1()()222nnccE DEHkEHkm1()()222nnccB HHEkEHk根據電磁能量密度公式及根據電磁能量密度公式及(23)式、式、(24)式，有式，有0 (23) (24)cncn HkDEkH(2)能量密度能量密度總電磁能量密度為總電磁能量密度為 (27)emncS s k對于各向同性介質，因對于各向同性介質，因 s 與與 k 同方向，所以有同方向，所以有 (28)ncS (27)emncS s kem()2()2ncncHkEHkSEH(3)相速度和光線速度相速度和光線速度 (29)ppcnvkk相速度相速度 vp 是光波是光波等相位面的傳播速度等相位面的傳播速度

7、，其表示式為，其表示式為波陣面波陣面波陣面波陣面kHDEsvpvr(3)相速度和光線速度相速度和光線速度光線速度光線速度 vr 是是單色光波能量的傳播速度單色光波能量的傳播速度，其方向為，其方向為能流密度能流密度( (玻印亭矢量玻印亭矢量) )的方向的方向 s，大小等于單位時，大小等于單位時間內流過垂直于能流方向上的一個單位面積的能量除間內流過垂直于能流方向上的一個單位面積的能量除以能量密度，即以能量密度，即rr (30)Svss(3)相速度和光線速度相速度和光線速度由由(27)式式(30)式可以得到式可以得到prrcos (31)s k單色平面光波的相速度是其光線速度在波陣面法線方單色平面光

8、波的相速度是其光線速度在波陣面法線方向上的投影。向上的投影。ABABksvrvppprr (29) (31)cncnkks ks krrrr (30) (27) =vcnnccnSSsss ks ks kSS s ks k(3)相速度和光線速度相速度和光線速度在一般情況下，光在晶體中的在一般情況下，光在晶體中的相速度和光線速度分離相速度和光線速度分離, ,其大小和方向均不相同。對于各向同性介質，單色平其大小和方向均不相同。對于各向同性介質，單色平面光波的相速度也即是光線速度。面光波的相速度也即是光線速度。波陣面波陣面波陣面波陣面kHDEsvpvr2)光波在晶體中傳播持性的描述光波在晶體中傳播持

9、性的描述(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程22020()()nnc DEkkEkk由麥克斯韋方程組出發，將由麥克斯韋方程組出發，將(23)式和式和(24)式的式的H 消去消去, ,可以得到可以得到001c 0 (23) (24)cncn HkDEkH(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式()()()ABCB A CC A B變換為變換為20() (32)nDEk k E ABBA22020()()nnc DEkkEkk(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程ksDDEE(kE) k(sD) s方括號方括號Ek(kE)實際上表示實際上表示 E 在垂直

10、于在垂直于 k ( (即平行即平行于于D) )方向上的分量，記為方向上的分量，記為 。E20() (32)nDEk k E(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程(32)式可以寫成式可以寫成20 (33)Dn E20() (32)nDEk k EksDDEE(kE) k(sD) s(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程我們還可以將我們還可以將(32)式、式、(33)式寫成另外一種形式。式寫成另外一種形式。因為因為cosEE所以所以222000cos (34)coscos( cos)( cos)EDDDEnnnDE0r rn(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程根據折射率的定義根據折射

11、率的定義pcn可以在形式上定義可以在形式上定義“光線折射率光線折射率”( (或射線折射率、或射線折射率、能流折射率能流折射率) ) nr ：rrpcoscos (35)ccnnprcos (31)(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程201 (36)rnED由此可將由此可將(34)式表示為式表示為20 (34)( cos)DEnrrpcoscos (35)ccnnksDDEE(kE) k(sD) s(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程或或20() (37)rcnEDs s DksDDEE(kE) k(sD) s201 (36)rnED(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程2020

12、 (33)() (32)Dn EnDEk k E20201 (36)() (37)rrncnEDEDs s DksDDEE(kE) k(sD) s(1)晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程 (32)、(33)和和(36 )、(37)式給出了沿某一式給出了沿某一k(s) 方向傳方向傳播的光波電場播的光波電場E(D)與晶體特性與晶體特性n(nr) 的關系，的關系，因而是描因而是描述晶體光學性質的基本方程述晶體光學性質的基本方程。2020 (33)() (32)Dn EnDE k k E20201 (36)() (37)rrncnEDEDs s D(2)菲涅耳方程菲涅耳方程0 1, 2, 3iiiD

13、Ei 為了考察晶體的光學特性，為了考察晶體的光學特性，我們選取主軸坐標系我們選取主軸坐標系，因，因而物質方程為而物質方程為 (22)DE123 0 00 00 0 (2)菲涅耳方程菲涅耳方程波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )光線菲涅耳方程光線菲涅耳方程( (光線方程光線方程) )ksDDEE(kE) k(sD) s波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )20() 1, 2, 3 (38)iiiDnEkik E將基本方程將基本方程(32)式寫成分量形式式寫成分量形式并代入并代入 Di Ei 關系，經過整理可得關系，經過整理可得02() (39

14、)11iiikDnk E0 (16) iiiED 20() 1, 2, 3 (38)iiiDnkiEk E200()iiiiDDnk k 22002()()11iiiiiiiDkDnn kDn k Ek E將將(39)式代入后，得到式代入后，得到2223122221230 (40)111111kkknnn波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )由于由于 D k0，所以有，所以有1 122330DkD kD k1 122330DkD kD k02() (39)11iiikDnk E2223122221230 (40)111111kkknnn2223122221230 (4

15、0)111111kkknnn描述了在晶體中傳播的光波法線方向描述了在晶體中傳播的光波法線方向 k 與與相應的折相應的折射率射率n 和晶體的主介電張量和晶體的主介電張量 之間的關系之間的關系。波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )123 0 00 00 0 波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )(40)式還可表示為另外一種形式根據式還可表示為另外一種形式根據 pc / n，可，可以以定義三個描述晶體光學性質的定義三個描述晶體光學性質的主速度主速度：123123=, =, = ccc123 0 00 00 0 波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程(

16、(波法線方程波法線方程) )它們實際上分別是光波場沿三個主軸方向它們實際上分別是光波場沿三個主軸方向 x1、x 2、x3 的的相速度相速度。由此可將。由此可將(40)式變換為式變換為2223122222221230 (41)pppkkk上式描述了在晶體中傳播的光波法線方向上式描述了在晶體中傳播的光波法線方向 k 與相應與相應的的相速度相速度P 和晶體的主速度和晶體的主速度1、2、3 之間的關系之間的關系。2223122222221230 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn123123=, =, = cccp/c n波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程(

17、 (波法線方程波法線方程) )通常將通常將(40)式和式和(41)式稱為式稱為波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程。2223122222221230 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn由波法線菲涅耳方程可見，對于一定的晶體，由波法線菲涅耳方程可見，對于一定的晶體，光的光的折射率折射率( (或相速度或相速度) )隨光波方向隨光波方向 k 變化變化。波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )2223122222221230 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn這種沿這種沿不同方向傳播的光波具

18、有不同的折射率不同方向傳播的光波具有不同的折射率( (或相或相速度速度) )的特性，即是晶體的光學各向異性。的特性，即是晶體的光學各向異性。它們是它們是 n2 或或 p2 的的二次方程二次方程，一般有兩個獨立的實，一般有兩個獨立的實根根 n、n 或或 p、p，因而，對應每一個波法線方，因而，對應每一個波法線方向向 k，有兩個具有不同的折射率或不同的相速度的，有兩個具有不同的折射率或不同的相速度的光波光波。波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )2223122222221230 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn在由在由(40

19、)式、式、(41)式得到與每一個波法線方向式得到與每一個波法線方向 k 相相應的折射率或相速度后，應的折射率或相速度后，為了確定與波法線方向為了確定與波法線方向 k 相應的光波相應的光波 D 和和 E 的振動方向的振動方向，可將，可將(38)式展開式展開22221111 221 3322222 1122223322223 113223331010 (42)10nkEn k k En k k En k k EnkEn k k En k k En k k EnkE波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )10 112101111223322221111 221 33=() 1

20、0DEDnEk k Ek Ek EnkEn k k En k k E 2021011112233() 1, 2, 3 (38) ()iiiDnEkiDnEk k Ek Ek Ek E將由將由(40)式解出的兩個折射率值式解出的兩個折射率值 n 和和 n 分別代入分別代入(42)式，即可求出相應的兩組比值式，即可求出相應的兩組比值 和和 ，從而可以定出與，從而可以定出與 n 和和 n 分別對應的分別對應的 E 和和 E 方向。方向。123:E EE123:E EE波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )2223122221230 (40)111111kkknnn22221

21、111 221 3322222 1122223322223 113223331010 (42)10nkEn k k En k k En k k EnkEn k k En k k En k k EnkE123:DDD123:DDD由由物質方程物質方程的分量關系，求出相應的兩組比值的分量關系，求出相應的兩組比值 和和 ，從而可以定出與，從而可以定出與 n 和和 n 分別對應的分別對應的 D 和和 D 的方向。的方向。波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )0 (16) iiiDE 由于相應于由于相應于 E 、E 及及D 、D 比值均為比值均為實數實數，所以，所以 E 和和

22、D 都是都是線偏振線偏振的。的。波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) ) 當當 Ex 、Ey 二分量的相位差二分量的相位差 時，橢圓退化為一條直線，稱為線偏振光。此時有時，橢圓退化為一條直線，稱為線偏振光。此時有(012)mm,0i 0e (1-105)ymxyxEEEEiecosisin進而可以證明，相應于每一個波法線方向進而可以證明，相應于每一個波法線方向 k 的兩個的兩個獨立折射率獨立折射率 n 和和 n 的電位移矢量的電位移矢量 D 和和 D 相互相互垂直垂直。證明過程如下：。證明過程如下：波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )02()

23、 (39)11iiikDnk E0D D22102211223222222233220()()1111()() 11111111()()()()() ()()()kDDk Ek Ennkknnnnn nk Ek En 221122221122223322222222331111()()() 11111111()()()()kknnnkkkknnnn02() (39)11iiikDnk E22102211223222222233()()1111()() 11111111()()()()kDDk Ek Ennkknnnn 112233D DD DD DD D 22221112222221111()

24、1111( )()1111( )()( )()kkkn nnnnnnn 22221102222112222332222222233()()()1111()()()() 11111111()()()()kkn nDDk Ek Ennnnkkkknnnn 上式方括號中的第一、三、五項之和為零，第二、上式方括號中的第一、三、五項之和為零，第二、四、六項之和也為零。四、六項之和也為零。波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )21212232222102221223222232223()()()11()()() 11()1111( 1111()()kn nDDk Ek Ennkn

25、kknnnkknn 2223122221230 (40)111111kkknnn對應于晶體中每一給定的波法線方向對應于晶體中每一給定的波法線方向 k，只允許有，只允許有兩個特定振動方向的線偏振光傳播，兩個特定振動方向的線偏振光傳播，它們的它們的D 矢量矢量相互垂直相互垂直，具有不同的折射率或相速度。，具有不同的折射率或相速度。kssDEDE因此，因此，0D D波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )由于由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及四矢量共面，以及 E s，所以這，所以這兩個線偏振光有不同的光線方向兩個線偏振光有不同的光線方向( ( s 和和 s )和光線速和光

26、線速度度( ( vr 和和 vr )。波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程( (波法線方程波法線方程) )kssDEDE 光線菲涅耳方程光線菲涅耳方程( (光線方程光線方程) )上面討論的波法線菲涅耳方程確定了在給定的某個波上面討論的波法線菲涅耳方程確定了在給定的某個波法線方向法線方向 k 上，上，特許的兩個線偏振光的折射率和偏特許的兩個線偏振光的折射率和偏振態振態。2223122221230 (40)111111kkknnn 光線菲涅耳方程光線菲涅耳方程( (光線方程光線方程) )類似地，也可以得到確定相應于光線方向為類似地，也可以得到確定相應于光線方向為 s 的兩的兩個特許線偏振光的光線速度和偏振態的方程個特許線偏振光的光線速度和偏振態的方程光光線菲涅線菲涅耳耳方程方程。222312222r1r2r30 (43)sssnnn20201 (36)() (37)rrncnEDEDs s Drrpcoscos (35)ccnn 光線菲涅耳方程光線菲涅耳方程( (光線方程光線方程) )或或222312222222r1r2r30 (44)111111sss (43)式和式和(44)式