1、17常微分方程應(yīng)用結(jié)課作業(yè)學(xué)院：輕工與紡織學(xué)院班級：服裝設(shè)計與工程13-1班學(xué)號：201321805024姓名：周志彬常微分方程經(jīng)濟應(yīng)用微分方程在不僅在物理學(xué)、力學(xué)上有廣泛的應(yīng)用，在經(jīng)濟學(xué)和管理科學(xué)等實際問題中也比比皆是，本次我們將集中討論微分方程的經(jīng)濟應(yīng)用。讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決經(jīng)濟管理實際問題的魅力隨著社會經(jīng)濟的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)在我們的生活中可以說無處不在，尤其是在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用越來越廣泛.經(jīng)濟學(xué)必須進行定量研究.而常微分方程是對經(jīng)濟管理問題進行定量研究的最重要、最基本的數(shù)學(xué)工具之一，為了研究經(jīng)濟變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律，常常需要建立某一經(jīng)濟函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系

2、式，并由此確定所研究函數(shù)的形式，從而根據(jù)一些已知條件來確定該函數(shù)的表達式.從數(shù)學(xué)上講，就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解決問題，下面就是幾個例子：一、公司資產(chǎn)函數(shù)例。某公司t年凈資產(chǎn)有W(t)(百萬元)，并且資產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增長,同時該公司每年要以300百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.(1)給出描述凈資產(chǎn)W(t)的微分方程；(2)求解方程，這時假設(shè)初始凈資產(chǎn)為Wo；(3)討論在Wo=500,600,700三種情況下，W(t)變化特點.解(1)利用平衡法，即由凈資產(chǎn)增長速度=資產(chǎn)本身增長速度-職工工資支付速度得到所求微分方程dW=0.05W-30.dt(2)分離變量，得:0.

3、05dt.W-600兩邊積分，得ln|W600|=0.05t+lnCi(Ci為正常數(shù))，于是|W600|=Cie°.°5t,或W600=Ce°.°5t(C=±C)將W(0)=W0代入，得方程通解：W=600(W0-600)e°.05t.上式推導(dǎo)過程中W#600，當(dāng)W=600時，吧=0知dtW=600(W0-600)e°.°5t,W=600=W0,通常稱為平衡解，仍包含在通解表達式中.(3)由通解表達式可知，當(dāng)W0=500百萬元時，凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減，公司將在第36年破產(chǎn);當(dāng)W0=600百萬元時，公司將收支平衡，將資產(chǎn)

4、保持在600百萬元不變；當(dāng)Wo=700百萬元時，公司凈資產(chǎn)將按指數(shù)不斷增大.二、價格調(diào)整模型例如果設(shè)某商品在時刻t的售價為P,社會對該商品的需求量和供給量分別是P的函數(shù)D(P),S(P),則在時刻t的價格P(t)對于時間t的變化率可認(rèn)為與該商品在同時刻的超額需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程dP=kD(P)-S(P)(k0)(1.3)dt在D(P)和S(P)確定情況下，可解出價格與t的函數(shù)關(guān)系，這就是商品的價格調(diào)整模型.例如：某種商品的價格變化主要服從市場供求關(guān)系.一般情況下，商品供給量S是價格P的單調(diào)遞增函數(shù)，商品需求量Q是價格P的單調(diào)遞減函數(shù)，為簡單起見，分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與

5、需求函數(shù)分別為S(P)=abP,Q(P)-P(8.6)其中a,b,a,P均為常數(shù)，且bA0,P>0.當(dāng)供給量與需求量相等時，由(8.6)可得供求平衡時的價格Pe=并稱Pe為均衡價格.一般地說，當(dāng)某種商品供不應(yīng)求，即S<Q時，該商品價格要漲，當(dāng)供大于求，即SAQ時,該商品價格要落.因此，假設(shè)t時刻的價格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比，于是有方程dP_=kQ(P)-S(P)dt其中k>0,用來反映價格的調(diào)整速度.將(8.6)代入方程，可得dP(Pe-P)(8.7)dt其中常數(shù)九=(b+P)kA0,方程(8.7)的通解為P(t)=PeCeH假設(shè)初始價格P(0)=P0,代入

6、上式，得C=B-Pe,于是上述價格調(diào)整模型的解為P(t)=Pe(P0-Pe)e由于九>0知，tT十比時，P(t)TPe.說明隨著時間不斷推延,實際價格P(t)將逐漸趨近均衡價格Pe.、新產(chǎn)品的銷售速度分析記時刻t時已售出的新產(chǎn)品數(shù)為X(t),假設(shè)該產(chǎn)品使用方便，這些正在使用的新產(chǎn)品實際上起著宣傳的作用，吸引著尚未購買的顧客，設(shè)每一個新產(chǎn)品在單位時間內(nèi)平均吸引K個顧客,由此可知，X(t)滿足微分方程：dXdt=KX,X(0)=0.其解為:X(t)=X0eKt.若取t=0表示新產(chǎn)品誕生的時刻：貝UX(t)=0,與事實不符，它只考慮了實物廣告的作用，而忽略了廠家可以通過其他方式宣傳新產(chǎn)品從而打

7、開銷路的可能性，所以呢應(yīng)該有個上界，設(shè)需求量的上界為K,則尚未使用新產(chǎn)品的戶數(shù)為(K-X(t)由統(tǒng)計規(guī)律可知，dXdt與X(K-X)成正比，比例系數(shù)為r,則：dXdt=rX(K-X)-Krt它的解為X(t)=K/1+ce一階導(dǎo)數(shù)Xc(t)=cK2re-Krt/1+ce-Krt二階導(dǎo)數(shù)Xd(t)=cK3r2(ceKrt-1)(1+ce-Krt)2當(dāng)Xc(t)>0時,X(t)單調(diào)增加，由Xd(t)=0得出ce-Krt0=1，此時X(t0)=K/2當(dāng)t<t0時,Xd(t)>0,即Xc(t)單調(diào)增加，這表示在銷售量小于最大需求量的一半時，銷售速度Xc(t)不斷增大；當(dāng)t>t0時

8、,Xd(t)<0,即Xc(t)單調(diào)減小，這表示在銷售量達到最大需求量的一半時(t=t0),產(chǎn)品最暢銷，其后(即t>t0),銷售速度Xc(t)開始下降。所以，用戶采用某一新產(chǎn)品的這段時期，應(yīng)是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適的時期，初期應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳，后期則應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效益！四、差分方程在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用采用與微分方程完全類似方法，我們可以建立在經(jīng)濟學(xué)中的差分方程模型，下面舉例說明其應(yīng)用.1 .“籌措教育經(jīng)費”模型某家庭從現(xiàn)在著手，從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育，并計算20年后開始從投資賬戶中每月支取1000元，直到10年后子

9、女大學(xué)畢業(yè)并用完全部資金.要實現(xiàn)這個投資目標(biāo)，20年內(nèi)要總共籌措多少資金？每月要在銀行存入多少錢？假設(shè)投資的月利率為0.5%,為此，設(shè)第t個月，投資賬戶資金為at,每月存資金為b元，于是20年后，關(guān)于at,的差分方程模型為at1=(1.005)at-1000(9.11)且由20=0,a0=x.例：某家庭從現(xiàn)在開始，從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育，計劃20年后開始從投資帳戶中每月只取1000元，直到10年后子女大學(xué)畢業(yè)并用完全部資金.要實現(xiàn)這個投資目標(biāo),20年內(nèi)要總共籌措多少資金如月要在銀行存入多少錢？假設(shè)投資的月利率為0.5%,解：設(shè)第t個月，投資帳戶資金為ta,每月存

10、資金為b元，于是，20年后，關(guān)于ta的差分方程模型為at1=1.005at-1000(9.11)-S-a120-0,a0-x.解方程(9.11)得其通解為at=(1.005)”10001-1.005二(1.005)tA200000,其中A為任意常數(shù).因為a120=(1.005)120A200000=0,a0=A200000x,從而有x=200000-200000=9007345.(1.005)從現(xiàn)在到20年內(nèi)，at滿足方程at1.=(1.005)出b(9.12)且a0=0,a240=90073.45.解方程(9.12)得通解at=(1.005)"b一二(1.005)"200

11、b,t1-1.005以及a240=(1.005)240A-200b=90073.45,a0=A-200b=0,從而有b=194.95.即要達到投資目標(biāo)，20年內(nèi)要籌措資金90073.45元，平均每月要存入194.95元.2 .價格與庫存模型本模型考慮庫存與價格之間的關(guān)系設(shè)P(t)為第t個時段某類產(chǎn)品的價格，L(t)為第t個時段的庫存量.L為該產(chǎn)品的合理庫存量.一般情況下，如果庫存量超過合理庫存，則該產(chǎn)品的售價要下跌，如果庫存量低于合理庫存，則該產(chǎn)品售價要上漲，于是有方程P-R=k(L-Lt)(9.13)其中k為比例常數(shù).例：“百花”小商店是一個專門經(jīng)營各類毛巾的商店。每年營業(yè)時間為360天，每

12、天平均售出400張毛巾，每張毛巾的批發(fā)價平均為070元，每次訂貨的平均費用為112元。即每次訂貨，不論購買的數(shù)量多少都要支出112元。現(xiàn)在商店是每半年進一次貨，一年進兩次貨。每張毛巾的存貯費用一年為0-126元。這個商店的經(jīng)理感覺到每年訂貨兩次看來并非是一個好的訂貨方法，他希望能找到一種方法能幫助他確定每年應(yīng)該訂貨幾次。每次的數(shù)量應(yīng)該為多少，將可能為他節(jié)約一筆總的庫存費用。解析：現(xiàn)在“百花”商店是每年進貨兩次，每年毛巾的需求量是H=(400*360)144000張，則每次訂貨數(shù)量為144000/2=72000張。這個庫存問題是等量需求及時補充的，因此不會產(chǎn)生脫銷費用。這時的年度總庫存費用=年訂

13、貨費用+年存貯費用，用公式表示為：A=B+C其中：A為年總庫存費用；B為年訂貨費用，B=HS/Q,式中H為年需求量，本例H=144000張。S為每次訂貨費用，S=112元。Q為每次訂貨量，本例Q=72000張。則B=HS/Q=144000X112/72000=224元。每年訂貨次數(shù)(N=H/Q)，貝UB=NS=2X112=224元。C為年存貯費用，C=Q/2XK,K為單位商品的存貯費用，Q/2為平均庫存量。本例K=0.126元，則C=72000/2X0.126=4536元。因此“百花”商店每年訂貨兩次，每次訂貨量為72000張時的總庫存費用為A=B十C=224+4536=4760元。3 .國民

14、收入的穩(wěn)定分析模型本模型主要討論國民收入與消費和積累之間的關(guān)系問題設(shè)第t期內(nèi)的國民收入yt主要用于該期內(nèi)的消費Gt,再生產(chǎn)投資It和政府用于公共設(shè)施的開支G(定為常數(shù)),即有yt=CtItG(9.17)又設(shè)第t期的消費水平與前一期的國民收入水平有關(guān)，即Ct=Ayt(0：:A：:1)(9.18)第t期的生產(chǎn)投資應(yīng)取決于消費水平的變化，即有It=B(Ct-Ct)(9.19)由方程(9.17),(9.18),(9.19)合并整理得yt-A(1B)yt4BAyg=G(9.20)于是,對應(yīng)A,B,G以及y0,y,可求解方程，并討論國民收入的變化趨勢和穩(wěn)定性.例：社會原收入水平1000億元，消費為800億元。當(dāng)收入增加至1200億元時，消費增加至900億元。解：平均消費傾向：APC=C/Y=900/1200=0.75平均儲蓄傾向：APS=1-APC=1-0.75=0.25邊際消費傾向：MPC=C/AY=(900-800)/(1200-1000)=0.5儲蓄傾向：MPS=1-MPC=1-0.5=0.5自發(fā)總支出增加50億元，GDP會增加多少。Y=1/(1-c)XAEY=1/(1-c)XAAE