1、楊輝三角楊輝三角普通高中人教B版選修23第一章計數(shù)原理第三節(jié)二項式定理第二課時1、二項式定理、二項式定理 的展開式的展開式: ()nab 2、組合數(shù)的兩個性質：、組合數(shù)的兩個性質：1_ ; (2)_.011()()nnnrn rrnnnnnna+bC aC abC abC bnN1(0,1,2)rn rrrnTC abrnL mn mnnCC11mmmnnnCCC012,nnnnnCCCCL 通項公式是通項公式是_ 二項式系數(shù)是二項式系數(shù)是_學習目的：學習目的：1、了解楊輝三角，探求楊輝三角所包含的規(guī)律；、了解楊輝三角，探求楊輝三角所包含的規(guī)律；2、熟練掌握二項式系數(shù)的根本性質，并能運用、熟練

2、掌握二項式系數(shù)的根本性質，并能運用二項式定理處理某些簡單問題；二項式定理處理某些簡單問題；3、領會特殊到普通、賦值法等重要思想方法，、領會特殊到普通、賦值法等重要思想方法，培育學生的察看和歸納推理才干。培育學生的察看和歸納推理才干。0 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)60 04 4C C1 14

3、 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C C0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C 011()nnnrn rrnnnnnna+bC aC abC abC b1615 20 1561111211331146411510 1051 類似上面的表類似上面的表,我們稱為我們稱為“楊輝三角楊輝三角,早在我國南早在我國南宋數(shù)學家楊輝宋數(shù)學家楊輝1261年所著的年所著的一書里就一書里就曾經(jīng)出現(xiàn)了。而在歐洲，這個表被以為是法國數(shù)學家曾經(jīng)出現(xiàn)了。而在歐洲，這個表被以為是法國數(shù)學家帕斯卡帕斯卡1654首先發(fā)

4、現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早近五百年，角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早近五百年，由此可見我國古代數(shù)學是非常興隆的。由此可見我國古代數(shù)學是非常興隆的。(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1各展開式的系數(shù)有什么規(guī)律？各展開式的系數(shù)有什么規(guī)律？2 2上下兩行有什么關系嗎？上下兩行有什么關系嗎？ 3 3根據(jù)這幾條性質，大家能寫出下面的系數(shù)嗎根據(jù)這幾條性質，大家能寫出下面的系數(shù)嗎? ?(a+b)1(a+b)2(a

5、+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1各展開式的系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？各展開式的系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？對稱性：每行兩端都是對稱性：每行兩端都是1 1，Cn0= Cnn=1Cn0= Cnn=1，與首末兩端，與首末兩端“等間隔的兩個二等間隔的兩個二項式系數(shù)相等項式系數(shù)相等先增后減，中間項獲得最大值先增后減，中間項獲得最大值增減性與最大值：增減性與最大值：當當n n為偶數(shù)時：二項展開式共有為偶數(shù)時：二項展開式共有n+1n+1項奇數(shù)項，故中間一項的二項式項奇數(shù)項，故中間一項的二項式系數(shù)系數(shù) 最大；最大；2nnC當當n n為奇數(shù)時：二項展開式共有為奇數(shù)時：二項展開式共有n+1n+1項偶數(shù)項，

6、故中間兩項的二項式項偶數(shù)項，故中間兩項的二項式系數(shù)系數(shù) ，并列最大。，并列最大。 1122,nnnnCCn-mnnC= Cm第幾項的第幾項的二項式系二項式系數(shù)最大數(shù)最大? “ “一肩扛兩數(shù)：從第二行起，每行除一肩扛兩數(shù)：從第二行起，每行除1 1以外的每一個數(shù)都等于以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和它肩上的兩個數(shù)的和. .(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+11mmmnnnCCC2 2上下兩行有什么關系嗎？上下兩行有什么關系嗎？ 3 3根據(jù)這幾條性質，大家能寫出下面的系數(shù)嗎根據(jù)這幾條性質，大家能寫出下面的系數(shù)嗎? ? 1 7 21 35 35 21 7

7、1 7()ab 1.1.假設假設 的展開式中，第三項的二項式系數(shù)與第五的展開式中，第三項的二項式系數(shù)與第五項的二項式系數(shù)相等，那么項的二項式系數(shù)相等，那么n=_.n=_.6 62.在在(1-x)8的展開式中，的展開式中， 二項式系數(shù)最大的項是第二項式系數(shù)最大的項是第_項項; 二項式系數(shù)最大的項是二項式系數(shù)最大的項是_.()nab4448()70Cxx5知識反響知識反響122232425262(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61nnCCCCC2nn3n2n1n04.二項式系數(shù)的和：二項式系數(shù)的和：111212565633334562223234CCCCCCC

8、CCCCCLLLLLLLLLLLLL5.“一肩頂串數(shù)：一肩頂串數(shù)：怎樣證明這個等式呢？rrrrr1rr1r2nn + 1CCCCCL二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)的性質 4. 二項式系數(shù)的和二項式系數(shù)的和 012(1 1)2CCCCnnnnnnnL011()CCCCnnnrn rrnnnnnna+baababb令令 , ,那么：那么： 1,1ab賦值法賦值法例例1 1、證明：在、證明：在(a(ab)nb)n展開式中展開式中, ,奇數(shù)項的二項奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和. .證明證明: : 令令a=1,b=-1a=1,b=-1得得2( 1)(

9、1)(1 1)0n LL0 01 12 2r rn nn nn nn nn nn nC CC CC C + + +C CC C011()CCCCnnnrn rrnnnnnna+baababb024135()()0nnnnnnCCCCCC024135nnnnnnCCCCCC024135nnnnnnCCCCCC即證：即證：n-1n-11222nn024135()()0nnnnnnCCCCCC即證：即證：小結：求奇數(shù)項系數(shù)之和與偶小結：求奇數(shù)項系數(shù)之和與偶數(shù)項系數(shù)的和數(shù)項系數(shù)的和 可以先賦值，可以先賦值，然后解方程組整體求解然后解方程組整體求解726701267(12 )xaa xa xa xa x

10、L已知賦值法賦值法0(1)a求求：01237(2)aaaaaL1357(3)aaaa0246(4)aaaa一切項的系數(shù)和一切項的系數(shù)和偶數(shù)項系數(shù)之和偶數(shù)項系數(shù)之和奇數(shù)項系數(shù)之和奇數(shù)項系數(shù)之和例例2：(1)二項式系數(shù)的性質：二項式系數(shù)的性質： (2) 方法：方法： (3)數(shù)學思想：特殊到普通，歸納推理數(shù)學思想：特殊到普通，歸納推理小結小結(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6普通地，普通地， 展開式的二項式系數(shù)展開式的二項式系數(shù)有如下性質：有如下性質：nba)( 01,nnnnC CCL 4 4二項式系數(shù)和二項式系數(shù)和: :1 1對稱性：對稱性： (2) (2)“一肩扛兩數(shù)一肩扛兩數(shù): :推行：推行：“一肩頂串數(shù)一肩頂串數(shù): :mnnmnCCmmmnnnCCC11 3 3增減性與最大值：增減性與最大值： 當當n n為偶數(shù)時，為偶數(shù)時， 為最大值為最大值 nnC2 當當n n為奇數(shù)時為奇數(shù)時 ， 為最大值為最大值 nnnnCC1122012nnnnnCCCL()rrrrrrrrnnCCCCCnr1121當堂檢測：當堂檢測：1、知、知 ，那么，那么 _;1016C591515,Ca Cb4、設、設 ，那么那么 列式表示列式表示8878710(31)xa xa xa xaL871864