1、第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值 一、函數(shù)單調(diào)性的判別一、函數(shù)單調(diào)性的判別法法 本本節(jié)節(jié)開開始始，我我們們通通過過中中值值定定理理、利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)研研究究函函數(shù)數(shù)( )f x或或曲曲線線( )yf x性性態(tài)態(tài)，其其中中包包括括用用一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)研研究究函函數(shù)數(shù)的的增增減減性性與與極極值值，用用二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)研研究究曲曲線線弧弧的的凸凸凹凹性性與與拐拐點點，最最后后描描繪繪函函數(shù)數(shù)( )yf x的的圖圖象象. 如圖如圖3-33-3所示，作曲線在各點處的切線，不難察看到：所示，作曲線在各點處的切線，不難察看到： 圖圖3-3xOy(a)ab(b)Oxyab函數(shù)函數(shù)( )f x

2、在區(qū)間在區(qū)間, a b上單調(diào)增加，則曲線上單調(diào)增加，則曲線( )yf x是一條沿是一條沿 x 軸正向上升的曲線， 其上各點處的切線斜率軸正向上升的曲線， 其上各點處的切線斜率都是非負(fù)的都是非負(fù)的, 也就是說也就是說( )0fx. 函數(shù)函數(shù)( )f x在區(qū)間在區(qū)間, a b上單調(diào)減少，則曲線上單調(diào)減少，則曲線( )yf x是一條沿是一條沿 x 軸正向下降的曲線， 其上個點處的切線斜率軸正向下降的曲線， 其上個點處的切線斜率都是非正的，也就是說都是非正的，也就是說( )0fx. 由此可見， 可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密由此可見， 可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系切的聯(lián)系. 那么，能

3、否用導(dǎo)數(shù)在一個區(qū)間上的正、負(fù)來那么，能否用導(dǎo)數(shù)在一個區(qū)間上的正、負(fù)來判別函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性呢？判別函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性呢？ 拉格朗日中值定理建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，拉格朗日中值定理建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，利用中值定理可以得出函數(shù)單調(diào)性的判別法利用中值定理可以得出函數(shù)單調(diào)性的判別法. 定定理理 1（函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性的的判判別別法法）如如果果函函數(shù)數(shù)( )f x在在閉閉區(qū)區(qū)間間, a b上上連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間( , )a b內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)， （1）若若在在( , )a b內(nèi)內(nèi)( )0,fx則則( )f x在在, a b上上單單調(diào)調(diào)增增加加； （2）若若在在( , )a b內(nèi)

4、內(nèi)( )0,fx則則( )f x在在, a b上上單單調(diào)調(diào)減減少少. 證證 僅證明情況僅證明情況(1).在在, a b上任取兩點上任取兩點12,x x不妨設(shè)不妨設(shè)12,xx由所給條件知，由所給條件知，( )f x在在12,x x上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理的條件，則存在定理的條件，則存在12( ,),x x使使 2121()()( )()f xf xfxx 由于在由于在( , )a b內(nèi)內(nèi)( )0,fx所以所以( )0,f而而210,xx于是于是 21()()0f xf x 即即21()().f xf x這表明這表明( )f x在在, a b上單調(diào)增加上單調(diào)增加. 例例 1 討討論

5、論函函數(shù)數(shù)32( )32f xxx的的增增減減性性. 解解 函數(shù)函數(shù)( )f x的定義域為的定義域為(,) 2( )363 (2),fxxxx x 當(dāng)當(dāng)120,2xx時，時，( )0.fx 這兩點這兩點120,2xx將定將定義域分成三個區(qū)間義域分成三個區(qū)間 (,0, 0,2 , 2,. 當(dāng)當(dāng)(,0(2,)x 時，時，( )0fx；當(dāng)；當(dāng)(0,2)x時，時，( )0,fx故故(,02,x 為為( )f x的單增區(qū)間，的單增區(qū)間，0,2為為( )f x的單減區(qū)間，使導(dǎo)數(shù)等于零的點恰為單增區(qū)間與的單減區(qū)間，使導(dǎo)數(shù)等于零的點恰為單增區(qū)間與單減區(qū)間分界點單減區(qū)間分界點. Oxy圖圖3-4例例 2 判判別

6、別函函數(shù)數(shù)23( )f xx的的增增減減性性. 從上述兩例可得討論函數(shù)從上述兩例可得討論函數(shù)( )f x的增減性的一般步的增減性的一般步驟：驟： (1)先給出函數(shù)的定義域先給出函數(shù)的定義域 Df； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )fx； (3)求得函數(shù)在求得函數(shù)在 Df內(nèi)的使內(nèi)的使( )0fx的根或不可導(dǎo)的根或不可導(dǎo)點；點； (4)用用( )0fx的根及不可導(dǎo)點劃分函數(shù)的定義域為的根及不可導(dǎo)點劃分函數(shù)的定義域為若干個部分區(qū)間若干個部分區(qū)間； (5)在各個部分區(qū)間內(nèi)觀察在各個部分區(qū)間內(nèi)觀察( )fx的正、負(fù)號，從而利的正、負(fù)號，從而利用判別函數(shù)單調(diào)性的方法，確定用判別函數(shù)單調(diào)性的方法，確定(

7、 )f x在這些區(qū)間上的增在這些區(qū)間上的增減性減性. 為方便之，可列表討論為方便之，可列表討論. 例如例如，對于例，對于例 1，可列下表討論，可列下表討論3232yxx的的增減性增減性. x (,0) 0 (0,2) 2 (2,) ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 記號記號表示表示( )f x在所給區(qū)間上單增；在所給區(qū)間上單增；表示表示( )f x在所給區(qū)間上單減在所給區(qū)間上單減. 例例 3 判判別別函函數(shù)數(shù)3( )(1)f xxx的的增增減減性性. 解解 D(,)f ，函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 333322213141( )(1).333xxxfxxxxxx 令令( )0fx， 得，

8、 得1,( )4xfx不存在的點為不存在的點為0,x 列表如列表如下：下： x (,0) 0 1(0, )4 14 1( ,)4 ( )fx - 不存在不存在 - 0 + ( )f x 由上表可知，函數(shù)由上表可知，函數(shù)( )f x在在1,4上單減；在上單減；在1,4上單增上單增. 例例 4 利用函數(shù)單調(diào)性判別法，試證：當(dāng)利用函數(shù)單調(diào)性判別法，試證：當(dāng)0 x 時，時， 221ln(1)1xxxx成立成立. 例例 5 證證明明：當(dāng)當(dāng)2(1)1,ln1xxxx時 不等式恒成立. 證證 利利用用函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性判判別別法法，研研究究函函數(shù)數(shù) 2(1)( )ln,11xf xxxx 22212(1)

9、(1)0,( )2(1)(1)xffxxxx x 當(dāng)當(dāng)1,( )0,( )1,)xfxf x時在上上單單調(diào)調(diào)增增加加，故故當(dāng)當(dāng)1,( )(1)0 xf xf時. 所所以以，當(dāng)當(dāng)2(1)1,ln1xxxx時恒恒成成立立. 二、函數(shù)的極值及其求法二、函數(shù)的極值及其求法 在利用導(dǎo)數(shù)的正與負(fù)判別函數(shù)的增減性時看到，導(dǎo)在利用導(dǎo)數(shù)的正與負(fù)判別函數(shù)的增減性時看到，導(dǎo)數(shù)等于零的點可以作為增減區(qū)間的分界點，如例數(shù)等于零的點可以作為增減區(qū)間的分界點，如例 1 中點中點02xx和處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，在處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，在(,0上函數(shù)單調(diào)遞上函數(shù)單調(diào)遞增，在增，在0,2上上函函數(shù)單調(diào)遞減，即在點數(shù)單調(diào)遞減，即在點0 x

10、 的的去心去心鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)恒 有恒 有( )(0),f xf而 在 點而 在 點2x 的 去 心 鄰 域 內(nèi) 恒 有的 去 心 鄰 域 內(nèi) 恒 有( )(2)f xf.這樣的就是我這樣的就是我們要討論的極值點們要討論的極值點. 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0( )f xx在點的某鄰域內(nèi)有定義，如某鄰域內(nèi)有定義，如果 對 該 鄰 域 內(nèi) 任 何 點果 對 該 鄰 域 內(nèi) 任 何 點0()x xx， 恒 有， 恒 有00( )()( ( )()f xf xf xf x，則稱，則稱0()f x為函數(shù)為函數(shù)( )f x的極的極大值（極小值）大值（極小值）. 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)函數(shù)的

11、極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點取得極值的點稱為函數(shù)的極值點. 在在整整個個區(qū)區(qū)間間 , a b上上，極極小小 值值2()f x也也是是( )f x在在 , a b上上的的最最小小值值，而而( ) , f xa b在的的最最大大值值在在端端點點xb處處達(dá)達(dá)到到. Oxy圖圖3-5abx1 x2x3 x4 x5由圖由圖3-5還可以看出，在函數(shù)還可以看出，在函數(shù) f (x) 獲得極值的點處，獲得極值的點處，曲線曲線y = f (x)的切線是程度的這一現(xiàn)實可以在第一節(jié)羅爾的切線是程度的這一現(xiàn)實可以在第一節(jié)羅爾的背景闡明中看出，由此得到函數(shù)獲得極值的必要條件的背景闡明

12、中看出，由此得到函數(shù)獲得極值的必要條件.由此得到求連續(xù)函數(shù)極值的一般步驟如下：由此得到求連續(xù)函數(shù)極值的一般步驟如下： （1）求導(dǎo)）求導(dǎo)( )fx； （2）求出）求出( )f x的全部駐點及使的全部駐點及使( )fx不存在的點（即不存在的點（即( )f x的極值可疑點） ；的極值可疑點） ； （3）用極值可疑點將定義域分成若干個部分區(qū)間）用極值可疑點將定義域分成若干個部分區(qū)間,考考察察( )fx在每個部分區(qū)間在上的符號，以確定極值可疑點在每個部分區(qū)間在上的符號，以確定極值可疑點是否為極值點，并判斷在極值點處函數(shù)取極大是否為極值點，并判斷在極值點處函數(shù)取極大值還是極值還是極小值；小值； （1） 求

13、出各極值點處的函數(shù)值，即得函數(shù)的全部極值求出各極值點處的函數(shù)值，即得函數(shù)的全部極值. 例例 6 求求函函數(shù)數(shù)32( )69f xxxx的的極極值值. 解解 (,)fD 2( )31293(1)(3)fxxxxx 令令( )0fx得得駐駐點點121,3,( )xxf x沒沒有有不不可可導(dǎo)導(dǎo)點點，列列表表討討論論： x ( 10,1) 1 (1,3) 3 (3,) ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 4 0 由由上上表表可可以以看看出出，函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極大大值值為為(1)4;f極極小小值值為為(3)0f. 解解 (,)fD 1311332(1)2( )1(1)(1)xf xx

14、x 例例 7 求函數(shù)求函數(shù)23( )3(1)f xxx的極值的極值. 令令( )0fx即即312x ，得得駐駐點點9,1xx點為為不不可可導(dǎo)導(dǎo)點點，但但( )f x在在1x 處處連連續(xù)續(xù)，列列表表討討論論： x (,1) 1 (1,9) 9 (9,) ( )fx + - 0 + ( )f x 1 -3 由由上上表表可可以以看看出出，極極大大值值為為(1)1;f極極小小值值為為(9)3f （其其中中 表表示示該該點點導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在，即即( )f x的的不不可可導(dǎo)導(dǎo)點點）. 從從以以上上兩兩例例看看出出，極極值值存存在在的的第第一一充充分分條條件件既既適適用用于于在在點點0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，

15、也也適適用用于于在在點點0 x處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù). 若若函函數(shù)數(shù)( )f x在在駐駐點點0 x的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在且且不不為為零零，則則可可以以利利用用以以下下所所給給的的第第二二充充分分條條件件判判定定函函數(shù)數(shù)的的極極值值. 定定理理 4（第第二二充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)( )f x在在點點0 x處處具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且00()0,()0fxfx，則則 （1）當(dāng)當(dāng)0()0fx時時，( )f x在在點點0 x處處取取極極大大值值； （2）當(dāng)當(dāng)0()0fx時時，( )f x在在點點0 x處處取取極極小小值值. 例例 8 求求函函數(shù)數(shù)32( )43f xxxx的的極

16、極值值. 解解 2( )383(31)(3),( )68fxxxxxfxx 駐駐點點為為13,3xx 及又又 1()100,( 3)1003ff 所所以以由由第第二二充充分分條條件件知知極極大大值值為為114()327f ，極極小小值值為為(3)18f . 例例 9 求求函函數(shù)數(shù)1( )cos2sin (0)2f xxxx的的極極值值 解解 ( )sin2coscos (12sin ),fxxxxx ( )cos2sin .fxxx 令令( )0,fx在在0,上得上得駐點駐點 5,6 26x 53( )()0,( )106622fff 由 第 二 充 分 條 件 ， 得 函 數(shù)由 第 二 充 分 條 件 ， 得 函 數(shù)( )f x的 極 大 值 為的 極 大 值 為53( )(),664ff極小值為極小值為1( )22f. 在判在判定定駐點駐點0 x是否為極值點時，若在是否為極值點時，若在駐駐點點0 x處處0()0fx， 則第二充分條件失效，此時仍需用