1、5 彎曲彎曲 一、一、彎曲正應力彎曲正應力 二、二、彎曲彎曲剪應力剪應力 三、三、彎曲強度彎曲強度 四、提高梁抗彎能力的措施四、提高梁抗彎能力的措施 五、五、 塑性彎曲的概念塑性彎曲的概念 六、梁的撓曲線近似微分方程六、梁的撓曲線近似微分方程 七、積分法求梁的變形七、積分法求梁的變形 八、疊加法求梁的變形八、疊加法求梁的變形彎曲變形的特點彎曲變形的特點在橫向載荷或力偶作用下，梁的直軸線變為曲線在橫向載荷或力偶作用下，梁的直軸線變為曲線m0PqABCm0PqABC橫向載荷作用在橫向載荷作用在梁的縱向對稱面梁的縱向對稱面內內,梁彎曲變梁彎曲變形后的軸線為縱向對稱面內的平面曲線，稱形后的軸線為縱向對

2、稱面內的平面曲線，稱為為對稱彎曲對稱彎曲或或平面彎曲平面彎曲。對稱彎曲、對稱彎曲、平面彎曲的概念平面彎曲的概念xmqP2R1R純彎曲與橫力彎曲純彎曲與橫力彎曲 梁截面上沒有剪力，而只有彎矩，梁截面上沒有剪力，而只有彎矩， 稱為稱為純彎曲；純彎曲； 梁截面上既有剪力，又有彎矩梁截面上既有剪力，又有彎矩 ，稱為，稱為橫力彎曲。橫力彎曲。CD段段: : 純彎曲純彎曲AC、DB段段: : 橫力彎曲橫力彎曲FsPP-+MPa+aaPABCD例：例：P一、一、彎曲正應力彎曲正應力 1、變形幾何關系、變形幾何關系1、變形幾何關系、變形幾何關系平面假定平面假定：梁橫截面變形后仍保持為平面且梁橫截面變形后仍保持

3、為平面且垂直于變形后的梁軸線。垂直于變形后的梁軸線。 將梁看成由很多縱向纖維所組成將梁看成由很多縱向纖維所組成。假設假設：纖維間無相互擠壓纖維間無相互擠壓( (單向受力單向受力) )。dxmmnnaabbaabbmmnnMM1、變形幾何關系、變形幾何關系其間必有一層纖維即不伸長也不縮短其間必有一層纖維即不伸長也不縮短稱為稱為中性層中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性層與橫截面的交線稱為中性軸中性軸。yz中性軸中性層1、變形幾何關系、變形幾何關系ydddy)(設：纖維設：纖維bb的線應變的線應變 取中性層微段取中性層微段O1O2= dx 截面截面mm相對相對nn轉動轉動d 中性層中性層O1O2曲

4、率半徑為曲率半徑為 2、物理關系、物理關系pEEyynO1O2bbdmmn3、靜力學關系、靜力學關系橫截面橫截面A上的上的 為空間平行力系為空間平行力系AdAzy軸向力軸向力.ANdAF0(1)力矩力矩.0AydAzM(2)MdAyMAz(3)由(1)0zAaNSEydAEdAyEF中性軸過截面形心中性軸過截面形心3、靜力學關系、靜力學關系 當當y軸為截面的對稱軸時，軸為截面的對稱軸時，Iyz=0。上式自然成立。上式自然成立。 或或y、z軸為形心慣性主軸時，上式成立。軸為形心慣性主軸時，上式成立。由由(2)0yzAyIEdAEzyMAyzyzdAI為截面對為截面對y、z軸的軸的慣性積慣性積。由

5、由(3)MIEdAEyMzAz2AzdAyI2 為截面對為截面對z軸的軸的慣性矩慣性矩。由由Ey則則zIyM (b)梁橫截面上正應力分布公式梁橫截面上正應力分布公式zEIM1有有(a)1 梁的曲率梁的曲率 E Iz 梁的梁的抗彎剛度抗彎剛度梁橫截面上的最大正應力梁橫截面上的最大正應力zIyMmaxmax令令 抗彎截面模量抗彎截面模量maxyIWzmaxWM梁橫截面上的正應力梁橫截面上的正應力MM梁上部纖維梁上部纖維 受壓受壓0y梁下部纖維梁下部纖維 受拉受拉0yMMzIyM MxyFsM橫力彎曲：橫力彎曲：梁的橫截面上即存在彎矩梁的橫截面上即存在彎矩M，又存在剪力，又存在剪力Fs 。 在橫力彎

6、曲條件下，梁橫截面上既有正應力，在橫力彎曲條件下，梁橫截面上既有正應力，也有剪應力。對于跨高比也有剪應力。對于跨高比L/ /h 4 4的的細長梁細長梁，剪應力對變形的影響很小，因此，平面假定仍剪應力對變形的影響很小，因此，平面假定仍近似成立，由純彎曲情況導出的橫截面上正應近似成立，由純彎曲情況導出的橫截面上正應力計算公式等仍可使用。力計算公式等仍可使用。橫力彎曲橫力彎曲)(),(xxMM對深梁對深梁( )隨隨 減小誤差增大減小誤差增大4hlhlzEIxMx)()(1zIyxM)(WMmaxmaxmaxmaxWM 強度條件：強度條件：彎曲強度彎曲強度 等截面梁的強度條件：等截面梁的強度條件： (

7、1)梁截面關于中性軸對稱，拉壓的許用應力相梁截面關于中性軸對稱，拉壓的許用應力相等時，強度條件為等時，強度條件為 （2)2)梁截面關于中性軸不對稱，拉壓的許用應力梁截面關于中性軸不對稱，拉壓的許用應力相等時，強度條件為相等時，強度條件為(3)(3)梁截面關于中性軸不對稱，拉壓的許用應力不相梁截面關于中性軸不對稱，拉壓的許用應力不相等時，強度條件分別為等時，強度條件分別為例：例：鑄鐵梁的橫鑄鐵梁的橫截面截面是是T形，載荷和截面尺寸如圖示，鑄形，載荷和截面尺寸如圖示，鑄鐵的許用拉應力為鐵的許用拉應力為 t=30 MPa，許用壓應力為，許用壓應力為c=60MPa。已知截面對形心軸。已知截面對形心軸z

8、的慣性矩為的慣性矩為Iz=763 cm4，且，且 y1 =52 mm。試校核梁的強度。試校核梁的強度。 解：解：1 1）求約束反力求約束反力2)畫剪力圖和彎畫剪力圖和彎矩圖矩圖 3）B截面上的應力截面上的應力(上拉下壓上拉下壓) 4）C截面上的應力截面上的應力(上壓下拉上壓下拉)5）比較）比較(3)、(4)得得6)結論：強度足夠結論：強度足夠 二二. 彎曲剪應力彎曲剪應力 梁橫截面上的內力是梁橫截面上的內力是FS 和和M，從橫截面上任取一，從橫截面上任取一微面積微面積dA，設上面的正應力是，設上面的正應力是，剪應力是，剪應力是，則存在，則存在下列關系式：下列關系式： 00AyAZASANdAz

9、MMdAyMdAFdAF在橫截面上的分布未知在橫截面上的分布未知AdAzyFSMZ二二. . 彎曲剪應力彎曲剪應力1 1、矩形截面梁、矩形截面梁兩點假設兩點假設:1)橫截面上橫截面上,任一點任一點的的方向方向平行于平行于FS 2)沿截面寬度沿截面寬度均布均布 (h/b1)(y上下邊緣處上下邊緣處=0。hbyy yzFS12mmyx2dx11N2Nmm12*y*Ayzmmy12dxxXY矩形截面梁剪應力矩形截面梁剪應力FSFSMdMM 矩形截面梁剪應力矩形截面梁剪應力M+dMzMFSFS21dxby矩形截面梁剪應力矩形截面梁剪應力)(y微段微段 的平衡的平衡dxbdxydxbdT)(設其合力為設

10、其合力為dT*2zzNSIdMMF12NNFFdTy*yA*ZY*1*1ZZAZANSIMdAyIMdAF1NF2NFmm12dxdTbdxydT)(dAIMyFAZN*1dAIydMMFAZN*2)(代入代入12NNFFdT0)()(*bdxydAIMydAIydMMAZAZ整理得整理得dxdMbIdAyyZA*)(令令dAySAZ*面積面積A*對中性軸的靜矩對中性軸的靜矩最后最后bIFSyZSZ*)(dxdMFS截面上的剪力截面上的剪力SZ* 的計算的計算222111*)4(2*hyAZyhbbdyydAyS或或)4(2)2(21)(2(22*yhbyyhyhbyASczZyy1dy12h

11、2hbA*矩形截面梁剪應力矩形截面梁剪應力)4(2)(22yhIFyzs2hy處00y中性軸處bhFs23maxmax剪切強度條件剪切強度條件 max2、工型截面梁、工型截面梁bISFyzzs*)(當當B b 時，時，max與與 min相差很小，且相差很小，且腹板承受的剪力占截面絕大部分，腹板承受的剪力占截面絕大部分，故故 腹板上的剪應力腹板上的剪應力bhFsymaxminhHbB)/(*maxmaxZZSSIbF標準軋制標準軋制I字鋼，字鋼， 發生在腹板中性層發生在腹板中性層 max*max/ZZSI查標準型鋼表查標準型鋼表3、圓型截面梁、圓型截面梁 截面邊緣處的剪應力與圓截面邊緣處的剪應力

12、與圓周相切，對稱點周相切，對稱點C處的剪處的剪應力鉛垂向下。應力鉛垂向下。假設假設:1）、水平弦各點剪應力方向通過一點）、水平弦各點剪應力方向通過一點2）、水平弦各點剪應力的鉛垂分量）、水平弦各點剪應力的鉛垂分量y相等相等與矩形截面的推導類似與矩形截面的推導類似,有有:bISFzzSy*其中其中 b為距為距z軸軸 y的水平弦寬度的水平弦寬度222yRbzyDABCORSFy3、圓型截面梁、圓型截面梁R1yyAB*A121211*2dyyRydAySRyAz2322)(32yR zSyIyRF3)(22中性軸處中性軸處0ymaxy由44RIzAFRFss34342maxbISFzzSy*梁單元體

13、的截取及其應力狀態梁單元體的截取及其應力狀態FSM1M2FS梁橫截面單元體及應力狀態梁橫截面單元體及應力狀態maxmaxFSM1M2FSminmax工字截面梁橫力彎曲時腹板的剪應力工字截面梁橫力彎曲時腹板的剪應力ZZStISF*hHby2222minmax)(8bhbHhtbbHtIFZStbtFS腹板橫力彎曲梁正應力和剪應力的比較橫力彎曲梁正應力和剪應力的比較hbACqlqlFS21max82maxqlM2222maxmax4368bhqlbhqlWMbhqlAFS4323maxmaxhlqlbhbhql344322maxmax結論：對于結論：對于hl 的實體梁可以忽略剪應力的影響的實體梁可

14、以忽略剪應力的影響ql21ql21281ql281qlsFM剪應力校核剪應力校核 梁橫截面剪應力最大處為中性軸，正應力為梁橫截面剪應力最大處為中性軸，正應力為0 梁橫截面正應力最大處為上、下緣，剪應力為梁橫截面正應力最大處為上、下緣，剪應力為0下述情況須對剪應力校核：下述情況須對剪應力校核：1）深梁）深梁 或集中力作用靠近支座或集中力作用靠近支座 因而因而Q較大較大2）薄腹梁）薄腹梁 如工或如工或T 字形截面梁字形截面梁3）梁截面是由幾部分膠接）梁截面是由幾部分膠接 或焊接或焊接 、鉚接處、鉚接處max例例. .試選用工字鋼型號試選用工字鋼型號ml2ma2 . 0mkNq/10kNp200材料

15、材料 =160Mpa =100Mpa解解: :1. .內力圖內力圖2.按彎曲正應力強度考慮按彎曲正應力強度考慮3max281cmMW210208208210888 .4145)(mKNM選選I22a(W=309cm)aalPPqAB3、校核剪應力強度校核剪應力強度cmSIzz9.18*1481075. 09 .181021023*maxmaxmaxMPadISFzzs4、改用改用I25bcmSIzz3 .21/*cmd1腹板厚腹板厚cmd75. 0210208208210888 .4145)(mKNM6 .98maxMPa故選用故選用I25b查型鋼表查型鋼表 I220abbbb例：用螺釘將例：

16、用螺釘將4塊木板連接成箱形梁，塊木板連接成箱形梁， 已知箱形梁尺寸，載荷已知箱形梁尺寸，載荷P， 螺釘許用剪力螺釘許用剪力Q。確定螺釘間距。確定螺釘間距s。PsbbbbsbsbsbQ Z*ZSbISF2*ZSZSFQIs2例例.簡支梁由兩塊木簡支梁由兩塊木B板組成，兩板光滑接觸板組成，兩板光滑接觸求：許用載荷求：許用載荷PMPa10mmbml200,3mmh100已知已知ACBP2l2lb2h2h解解:各板平面假設成立各板平面假設成立plM41max單板單板22241)2(61bhhbW32/2maxmaxbhplWMNlbhP2222109230003100200103422M2M2MP開口

17、薄壁截面梁的彎曲中心開口薄壁截面梁的彎曲中心槽鋼彎心2槽鋼彎心3槽鋼彎心4開口薄壁截面梁的彎曲中心開口薄壁截面梁的彎曲中心平面彎曲條件下平面彎曲條件下,橫截面上的剪應力橫截面上的剪應力FsotISFzzs開口薄壁截面梁的彎曲中心開口薄壁截面梁的彎曲中心開口薄壁截面梁平面彎曲的條件開口薄壁截面梁平面彎曲的條件1）彎曲剪力的作用線與橫截面形心）彎曲剪力的作用線與橫截面形心主軸平行或垂直。主軸平行或垂直。2）彎曲剪力的作用線通過橫截面的）彎曲剪力的作用線通過橫截面的彎曲中心。彎曲中心。彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心彎曲中心maxmaxWM1、

18、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力支座位置支座位置M281ql2401ql2501qlM四、提高梁抗彎能力的措施四、提高梁抗彎能力的措施qll2 .0l2 .0l6 .0q分散載荷分散載荷4PlMMPl812l2lP2P2P2l4l4l2、梁的合理截面、梁的合理截面放置方向放置方向yzbhzyhb截面形狀截面形狀3、等強度梁、等強度梁使所有橫截面上的最大正應力相同或近似相同使所有橫截面上的最大正應力相同或近似相同.)(maxconstx 如如xbqxhxbhqxWqx)3()()(321222maxxqbh2P2P汽車上使用的疊板簧汽車上使用的疊板簧 吊車用魚腹梁吊車用魚腹梁3)()(32122maxbPxxhxbhPxWPxPx五、五、 塑性彎曲的概念塑性彎曲的概念 按正應力強度條件設計梁按正應力強度條件設計梁maxmaxWM沒有充分發揮材料的潛力，當沒有充分發揮材料的潛力，當s時，時，出現塑性變形。出現