1、3.1.3 空間向量的數量積運算 sFW= |F| |s| cos 根據功的計算根據功的計算, ,我們定義了平面兩向量的數量我們定義了平面兩向量的數量積運算積運算. .一旦定義出來一旦定義出來, ,我們發(fā)現這種運算非常有用我們發(fā)現這種運算非常有用, ,它能解決有關長度和角度的問題它能解決有關長度和角度的問題. .1 1了解空間向量夾角的概念及表示方法了解空間向量夾角的概念及表示方法. .2 2掌握空間向量數量積的計算方法及應用掌握空間向量數量積的計算方法及應用. .（重點）（重點）3 3能將立體幾何問題轉化為向量運算問題能將立體幾何問題轉化為向量運算問題（難點）（難點）O OA AB Ba a

2、 b b 注注: :兩個向量的數量積是數量，而不是向量兩個向量的數量積是數量，而不是向量. . 規(guī)定規(guī)定: :零向量與任意向量的數量積都等于零零向量與任意向量的數量積都等于零. .abA1 1B1 1BA注：注：性質性質是證明兩向量垂直的依據；是證明兩向量垂直的依據； 性質是求向量的長度（模）的依據性質是求向量的長度（模）的依據. .注：注： 向量的數量積運算類似于多項式運算向量的數量積運算類似于多項式運算, ,平方平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立. .例例1 1 在平面內的一條直線在平面內的一條直線, ,如果和這個平面的如果和這個平面的一條斜線

3、的射影垂直一條斜線的射影垂直, ,那么它也和這條斜線垂直那么它也和這條斜線垂直. . P O A l分析：分析：用向量來證明用向量來證明兩直線垂直，只需證兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量明兩直線的方向向量的數量積為零即可！的數量積為零即可！O 線線證證證證為為 在在直直l上l上取取向向量量a,只a,只要要aaPA =0PA =0因因aaPO =0,aPO =0,aOA =0OA =0所所以以aaPA = aPA = a (PO+OA)(PO+OA)= a= aPO+aPO+aOAOA= =明明0 0所所以以aaPA,即PA,即：llPA.PA. P O A la 逆命題成立嗎逆命題成立嗎?

4、 ?分析：分析：要證明一條直線與一個平面要證明一條直線與一個平面垂直垂直, ,由直線與平面垂直的定義可由直線與平面垂直的定義可知知, ,就是要證明這條直線與平面內就是要證明這條直線與平面內的任意一條直線都垂直的任意一條直線都垂直. . , ,:2. 線線內內兩兩條條線線證證已已知知直直是是平平面面的的相相交交直直果果例例如如求求m nlm lnl lmngn g m l 取已知平面內的任一條直線取已知平面內的任一條直線g,g,拿相關直線的方拿相關直線的方向向量來分析向向量來分析, ,看條件可以轉化為向量的什么條件看條件可以轉化為向量的什么條件? ?要證的目標可以轉化為向量的什么目標要證的目標可

5、以轉化為向量的什么目標? ?怎樣建立向怎樣建立向量的條件與向量的目標的聯系量的條件與向量的目標的聯系? ?lmngn g m l 內內線線 在在作作任任一一直直g g, ,分分在在l l, ,m m, ,n n, ,g g上上取取非非零零向向量量l l, ,m m, ,n n, ,g g. .因因m m與與n n相相交交, ,故故向向量量m m, ,n n不不平平行行, ,由由向向量量共共面面的的充充要要件件知知, ,存存在在惟惟一一的的有有序序( (x x, ,y y) ), ,使使g g = = x xm m + + y yn n, ,上上式式與與向向量量l l作作量量，得得l lg g

6、= = x xl lm m + + y yl ln n. .因因l lm m = = 0 0, ,l ln n = =明明0 0, ,所所以以l lg g = = 0 0, ,即即l lg g. .所所以以l lg g, ,即即l l垂垂直直于于平平面面任任一一直直. .所所以以l l. .: :別為條實數對將兩邊數積內線證為D D22 2,2,2_.則夾為aba bab4. 已4. 已知知與與 的的角角大大小小 135 D D6 6如圖所示，在空間四邊形如圖所示，在空間四邊形OABCOABC中，中，OAOA8 8，ABAB6 6，ACAC4 4，BCBC5 5，OACOAC4545，OABOAB6060，求，求OAOA與與BCBC夾角的余弦值夾角的余弦值 通過學習通過學習, ,體會到我們可以利用向量數量積體會到我們可以利用向量數量積解決立體幾何中的以下問題：解決立體幾何中的以下問題： 1.1.證明兩直線垂直證明兩直線垂直. . 2. 2.求兩點之間的距離或線段長度求兩