1、機械工程及自動化研究所現代信號處理技術及應用現代信號處理技術及應用第四章 循環平穩信號分析西安交通大學機械工程學院研究生學位課程西安交通大學機械工程學院研究生學位課程第四章第四章 循環平穩信號分析循環平穩信號分析4.1 4.1 循環平穩信號的定義循環平穩信號的定義4.2 4.2 信號的循環統計量信號的循環統計量4.3 4.3 基于二階循環統計量的仿真信號解調分析基于二階循環統計量的仿真信號解調分析4.4 4.4 循環平穩信號處理的工程應用循環平穩信號處理的工程應用引言引言在信號處理中，信號的統計量起著極其重要的作用，在信號處理中，信號的統計量起著極其重要的作用，最常用的統計量有均值（一階統計量

2、）、相關函數最常用的統計量有均值（一階統計量）、相關函數與功率譜密度函數（二階統計量），此外還有三階、與功率譜密度函數（二階統計量），此外還有三階、四階等高階統計量。四階等高階統計量。在非平穩信號中有一個重要的子類，在非平穩信號中有一個重要的子類，它們的統計量它們的統計量隨時間按周期或多周期規律變化，這類信號稱為循隨時間按周期或多周期規律變化，這類信號稱為循環平穩信號。環平穩信號。具有季節性規律變化的自然界信號都是典型的循環具有季節性規律變化的自然界信號都是典型的循環平穩信號，例如水文數據、氣象數據、海洋信號等。平穩信號，例如水文數據、氣象數據、海洋信號等。雷達系統回波也是典型的循環平穩信號。

3、雷達系統回波也是典型的循環平穩信號。引言引言機械循環平穩信號具有以下特點：機械循環平穩信號具有以下特點：n(1) 正常無故障的機械信號一般是平穩隨機信號，統計正常無故障的機械信號一般是平穩隨機信號，統計量基本不隨時間變化。量基本不隨時間變化。n(2) 故障信號產生周期成分或調制現象，其統計量呈現故障信號產生周期成分或調制現象，其統計量呈現周期性變化，此時信號成為循環平穩信號。周期性變化，此時信號成為循環平穩信號。n(3) 統計量中的某些周期信息反映機械故障的發生。統計量中的某些周期信息反映機械故障的發生。因此研究循環平穩信號處理和特征信息的提取方法，因此研究循環平穩信號處理和特征信息的提取方法

4、，對機械故障診斷具有重要的意義。對機械故障診斷具有重要的意義。第四章第四章 循環平穩信號分析循環平穩信號分析4.1 4.1 循環平穩信號的定義循環平穩信號的定義4.2 4.2 信號的循環統計量信號的循環統計量4.3 4.3 基于二階循環統計量的仿真信號解調分析基于二階循環統計量的仿真信號解調分析4.4 4.4 循環平穩信號處理的工程應用循環平穩信號處理的工程應用4.1 循環平穩信號的定義循環平穩信號的定義嚴格意義上的循環平穩信號是指時間序列具有周期嚴格意義上的循環平穩信號是指時間序列具有周期時變的聯合概率密度函數時變的聯合概率密度函數011( , )( ,)NNiiiip x tp x tnT

5、w循環平穩信號具有周期時變的矩和統計量，即循環平穩信號具有周期時變的矩和統計量，即N統計階數，統計階數，T0是基本循環平穩周期，是基本循環平穩周期，n是一個給定的整數是一個給定的整數 011( )()NNiiiiEx tEx tnTw階循環平穩過程的定義：階循環平穩過程的定義：若隨機過程若隨機過程 從一階到從一階到 階的各階時變統計量都存階的各階時變統計量都存在，并且它們都是時間的周期函數（其中，每階的在，并且它們都是時間的周期函數（其中，每階的循環周期可能有多個，且各階循環周期一般不同），循環周期可能有多個，且各階循環周期一般不同），則稱該隨機過程為則稱該隨機過程為 階循環平穩過程。階循環平

6、穩過程。(4.1.1)(4.1.2)4.1 循環平穩信號的定義循環平穩信號的定義具有周期變化的統計量稱為循環統計量。具有周期變化的統計量稱為循環統計量。循環統計理論的研究迅速發展是在循環統計理論的研究迅速發展是在20世紀世紀80年代年代中期。中期。對二階循環統計量研究最有影響的是對二階循環統計量研究最有影響的是W.A.Gardner，他提出的譜相關理論和冗余概念。，他提出的譜相關理論和冗余概念。近幾年，隨著高階循環統計量這一數學工具誕生，近幾年，隨著高階循環統計量這一數學工具誕生，循環平穩信號的研究也從二階發展到了高階。循環平穩信號的研究也從二階發展到了高階。陳進、姜鳴等分析了高階循環統計量理

7、論在諧波恢陳進、姜鳴等分析了高階循環統計量理論在諧波恢復、系統辨識、特征提取等中的應用，指出將高階復、系統辨識、特征提取等中的應用，指出將高階循環統計量理論應用于機械設備的狀態監測和故障循環統計量理論應用于機械設備的狀態監測和故障診斷領域具有重要意義診斷領域具有重要意義第四章第四章 循環平穩信號分析循環平穩信號分析4.1 4.1 循環平穩信號的定義循環平穩信號的定義4.2 4.2 信號的循環統計量信號的循環統計量4.3 4.3 基于二階循環統計量的仿真信號解調分析基于二階循環統計量的仿真信號解調分析4.4 4.4 循環平穩信號處理的工程應用循環平穩信號處理的工程應用4.2 信號的循環統計量信號

8、的循環統計量4.2.1 一階循環統計量一階循環統計量4.2.2 一階循環統計量一階循環統計量循環均值循環均值4.2.3 二階循環統計量二階循環統計量循環自相關函數循環自相關函數4.2.4 功率譜密度函數功率譜密度函數4.2.1 一階循環統計量一階循環統計量循環統計方法是研究信號統計量的周期結構，它直循環統計方法是研究信號統計量的周期結構，它直接對時變統計量進行非線性變換得到循環統計量，接對時變統計量進行非線性變換得到循環統計量，并用循環頻率并用循環頻率時間滯后平面分布圖來描述信號，時間滯后平面分布圖來描述信號，抽取信號時變統計量中的周期信息。抽取信號時變統計量中的周期信息。循環統計量的一般表達

9、式為循環統計量的一般表達式為210( )lim( , )TjtxkxkTTCc tedt(4.2.1)一階循環統計量一階循環統計量對于一個循環平穩的時間序列來說，它的循環頻率對于一個循環平穩的時間序列來說，它的循環頻率（包括零循環頻率和非零循環頻率）可能有多個，（包括零循環頻率和非零循環頻率）可能有多個，所有循環頻率的總體構成循環頻率集所有循環頻率的總體構成循環頻率集循環頻率包括零值和非零值，其中零循環頻率對應循環頻率包括零值和非零值，其中零循環頻率對應信號的平穩部分，非零循環頻率則描述了信號的循信號的平穩部分，非零循環頻率則描述了信號的循環平穩特性。環平穩特性。循環基頻循環基頻011( ,

10、)( ,)NNiiiip x tp x tnT0/n T 循環頻率從物理意義上講，與傅里葉變換中的頻率一樣，循環頻率從物理意義上講，與傅里葉變換中的頻率一樣，都表示信號的頻率都表示信號的頻率4.2.2 一階循環統計量一階循環統計量循環均值循環均值循環平穩過程的一階循環統計量是指信號的均值是循環平穩過程的一階循環統計量是指信號的均值是時間的周期函數。時間的周期函數。00( )cos(2)( )x txf tn t0000( )( )cos(2)( )cos(2)xm tE x tE xf tE n txf tw可見均值是時間的周期函數，該信號是循環平穩信可見均值是時間的周期函數，該信號是循環平穩

11、信號，因此無法直接使用時間平均估計信號的均值。號，因此無法直接使用時間平均估計信號的均值。w對上述循環平穩信號以對上述循環平穩信號以T0為周期進行采樣，則這樣為周期進行采樣，則這樣的采樣值顯然滿足遍歷性，從而，可以用樣本平均的采樣值顯然滿足遍歷性，從而，可以用樣本平均來估計其均值來估計其均值01( )lim()21NxNnNMtx tnTN的統計平均的統計平均(4.2.2)(4.2.4)(4.2.3)一階循環統計量一階循環統計量循環均值循環均值可以看出式可以看出式(4.2.4)是是T0的周期函數的周期函數,2( )jtxxmMtM e00/22/201( )TjtxxTMMt edtTw將式（

12、將式（4.2.4）代入式（）代入式（4.2.6）中，）中，00/ 220/ 20/ 222/ 21lim()(21)1lim( )( )NTjtxTNnNTjtjttTTMx tnT edtNTx t edtx t eT 傅里葉展開傅里葉展開其中其中(4.2.5)(4.2.6)(4.2.7)一階循環統計量一階循環統計量循環均值循環均值4.2.3 二階循環統計量二階循環統計量循環自相關函數循環自相關函數對于零均值的非平穩復信號，時變自相關函數可以對于零均值的非平穩復信號，時變自相關函數可以寫成寫成( ; ) ( )(xR tE x t x t w假定此時變自相關函數具有周期性，并且周期為假定此時

13、變自相關函數具有周期性，并且周期為T0 ，則可以用時間平均將相關函數寫成，則可以用時間平均將相關函數寫成001( ; )lim()()(21)NxNnNR tx tnT x tnTN0/m T 取取，相關函數的傅里葉展開為，相關函數的傅里葉展開為0(2/)2( ; )(jTmtjtxxxmmR tReRe(4.2.9)(4.2.10)二階循環統計量二階循環統計量循環自相關函數循環自相關函數式（式（4.2.10）中的傅里葉系數稱為循環自相關函數）中的傅里葉系數稱為循環自相關函數00/ 22/ 201( )( ; )TjtxxTRR tedtT w將式（將式（4.2.9）代入式（）代入式（4.2.

14、11）得）得0000/2*200/20/2*200/2011( )lim()()211lim()()(21)NTjtxTNnNNTjtTNnNRx tnT x tnTedtTNx tnT x tnTedtNT w將上式改寫成將上式改寫成2*22*21( )lim( )() ( )()TjtxTTjttRx t x tedtTx t x te（4.2.11）（4.2.12）（4.2.13）二階循環統計量二階循環統計量循環自相關函數循環自相關函數幅值調制信號為例對循環自相關函數的性能作仿真幅值調制信號為例對循環自相關函數的性能作仿真分析分析0( )(1cos(2)cos(2)cx tAf tf t

15、2000201cos(2) 1cos(2) =0;22cos(2)cos(2) =; 2cos(2) =2; 2( )14cccxAffAfffAffRe 222002201cos(2) =2; 2cos(2) =(2); 4 =(22); 16jccjcjcAffAefffAeff（4.2.14）二階循環統計量二階循環統計量循環自相關函數循環自相關函數二階循環統計量二階循環統計量循環自相關函數循環自相關函數循環自相關函數三維圖及其切片圖循環自相關函數三維圖及其切片圖4.2.4 功率譜密度函數功率譜密度函數對于平穩的隨機信號來說，其自相關函數與功率譜對于平穩的隨機信號來說，其自相關函數與功率譜

16、密度函數是一對傅里葉變換對，通過功率譜密度函密度函數是一對傅里葉變換對，通過功率譜密度函數可以描述信號二階統計量的數字特征。數可以描述信號二階統計量的數字特征。同樣，對于循環平穩信號，其循環自相關函數與循同樣，對于循環平穩信號，其循環自相關函數與循環譜密度函數也是一對傅里葉變換對。環譜密度函數也是一對傅里葉變換對。根據維納根據維納-辛欽關系，循環譜密度（辛欽關系，循環譜密度（Cyclic Spectrum Density，簡寫，簡寫CSD）如式（）如式（4.2.17）所示。所示。2( )( )jfxxSfRed（4.2.17）功率譜密度函數功率譜密度函數為了更加清楚的說明循環譜密度的特性，取信

17、號模為了更加清楚的說明循環譜密度的特性，取信號模型型0( )( )cos(2)x ta tf t其中，其中， a(t)為零均值的平穩隨機信號，滿足條件為零均值的平穩隨機信號，滿足條件2( )0(/2)(/2)0( )0(/2)(/2)0 0ttjttjtta ta ta ta t ea ta te 功率譜密度函數功率譜密度函數由式（由式（4.2.17）可以求出該仿真信號的循環譜密度）可以求出該仿真信號的循環譜密度為為002011()() =0;441( )( ) =2 ; 40 aajxaSffSffSfeSff其它功率譜密度函數功率譜密度函數給式（給式（4.2.14）所示仿真信號疊加平穩遍歷

18、白噪聲）所示仿真信號疊加平穩遍歷白噪聲n(t),各參數取值與上述計算二階循環自相關函數各參數取值與上述計算二階循環自相關函數時的取值完全相同。循環譜如圖時的取值完全相同。循環譜如圖4.2.4所示所示功率譜密度函數功率譜密度函數循環譜切片圖循環譜切片圖功率譜密度函數功率譜密度函數循環譜密度函在頻率域內的信息和循環頻率域內的循環譜密度函在頻率域內的信息和循環頻率域內的信息具有譜相關特性。信息具有譜相關特性。對于調幅信號，載波信息在頻率域內的值與其自身對于調幅信號，載波信息在頻率域內的值與其自身相等，而在循環頻率域內的頻率信息是其載波頻率相等，而在循環頻率域內的頻率信息是其載波頻率的的2倍。倍。而調

19、制頻率在頻率域和循環頻率域內的值沒有變化。而調制頻率在頻率域和循環頻率域內的值沒有變化。利用循環頻率與頻率之間的相關特性，用切片圖可利用循環頻率與頻率之間的相關特性，用切片圖可以將有用的信息提取出來并進而分析頻率信息特征。以將有用的信息提取出來并進而分析頻率信息特征。第四章第四章 循環平穩信號分析循環平穩信號分析4.1 4.1 循環平穩信號的定義循環平穩信號的定義4.2 4.2 信號的循環統計量信號的循環統計量4.3 4.3 基于二階循環統計量的仿真信號解調分析基于二階循環統計量的仿真信號解調分析4.4 4.4 循環平穩信號處理的工程應用循環平穩信號處理的工程應用4.3 基于二階循環統計量的仿

20、真信號解調分析基于二階循環統計量的仿真信號解調分析4.3.1 調頻信號的解調分析調頻信號的解調分析4.3.2 多載波調頻信號的解調多載波調頻信號的解調4.3.3 多調制源調幅信號的解調多調制源調幅信號的解調4.3.4 多載波調幅信號的解調多載波調幅信號的解調4.3.5 循環相關解調法識別信號有用信息和混頻信循環相關解調法識別信號有用信息和混頻信息的規律息的規律4.3.1調頻信號的解調分析調頻信號的解調分析)2sin(2cos)(tftfAtxnz4.3.2 多載波調頻信號的解調多載波調頻信號的解調1020( )cos(2sin(2)cos(2sin(2)ccx tf tf tf tf t多載波

21、調頻信號的解調多載波調頻信號的解調4.3.3 多調制源調幅信號的解調多調制源調幅信號的解調0102( )1cos 2cos 2cos 2cx tf tf tf t4.3.4 多載波調幅信號的解調多載波調幅信號的解調0102( )1 cos(2)cos(2) 1 1.5cos(2)cos(2)( )ccx tf tf tf tf tn t多載波調幅信號的解調多載波調幅信號的解調多載波調幅信號的解調多載波調幅信號的解調4.3.5 循環相關解調法識別信號有用信息循環相關解調法識別信號有用信息和混頻信息的規律和混頻信息的規律(1) 如果循環頻率高頻段的循環譜切片圖的循環頻率信息與如果循環頻率高頻段的循

22、環譜切片圖的循環頻率信息與該圖片相對應的頻率信息具有該圖片相對應的頻率信息具有2倍的關系，并且切片圖中相倍的關系，并且切片圖中相應的循環頻率信息（或頻率信息）表現為中心頻率，其兩應的循環頻率信息（或頻率信息）表現為中心頻率，其兩邊均有明顯的調制邊頻帶，則說明此循環頻率（或頻率）邊均有明顯的調制邊頻帶，則說明此循環頻率（或頻率）具有載波頻率特征，循環頻率是載波頻率的具有載波頻率特征，循環頻率是載波頻率的2倍，并且圖中倍，并且圖中所對應的邊頻帶頻率信息就是調制頻率信息。所對應的邊頻帶頻率信息就是調制頻率信息。(2) 如果循環頻率高頻段的循環譜切片圖的循環頻率信息與如果循環頻率高頻段的循環譜切片圖的循環頻率信息與該圖片相對應的頻率信息具有相等的關系，則說明此循環該圖片相對應的頻率信息具有相等的關系，則說明此循環頻率是單獨的頻率分量。在表示頻率域信息的切片圖中，頻率是單獨的頻率分量。在表示頻率域信息的切片圖中，一般情況下，可以清楚地看到此單獨的頻率信息，沒有調一般情況下，可以清楚地看到此單獨的頻率信息，沒有調制邊頻帶出現。一般在表示循環頻率域