1、精品文檔、選擇題（每小題4分，共16分）1、設 D (x,y)|x2 y2 1,x 0, y 0,則(A)(B)(C)(D)2、若級數Un和Vn都發散,n 1n 1則下列級數中必發散的是（(A) (Un Vn)n 1(B) (U2 V2)(C)UnVnn 1n 1(D) (Un| |Vn)n 13、若 an(x 1)n 在 xn 12處收斂，則此級數在 x 3處（A）絕對收斂（B）條件收斂（C）發散）（D）收斂性不能確定4、計算IzdV ,其中為曲面z x2 y2及平面z 1所圍成的立體，則正確的解法為211(A) Idrdr zd z000211(C) Idrdr zdz00r、填空題(每小

2、題4分，共24分)(B) I(D) I211d r d r 2 zdz00r212zd z d zrd r0001、設是由球面x2y2 z2 z所圍成的閉區域，則x2 y2 z2 dV =2、設曲線/2(x y )d s3、設L為上半圓周yJa2 x2 （a 0）及x軸所圍成的區域的整個邊界，沿逆時針方向,X d 2y 2 貝y- 3X - 2面I/.I是設、4-1在第一卦限的部分，則44八(2x 3y z)dS5、函數f（x）arctanx 在 x0處的哥級數展開式為,其收斂域為精品文檔，一 26、設 S(x)bn sin nx ,n 1x ,其中 bn ° xsin nxd x

3、,則在,上S(x) 三、解答題（分A、B類題，A類題每小題10分，共60分；B類題每小題8分，共48分）每道題必須且只需選做一道題，或做A類，或做B類，不必A、B類題都做1、（A類）計算絲浮，其中L分別為L2（x2 y2）（1）圓周（x 2）2 y2 2,沿逆時針方向;（2）圓周（x 1）2 y2 2,沿逆時針方向。（B 類）計算 Jexsiny 2y）d x （ex cosy 2）d y,其中 L 為上半圓周（x a）2 y2 a2（y 0）, 沿逆時針方向。（常數a 0）2、（A 類）計算 Iq（xy）2z22yz dS,其中 是球面x2y2z22x 2z。（B類）計算I 6（x2 y2）

4、dS，其中 為錐面z Jx2 y2及平面z 1所圍成的區域的整個 邊界曲面。3、（A 類）計算 I（x3z x）d y d z x2yzd zd x x2z2 dxd y ,其中 是拋物面z 2 x2 y2 （1 z 2）的上側。（B 類）計算 I （y2 z）d yd z （z2 x）d zd x （x2 y）d xd y ,其中 是錐面22z Jxy （0 z 1）的下側。4、（A類）設a0,a1,a2,L為等差數列（a0 0）,試求：（1）哥級數 axn的收斂半徑；（2）數項級數an的和。n0 nn 0n 0 2n（B類）求哥級數的收斂域以及和函數；n 1 n（n 1）115、（A類）判

5、斷級數（1）n 1n 2 ln（1 n 2）的收斂性，是絕對收斂還是條件收斂？n 1（B類）判斷級數 （1）n1的收斂性，是絕對收斂還是條件收斂？ n 1n6、（A類）將函數f （x） 2 x （0 x 1）展開成以2為周期的余弦級數，并求工的和。n 1 n（B類）將函數f（x） x2（0 x ）展開成以2為周期的余弦級數。附加題（10分）（選做題）設函數f（x）在（，）內具有一階連續導數，L是上半平面（y 0）內的有向分段光滑曲線,起點為（a,b）,終點為（c, d）,當ab cd時，求12x 2I 1 y f (xy)d x y f(xy) 1d yL yyDDABi.,102.3.4.

6、4V615( 1)nn 02n 12n x1,1x, 0三.1 . （A類）解： 記22、2(x y ),Q2(x2y2Q-2 2°y )x（1）設D是由L所圍成的閉區域。因奇點(0,0)D ,所以由格林公式,ydx xdyL2(x2 y2)P . cdxdy 0。 y（2）設D是由L所圍成的閉區域。選取一正數rr2是位于D內的圓周（取逆時針方向）。記L和l所圍成的閉區域為Di , （0,0）Di ,從而由格林公式，得ydx xd yL l 2(x2 y2) xQ P dxdyydx xd yL 2(x2y2)（B類）解：補上曲線i ：yyd xl 2(x2xd y2. 222r s

7、in r cos ,2d2r20,x :0 2a ,記L和l所圍成的閉區域為 D。由格林公式，得(exsinyL l2y)d x (ex cosy 2)d y(ex sin y 2y)d x (ex cosy 2)d y2 Ddxd y 02. （A類）解：利用對稱性和曲面方程，得22_ _ _yz2xy 2yzd Sax222_y z d S2C(xz)d S4 dS4 1 QdS32(B 類)解：設 1 ： z &(x,y) Dxy ；2： z 1, (x,y) Dxy,其中Dxy(x,y)|x2 y2 1。則(x2 y2)d S(x2 y2)d S1222D (x y )d xd

8、yDxy22D (x y )d xd yD xy3.(A('.21)1)1)1)類）解：作輔助面3(x z1x)d ydz(3x2z2dz1 x2y222D (x y )dxdyDxy22D (x y )dxdyDxy2:z 1 (x, y) Dxy: x22 2x yzd zd x x z d xd y1 x2z 2x2z)dVDxyX2dx7記和1所圍成的空間閉區域為3(x zdVx)d ydz1 (x22 Dxy22 2 ,x yzdzdx x z dxdy)d xd y2i(2dxd y2 zz)dz 4（B類）解：作輔助面1 ：z(x, y) Dxy和1所圍成的空間閉區域為

9、，則/ 2(y z)d ydz1/ 2(y z)d yd z,22(z x)d zdx (x y)d xd y0d V，2D (x y)d xdyD xyDxyx2dxdy121 22 022D (x y )dxdyDxy1r3dr044. (A 類)解:(1)依題意，ana0 nd,n 1,2,.,其中d為公差。從而R Limnanan 1Lim na0 ndao(n 1)d故哥級數nanxn的收斂半徑為1。0(2)解法一：設S(x)- nanx , x (01,1),則S(x)nanxn 0(a00nd )xna0nnnx1ao1 xn 1 nx1a。1 xd x(na01 xd x(n

10、1a01 x廣) 1 xa01 xd x(1 x)2a0(da0)x(1 x)2(1,1)因而In- S(1) n 0 222a1。解法二：設S(x)na“x ,x01,1)，由 anan 1d, n1,2,得nanx1nan 1xn 1nanx0故 S(x)ao xS(x)，求得S(x)ao(da°)x(1 x)2an0 2nc 1S(-) 2a1。(B類)解：哥級數nnx1 n(n一的收斂半徑為1)R Limnanan 1Limnn(n(n 1)(n 2)設 S(x)S(x)1時，此時哥級數為(1)n 匕(1) 收斂, n 1 n(n 1)從而其收斂域為1,1。nx,xn 1 n

11、(n 1)1,1,則當1,1), x 0 時nx1 n(n 1)tn11 dt -( xtn1dt x)1dtx i 一dtx)1ln(1 x) ln(1 x) 1x1 x.ln(1 x) 1 x又根據和函數在收斂域的連續性，得(1 x)ln(1 x) x /S(0) 0 ,S(1) lim S(x) lim -1,x 1x 1x(1 x)ln(1 x) xS( 1) lim S(x) lim -1 21n 2。故x 1x 1xS(x)1 x1x1x0x 0x 15. （A 類）解：令 f （x）x ln(1 x) , x 0,則當 x0時,f (x),1 c1 0,因1 x此對 x 0, f

12、(x)單調遞增且f (x) f (0) 0。11對級數 (1)n * 1n 2 ln(1 n 2)來說， n 111n 2 ln(1 n 2)1f（n 2） 0 ,說明它是交錯級數1n 2 ln(11n 2)1f(n 2)1f(n 1)2)111(n 1) 2 ln1 (n 1)2且！而"2 ln(11n 2)0,由萊布尼茲判別法知，該級數收斂。111,、1 ,5 , ,，另外， 因 lim x-n(2x) lim x_lim -, 故 lim n(n- -, 這說 明級數x 0 x x 0 2x x 0 2(x 1) 2 nJ2n11n 2 ln(1 n 2)是發散的。 n 1 1

13、1綜上所述，級數(1)n1n2 ln(1 n工)是條件收斂的。ln n ln(n 1)n 2時， I ,n n 1n 1（B類）對級數 （1）n 1®,因回 0 （n 1,2,），說明它是交錯級數。當 n 1nn且limlnn 0,由萊布尼茲判別法知，該級數收斂。n nln n另外，因lim "，這說明對級數也，它是發散的。n 1n 1 nn綜上所述，級數（1）n 1 ln是條件收斂的。n 1n5.(A類)解：對函數f(x)偶周期延拓，先求延拓后函數的傅里葉級數:a。12 0(2 x) dx 5;an1o(2 x)cos(n x)d xx 22sinnn1-2 nbn2 c

14、osnx/(1)n42n0f(x)因延拓后的函數在f(x)最后求級數2k2k421k1,2,；12 cos(2n1 (2n 1)2')是連續的，從而11 (2n 1)22f(0)21 (2n 1)1)cos(2 n1 (2n1)2 ) 1)21 (2n1)2(B類)a0對函數anbn1 f (x) 311(2n)2f(x)偶周期延拓，先求延拓后函數的傅里葉級數:dxcos(nx) d2 x22xsin nx - cos nx nn2-sin nx n4( 1)n n因延拓后的函數在f(x)1)n2ncosnx。)是連續的，從而2 4 Fsnxn 1 n、一 1附加題.解：記p 1y2x

15、 2 -y f(xy) , Q y f(xy) 1,則 y12 ,21 y f (xy)y1.2 yf(xy) y2xy f (xy) xyf (xy)f(xy)xyf (xy) f (xy)19xQy2f(xy)1-y3f (xy)yy所以Q,這說明曲線積分i x1匹12 -y f (xy)dxry2 f (xy) 1dy在上半平面內與積分路徑 yL無關，只與起止點有關。取 L : y b (x: a c) , L2 : x c (y : b d),則41y2f(xy) 1d y yI 2.i 1y2f (xy)d xL yx 2y f(xy) 1d y y12 ,一1 y f (xy)d xII L2 y12.x 2,12.x 2,l 1yf(xy)dxyf(xy)1d yL -1y f(xy)dxyf(xy)1d yL1 yyL2 yyc12d c 2a-1 bf(bx)dx b-Tyf(cy) 1dya bf(bx)db cf(cy