1、第三章多維隨機變量學(xué)習(xí)的特點回想及要求第三章多維隨機變量學(xué)習(xí)的特點回想及要求 1.概念多，一定要清楚明白，比如：邊緣分布，條件分布，和的分布等。 2.公式多：對應(yīng)于概念都有相應(yīng)的公式，能否真正掌握，比如：邊緣密度公式和和的密度公式的區(qū)別和聯(lián)絡(luò)。 3. 隨機變量獨立是一個重點內(nèi)容。 4.和的分布及最值分布是難點。12 yFxFyxFyfxfyxfpppppppxyfyxfxyFyxFyfxfyxfpppyFxFyxFYXYXjiijjijiijXYYXXYYXYXjiijYX, :,:進一步的符號九大符號二維隨機變量函數(shù)的分布：五個根本公式，隨機變量和的分布函數(shù)公式有3個，其中卷積公式最為重要，

2、最大值最小值分布函數(shù)公式各1個。3本次課的教學(xué)目的、教學(xué)要求 掌握 1數(shù)學(xué)期望的定義 2定理4.1.1 3定理4.1.2 4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 5方差的定義及計算方差常用的公式 重點難點：數(shù)學(xué)期望的定義、方差的定義及計算方差常用的公式。 教學(xué)要求：會運用定義、性質(zhì)及定理4.1.1、定理4.1.2處理有關(guān)問題。4第四章 隨機變量的數(shù)字特征 (1)分布函數(shù)往往都含有某些參數(shù)。參數(shù)一旦被確定，相應(yīng)的分布函數(shù)的詳細(xì)方式也就被確定了，因此這些參數(shù)反映了隨機變量的某些重要特征。 (2)在實踐問題中，還有一些隨機變量，它的分布函數(shù)很難求出，但我們經(jīng)常可以經(jīng)過一定的方法，求出反映它的重要特征的某些數(shù)據(jù)。特別是當(dāng)我

3、們只需求了解所研討的隨機變量一些重要特征而不太關(guān)懷其詳細(xì)的分布特征時，掌握求出這些數(shù)據(jù)的方法就顯得非常重要了。 例如，冰箱的耗電量是其質(zhì)量的一個重要目的。一種品牌的冰箱的平均日耗電量，在一定程度上決議了它的受歡迎程度。 (3)因此，本章將引見“數(shù)學(xué)期望、“方差、“離散系數(shù)等重要數(shù)字特征的概念及其求法。 54.1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 定義定義4.1.1 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的分布律為的分布律為 X x1 x2 xn. pK p1 p2 . Pn. 假設(shè)級數(shù)假設(shè)級數(shù) 絕對收斂，那么稱絕對收斂，那么稱 的值為隨機變量的值為隨機變量 的數(shù)的數(shù)學(xué)期望或均值，記作學(xué)期望或均值，記作 或或 。即

4、。即 kkkpx1kkkpx1X)(XEEXkkkpxXE1)(4.1.1)我們要求上式的值存在，且各項可恣意交換，故要求此級數(shù)絕對收斂。6 隨機變量的數(shù)學(xué)期望分析隨機變量的數(shù)學(xué)期望分析(離散型離散型)設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的分布律為的分布律為Px=xn=pn,n=1,2,.,假設(shè)級數(shù)假設(shè)級數(shù) 絕對收斂絕對收斂,那么稱該級數(shù)為那么稱該級數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望,記為記為nnnpxEX=nnnpx假設(shè)nnnpx,非絕對收斂,即級數(shù)nnnp|x|發(fā)散,那么稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.均值均值例如:X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3那么EX=nnnpx=-10.2+00.

5、1+10.4+20.3=0.8留意留意:數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的平均值數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的平均值,它是一種加權(quán)平均它是一種加權(quán)平均.7例題 例例4.1.1 設(shè)設(shè) X 服從服從0-1分布分布 求：求：X數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 例例4.1.2 設(shè)設(shè) ，求，求 )(X)(XEX, 2 , 1 , 0,!kekkXPkeekeekkk!ekE(X)kkkkkk1110)!1(!的分布律為解解891011121314例例.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4求E(X2+2).(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6

6、/4=13/4解: E(X2+2)=15例題 例例4.1.4 按節(jié)氣出賣的某種節(jié)令商品，每售出一公斤可獲利按節(jié)氣出賣的某種節(jié)令商品，每售出一公斤可獲利a元，元，過了節(jié)氣處置剩余的這種商品，每售出過了節(jié)氣處置剩余的這種商品，每售出1公斤凈虧損公斤凈虧損 b元。設(shè)某元。設(shè)某店在季度內(nèi)這種商品的銷售量店在季度內(nèi)這種商品的銷售量X是一隨機變量，在區(qū)間是一隨機變量，在區(qū)間(t1,t2) 內(nèi)服從均勻分布。問該店應(yīng)進多少貨才干使銷售利潤的數(shù)學(xué)期望內(nèi)服從均勻分布。問該店應(yīng)進多少貨才干使銷售利潤的數(shù)學(xué)期望最大？最大？ 解解 設(shè)設(shè) t (單位單位:公斤公斤)表示進貨數(shù)表示進貨數(shù), ，進貨，進貨t 所獲利潤記為所獲

7、利潤記為 Y ，那么，那么 Y 是隨機變量，是隨機變量， 21ttt21,txtattxtbxtaxY 其它,0,12112txtttxf dxttatdxttbxtaxYEtttt21121211由于 X 的概率密度為16解續(xù) 122121222tttbatatbttba0)(1212ttbtattbadtYdEbabtatt12babtat12令得駐點由此可知，該店應(yīng)進公斤商品才可以使利潤的數(shù)學(xué)期望最大。17例例.某種電子元件運用壽命某種電子元件運用壽命X0 x00 xe10001)x(f1000 x規(guī)定:運用壽命在500小時以下為廢品,產(chǎn)值為0元;在500到1000小時之間為次品,產(chǎn)值為

8、10元;在1000到1500小時之間為二等品,產(chǎn)值為30元;1500小時以上為一等品,產(chǎn)值為40元,求該種產(chǎn)品的平均產(chǎn)值.分析:平均產(chǎn)值即為產(chǎn)值的數(shù)學(xué)期望,所以,先求產(chǎn)值的概率分布.解解:設(shè)設(shè)Y表示產(chǎn)值表示產(chǎn)值,Y取值為取值為0,10,30,40,PY=0= PX500500dx)x(f50001000 xdxe10001=1-e-0.5PY=10 =P500X100010005001000 xdxe10001=e-0.5-e-1類似可得:PY=30=e-1-e-1.5 , PY=40=e-1.5所以,EY=0 (1-e-0.5)+10 (e-0.5-e-1 )+30( e-1-e-1.5 )

9、+40 e-1.5=15.65(元)18例題 例例4.1.5 設(shè)風(fēng)速設(shè)風(fēng)速 X 是一個隨機變量，在是一個隨機變量，在 0,a 上服從均勻分布，上服從均勻分布，而飛機機翼上遭到的壓力而飛機機翼上遭到的壓力 Y 與風(fēng)速的平方成正比。即與風(fēng)速的平方成正比。即 ，求，求 。02kkXY)(YE 其它,00,1axaxf 2022311kadxakxdxxfkxYEa解解 X 的概率密度為的概率密度為19例例 (973) 游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯 于每個整點的第于每個整點的第5分鐘、分鐘、25分鐘和分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游分鐘從底層起行。假設(shè)一游 客在早客在早8 點的第點的第X分鐘到達底層侯機處，且分鐘到達底層侯機處，且 X在在0，60上均勻分上均勻分 布，求該游客等侯時間的數(shù)學(xué)期望。布，求該游客等侯時間的數(shù)學(xué)期望。解:由題意得:X其它060,0 x601)x(f設(shè)Y表示旅客候車時間,那么Y=g(X)=0X5,5X25,25X55,55和 B=Y獨立,且P(AB)=3/4.求常數(shù)； 求E(1/X2).解:(1)由知得:P(A)=P(B), A, B獨立, 所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)