1、遼寧工業大學高數習題課6( ) ( )dyf x g ydx xydxdy )()(xQyxPdxdy 3一階微分方程的特解一階微分方程的特解4一階微分方程的類型一階微分方程的類型（1）可分離變量方程：）可分離變量方程：（2）齊次方程：）齊次方程：（3）一階線性微分方程：）一階線性微分方程：初始條件：初始條件： .00|x xyy 特解：初值問題特解：初值問題 的解。的解。00( , )|xxyf x yyy )1 , 0()()( nyxQyxPdxdynQPxy （4）伯努利方程：）伯努利方程：二、解題方法流程圖二、解題方法流程圖 求一階微分方程通解的關鍵是先判定方程的類型，求一階微分方程

2、通解的關鍵是先判定方程的類型，而判定方程類型的一般方法和思路是：而判定方程類型的一般方法和思路是： （1）先用觀察法判定是否為可分離變量方程，若是分）先用觀察法判定是否為可分離變量方程，若是分離變量，兩邊積分即可得到其通解，否則轉入下一步。離變量，兩邊積分即可得到其通解，否則轉入下一步。（5）全微分方程：）全微分方程： , 滿足滿足0),(),( dyyxQdxyxP00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdyC ( , )()dyyf x ydxx ( )( )dyP x yQ xdx( )( ) (0,1)ndyP x yQ x yndx (齊次方程齊次方程)(一階線性方

3、程一階線性方程)(貝努利方程貝努利方程)若若 , 繼續判別。繼續判別。pQyx （2）判定是否為全微分方程。若）判定是否為全微分方程。若 , 則為全微分則為全微分方程，其通解為：方程，其通解為：xQyp （3）解出）解出 的解析式：判別是否為下面類型的方程：的解析式：判別是否為下面類型的方程：dydx 對于這些類型的方程，它們各自都有固定的解法。如對于這些類型的方程，它們各自都有固定的解法。如果所給的方程按上述思路不能轉化為已知類型的方程，這果所給的方程按上述思路不能轉化為已知類型的方程，這時常用的方法和技巧如下：時常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式；熟悉常用的微分公式；B.選取適

4、當的變量代換，轉化成上述可解類型的方程；選取適當的變量代換，轉化成上述可解類型的方程； 一階微分方程的解題方法流程圖如下。一階微分方程的解題方法流程圖如下。 C變換自變量和因變量（即有時把變換自變量和因變量（即有時把 看成自變量，而看成自變量，而 考慮考慮 的方程類型）。的方程類型）。ydxdy求求 通解通解0 QdyPdxPQyx 一階線性方程一階線性方程)()(xQyxPdxdy通解為通解為PdxPdxyeQedxC 貝努利方程貝努利方程( )( )ndyP x yQ x ydx其它一般其它一般方程方程令令nyz1一階線性方程一階線性方程變量代換變量代換 齊次方程齊次方程()dyydxx令

5、令yuxuudxdux)(可分離變量可分離變量全微分全微分方程方程可分離變可分離變量方程量方程在在G內取內取 ),(00yx通解通解Cyxu),(dxxfdyyg)()(dxxfdyyg)()(隱式通解隱式通解CxFyG)()(00( , )(,)( , )x yx yu x yPdx Qdy (1) ( )(1) ( )dzn P x zn Q xdx 可分離變量可分離變量YesYesNo()d y=fx , yd x解出解出No解題方法流程圖解題方法流程圖21dydxyx 2lnln(1)lnyxxC 三、典型例題三、典型例題解：分離變量為解：分離變量為 積分得積分得 分析：用觀察法，可見

6、它是可分離變量方程。分析：用觀察法，可見它是可分離變量方程。【例【例1】 求解微分方程求解微分方程 。210ydxxdy 因此，所求通解為因此，所求通解為 . 21Cyxx cos1coscoscosyyyxydyxxxyydxxxx1cosseccosduuuuxuudxu 分析：將方程變形，得分析：將方程變形，得此方程為齊次方程，所以按框圖中的方法求解。此方程為齊次方程，所以按框圖中的方法求解。【例【例2】求微分方程】求微分方程 的通解。的通解。(cos)cos0yyxydxxdyxx 解：令解：令 ,于是于是 ,上式可化為上式可化為yux , dyduyuxuxdxdx cosdxudu

7、x sinlnlnuxC sin uxeC sinyxxCe 分離變量分離變量積分得積分得所以所以 故原方程的通解為故原方程的通解為 即即 , 為可分離變量的方程為可分離變量的方程secduxudx 分析：此題為一階線性微分方程，所以按框圖中的方法求解。分析：此題為一階線性微分方程，所以按框圖中的方法求解。【例【例3】求微分方程】求微分方程 的特解。的特解。sin,dyyxdxxx |1xy 0dyydxxCyx 22( )( )( )sinxu xu xu xxxxx 解法解法1：對應齊次方程為：對應齊次方程為分離變量解得分離變量解得 代入原方程得代入原方程得由常數變易法，令由常數變易法，令

8、 ，則，則( )u xyx 2( )( )dyxu xu xdxx ( )cosu xxC cos xCyx 解得解得所以原方程通解為所以原方程通解為1( cos1)yxx 特解為特解為將將 代入得代入得1C |1xy 11sindxdxxxxyeedxCx 1( cos1)yxx 特解為特解為將將 代入得代入得1C |1xy lnlnsinxxxeedxCx 解法解法2：因為：因為 ， ，利用求解公式得，利用求解公式得sin( )xq xx 1( )p xx 1cos sinxCxdxCxx 23211dxxyyxydyyy 【例【例4】求微分方程】求微分方程 的通解的通解.23(1)()0

9、y dxxyydy 分析：按框圖所敘述的方法和思路，由于所給方程不是常分析：按框圖所敘述的方法和思路，由于所給方程不是常見的已知類型的方程，即按通常的想法見的已知類型的方程，即按通常的想法將將 當作自變當作自變量，則方程為非線性方程量，則方程為非線性方程 。231dyydxxyy x但若將但若將 當作因變量，即將方程改寫為當作因變量，即將方程改寫為 y此時方程變為一階線性微分方程，所以按框圖中的方法求解。此時方程變為一階線性微分方程，所以按框圖中的方法求解。231dyydxxyy 11211dydyyyxey edyC 21(1)1yy dyCy 解：因為解：因為 由公式得原方程的通解為由公式

10、得原方程的通解為所以所以 為一階線性微分方程為一階線性微分方程211dxxydyy 341()134yyCy 22, , 41, 1dPdQPxyyQxxydydx 分析：分析： 首先可以看出，它不是可分離變量方程；又首先可以看出，它不是可分離變量方程；又故按框圖中的方法求解。故按框圖中的方法求解。【例【例5】求解微分方程】求解微分方程 。2(2)0 xdyxyy dx 顯然顯然 ，它也不是全微分方程。于是繼續判別，它也不是全微分方程。于是繼續判別，PQyx 解出解出 ，得，得 。這是貝努利方程，。這是貝努利方程， ?dydx 212dyyydxx 12dzzdxx 11 2dxdxxxzee

11、dxC 2xyxC 為一階線性方程。為一階線性方程。由公式得由公式得所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為解：令解：令 , 代入方程可化為代入方程可化為12,zyzyy 21 2xCxdxCxx 分析：可將方程變形為分析：可將方程變形為 ，此方程為齊次方程；，此方程為齊次方程；2yyyxx 所以按框圖中的方法分別求解。所以按框圖中的方法分別求解。也可將方程變形為也可將方程變形為 ，此方程又為貝努利方程，此方程又為貝努利方程，2211yyyxx 令令 ，代入原方程得，代入原方程得dxxuudu122 xyu 22Cxyxy 解得解得 ，即，即 22Cxuu 解法解法1：將原方程整理成：將原方程

12、整理成 ,即標準的齊次方程，即標準的齊次方程，2()yyyxx 【例【例6】求方程】求方程 滿足滿足 的特解。的特解。1)1( y22yxydxdyx yxx 122代入代入 有有 ，原方程特解是，原方程特解是1 C1)1( yCxxz 21Cxxy 211數的一階線性方程，解之得數的一階線性方程，解之得即即解法解法2：整理原方程得：整理原方程得 ，為貝努利方程。為貝努利方程。2211yxyxy 令令 代入原方程得代入原方程得 ，是以，是以 為未知為未知yz1 211xzxz zyxx 122代入代入 有有 ，原方程特解是，原方程特解是1 C1)1( y故此方程為全微分方程，用框圖中的方法求解

13、。故此方程為全微分方程，用框圖中的方法求解。【例【例7 7】求微分方程】求微分方程 的通解。的通解。()0yyxedyedxdy分析：原方程可化為分析：原方程可化為 ，這里，這里(1)0yyxedyedx, 1, yyPeQxe yPQeyx 由于由于解：因為解：因為 ，故此方程為全微分方程。，故此方程為全微分方程。 yPQeyx 取取 ，則，則00(,)(0, 0)xy ( , )(0,0)( , )()(1)x yyyu x yedxxedy 00()(01)xyyyyedxedyxey 所以原方程的通解為所以原方程的通解為 。yyxeC 分析：此題首先可以分離變量，是可分離變量的方程；分

14、析：此題首先可以分離變量，是可分離變量的方程；【例【例8 8】求方程】求方程 的通解。的通解。0) 1() 1(22 dyxydxyx1122 xxdxyydy2211ydyxdxyx Cyx )1)(1(22兩邊積分兩邊積分得通解得通解解法解法1：原方程可分離變量，即：原方程可分離變量，即因為因為 ，所以又是全微分方程；還可通過，所以又是全微分方程；還可通過 直接湊微分的方法求解。直接湊微分的方法求解。2PQxyyx 200( , )(1)xyu x yxdxy xdy Cxyx )1(2121222解法解法2：由：由 知原方程是全微分方程，知原方程是全微分方程，xyxQyP2 取取 ，則，

15、則00(,)(0, 0)xy 22211(1)22xyx 則原方程的通解為則原方程的通解為 0)1ln()1ln(2122 xdydCyx )1)(1(22最后得通解為最后得通解為然后直接湊微分得然后直接湊微分得解法解法3： 將原方程整理成將原方程整理成 的形式，的形式，01122 xxdxyydy4 dxdudxdy44 yxu，用框圖中的最后一種方法求解。，用框圖中的最后一種方法求解。分析：此方程為一階微分方程，依次判別這個方程不是分析：此方程為一階微分方程，依次判別這個方程不是可分離變量的、齊次的、一階線性的、伯努利的和全微可分離變量的、齊次的、一階線性的、伯努利的和全微分方程，只能能用

16、變量代換，將其化為已知類型。根據分方程，只能能用變量代換，將其化為已知類型。根據【例【例9】求】求 的通解。的通解。2)44( yxy題目的特點，右側函數為題目的特點，右側函數為 的函數，所以令的函數，所以令44 yx解：令解：令 ，則，則44,44uxyyux 代入原方程中，得代入原方程中，得 ，42 udxdu為可分離變量得方程。為可分離變量得方程。dxudu 42分離變量得分離變量得11arctan22uxC 1144arctan22xyxC2tan(2)44yxCx積分得積分得即即將將 代回，得通解代回，得通解 44 yxu(lnln )xdyydxyxy dx 分析：原方程為非標準型

17、方程，把它可化為分析：原方程為非標準型方程，把它可化為【例【例1010】求微分方程】求微分方程 的通解。的通解。(lnln )xyyyxy 用湊微分法，可變形為用湊微分法，可變形為 ，則可采用，則可采用框圖中的方法，進行變量代換框圖中的方法，進行變量代換 。 ()ln()d xyyxy dx xyu 11lndudxuux ln(ln )lnlnuxC 積分得積分得此方程為可分此方程為可分離變量的方程。離變量的方程。分離變量分離變量令令 ，則方程變為，則方程變為 xyulnuduudxx (lnln )xdyydxyxy dx ()ln()d xyyxy dx 解：因為解：因為用湊微分法，可變

18、形為用湊微分法，可變形為 ln uCx 故原方程的通解為故原方程的通解為 。 1Cxyex 分析：此等式中含有積分上限函數，因此想到利用積分上分析：此等式中含有積分上限函數，因此想到利用積分上限函數的性質，求導可建立微分方程，從而求解。限函數的性質，求導可建立微分方程，從而求解。即即20( )( )xxf xtf t dt ( )f x求求 【例【例1111】設】設 可導，且滿足方程可導，且滿足方程 ( )f x2( )( )xfxxf x 解：等式兩邊對解：等式兩邊對 求導得求導得x( )( )2fxxf xx 為一階線性非齊次微分方程為一階線性非齊次微分方程,且且 ，解得，解得(0)0f ()()( )(2)x dxx dxf xexedxC 2222(2)xxexedxC 222222(2)2xxxeeCCe 22( )2(1)xf