1、高等數(shù)學(xué)第九章4/16/20221第四節(jié)第四節(jié) 幾種常見的二次曲面幾種常見的二次曲面一、問題的提出一、問題的提出二、柱面二、柱面四、旋轉(zhuǎn)曲面四、旋轉(zhuǎn)曲面八、一般的二次曲面八、一般的二次曲面九、小結(jié)與思考判斷題九、小結(jié)與思考判斷題三、錐面三、錐面五、橢球面五、橢球面六、雙曲面六、雙曲面七、拋物面七、拋物面高等數(shù)學(xué)第九章4/16/20222一、問題的提出一、問題的提出 (Introduction)三元二次方程表示的曲面，稱為二次曲面。三元二次方程表示的曲面，稱為二次曲面。如球面如球面4)3()2()1(222 zyx1）對稱性：關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)軸）對稱性：關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)軸2）存在范圍）存在范圍3

2、）曲面與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系）曲面與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系 用平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面，由所得用平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面，由所得截痕來勾畫曲面的大體形狀及如下一些特性。截痕來勾畫曲面的大體形狀及如下一些特性。二次曲面的研究方法：二次曲面的研究方法：(不能用描點(diǎn)法，而用截痕法不能用描點(diǎn)法，而用截痕法)高等數(shù)學(xué)第九章4/16/20223二、柱面二、柱面1、柱面的定義：、柱面的定義： 一般地，平行于定直線并沿定曲線一般地，平行于定直線并沿定曲線C移移動的直線動的直線L形成的軌跡叫做柱面。形成的軌跡叫做柱面。 動直線動直線L叫做柱叫做柱面的母線，定曲線面的母線，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線。叫做柱面的準(zhǔn)線

3、。 LC高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202241）一般地，只含）一般地，只含 x, y 而缺而缺 z 的方程的方程 F(x, y)=0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 z 軸的柱軸的柱面，其準(zhǔn)線為面，其準(zhǔn)線為 xoy 面上的曲線面上的曲線 ),(yxF例例1、 表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？ Ryx222)(aayx 也是圓柱面。也是圓柱面。xy 是平面，是平面，xozyxy 解：解：也是柱面。也是柱面。母線平行于母線平行于 z 軸，準(zhǔn)線為軸，準(zhǔn)線為 xoy 面上的面上的曲線（圓）曲線（圓） 的圓柱面。的圓柱面。 Ryx高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202252）一般地

4、，只含）一般地，只含 x, z 而缺而缺 y 的方程的方程 G(x, z)=0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 y 軸的柱軸的柱面，其準(zhǔn)線為面，其準(zhǔn)線為 xoz 面上的曲線面上的曲線 ),(zxG例例2、 表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？zx 母線平行于母線平行于 y 軸，準(zhǔn)線為軸，準(zhǔn)線為 xoz 面上的曲線（拋物線）面上的曲線（拋物線） 的拋物柱面。的拋物柱面。zx xozyzx 解：解：高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202262、練習(xí)題、練習(xí)題: 下列方程在平面、空間直角坐標(biāo)系中各表下列方程在平面、空間直角坐標(biāo)系中各表示什么圖形，并畫出其草圖。示什么圖形，并畫出其

5、草圖。 zxxyx) ) )3）一般地，只含）一般地，只含 y, z 而缺而缺 x 的方程的方程 H(y, z)=0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 x 軸的柱軸的柱面，其準(zhǔn)線為面，其準(zhǔn)線為 yoz 面上的曲線面上的曲線 ),(zyHxozy1 xyxozy2 xxozy422 yx高等數(shù)學(xué)第九章4/16/20227三、錐面三、錐面橢圓錐面：橢圓錐面：0222222 czbyax特殊情形：當(dāng)特殊情形：當(dāng) a = b 時(shí)，此時(shí)為圓錐面。時(shí)，此時(shí)為圓錐面。oxy z 曲面與平面曲面與平面 z = t 相交，得截痕為不同高度、相交，得截痕為不同高度、不同大小的橢圓：不

6、同大小的橢圓：222222ctbyax 高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202281 、定義：以一條平面、定義：以一條平面曲線繞該平面上的一條曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。這條面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。這條直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸。旋轉(zhuǎn)的曲線稱為旋轉(zhuǎn)的曲線稱為母線母線。四、旋轉(zhuǎn)曲面四、旋轉(zhuǎn)曲面高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202292、 旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法 ： 00),(xzyf方方程程為為 把該曲線繞把該曲線繞 z 軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)以轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)以 z 軸軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面。為軸的旋轉(zhuǎn)曲面。坐標(biāo)平面上有一已知曲線坐標(biāo)平面上有一已知

7、曲線C，1）設(shè)在）設(shè)在yoz),( zyM設(shè)設(shè)為曲線為曲線C上的任意一點(diǎn)，則有上的任意一點(diǎn)，則有 ),(zyf高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202210當(dāng)曲線當(dāng)曲線C繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn) M也繞也繞 z 軸轉(zhuǎn)動到軸轉(zhuǎn)動到點(diǎn)點(diǎn)M到到 z 軸的距離軸的距離, yyxd,1zz 將將 yxy ),( zyf代代入入 ),( zyxf得得此即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。此即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。保保持持不不變變，此此時(shí)時(shí)，1zz ),(zyxM另另一一點(diǎn)點(diǎn)xozy0),( zyf), 0 (111zyM dM高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202211注：求旋轉(zhuǎn)曲面的方程的技巧：注：求旋轉(zhuǎn)曲面的方程的技巧：

8、在曲線在曲線C 的方程的方程 的第一個(gè)方程的第一個(gè)方程 00)(xzy,f中，只要將中，只要將 y 改成改成,22yx z 不變，便得曲不變，便得曲 同理，曲線同理，曲線C繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：方程為： ) , (zxyf線線C繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。高等數(shù)學(xué)第九章4/16/2022122）xoy 面上的曲線面上的曲線C ：繞繞 x 軸軸 ) , (zyxf繞繞 y 軸軸 ),(yzxf3）zox 面上的曲線面上的曲線C ：繞繞 x 軸軸 ) , (zyxf繞繞 z 軸軸 ),(zyxf 00)(zyx,f 00

9、)(yzx,f高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202213例例 3 直直線線L繞繞另另一一條條與與L相相交交的的直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周，所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面叫叫圓圓錐錐面面兩兩直直線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)叫叫圓圓錐錐面面的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)，兩兩直直線線的的夾夾角角)( 叫叫圓圓錐錐面面的的半半頂頂角角試試建建立立頂頂點(diǎn)點(diǎn)在在坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為 z軸軸，半半頂頂角角為為 的的圓圓錐錐面面方方程程 )2(0 cot: yzLyoz的方程為的方程為面上的直線面上的直線 cot yxz cot)( yxzxyz0直線直線L解：解：旋轉(zhuǎn)面為旋轉(zhuǎn)面為即即高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202214例例4 xoy

10、面上的橢圓面上的橢圓12222 byax繞繞 x 軸轉(zhuǎn)得曲面：軸轉(zhuǎn)得曲面：122222 bzyax繞繞 y 軸轉(zhuǎn)得曲面：軸轉(zhuǎn)得曲面：122222 byazx zox 面上的雙曲線面上的雙曲線12222 bzax繞繞 z 軸轉(zhuǎn)得曲面軸轉(zhuǎn)得曲面： bzayx繞繞 x 軸轉(zhuǎn)得曲面：軸轉(zhuǎn)得曲面：122222 bzyax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面高等數(shù)學(xué)第九章4/16/2022151494222 zyx例例5軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)成成繞繞 yyxxoy : 軸轉(zhuǎn)成軸轉(zhuǎn)成繞繞 yyzyoz 194 :22 思考：方程思考：方程 表示怎樣的曲面？表示怎

11、樣的曲面？222Ryx 是怎樣形成的？是怎樣形成的？或或 xyz0解：是由解：是由1、怎樣形成？、怎樣形成？2、什么曲面？、什么曲面？z高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202216xy z五、橢球面五、橢球面 1222222 czbyax特殊情形：特殊情形： 當(dāng)當(dāng) a=b=c 時(shí)，此時(shí)為球面時(shí)，此時(shí)為球面 azyx高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202217 當(dāng)當(dāng) a=b 時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面1222222 czayax 當(dāng)當(dāng) a=c 時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面 1222222 azbyax 當(dāng)當(dāng) c=b 時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面1222222 czcyax高等數(shù)學(xué)第九章

12、4/16/2022181、單葉雙曲面、單葉雙曲面1222222 czbyaxoxyz當(dāng)當(dāng) a=b 時(shí)為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。時(shí)為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。六、雙曲面六、雙曲面 高等數(shù)學(xué)第九章4/16/2022190 kkczbyax 2222220 k0 kxozy高等數(shù)學(xué)第九章4/16/2022202、雙葉雙曲面、雙葉雙曲面1222222 czbyax1222222 czbyax或者或者xyz0當(dāng)當(dāng) a=c 時(shí)為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。時(shí)為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。xozy高等數(shù)學(xué)第九章4/16/2022211、 橢圓拋物面橢圓拋物面 2222zbyax xyz(0,0,0)a=b 時(shí)，成為旋轉(zhuǎn)拋物面。時(shí)，成為旋轉(zhuǎn)拋物面。七

13、、拋物面七、拋物面高等數(shù)學(xué)第九章4/16/2022222、 雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面） 2222zbyax xyz 也是雙曲拋物面。也是雙曲拋物面。 xzyo高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202223八、一般的二次曲面八、一般的二次曲面 在研究一般的二次曲面時(shí)，要利用坐標(biāo)變換在研究一般的二次曲面時(shí)，要利用坐標(biāo)變換將其方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程。將其方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程。1、坐標(biāo)系的平移、坐標(biāo)系的平移 坐標(biāo)系的平移只改變原點(diǎn)的位置，不改變坐坐標(biāo)系的平移只改變原點(diǎn)的位置，不改變坐標(biāo)軸的方向和單位長度。標(biāo)軸的方向和單位長度。高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202224xyzo 設(shè)設(shè) 為原始坐標(biāo)系，為原始坐標(biāo)系，

14、是空是空間一點(diǎn)，將原坐標(biāo)系原點(diǎn)間一點(diǎn)，將原坐標(biāo)系原點(diǎn) 平移到平移到 得新坐標(biāo)得新坐標(biāo)系系 。Oxyz),(000zyxO OO XYZO O XYZ0 xxXP 000zzZyyYxxX 000zZzyYyxXx 若點(diǎn)若點(diǎn)P在原坐標(biāo)系在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（下的坐標(biāo)為（x, y, z），），在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（X, Y, Z），則），則或或坐標(biāo)系平移時(shí)坐標(biāo)系平移時(shí)坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式高等數(shù)學(xué)第九章4/16/20222512494222 zxzyx例例6 用坐標(biāo)系的平移化去方程用坐標(biāo)系的平移化去方程的一次項(xiàng)。的一次項(xiàng)。解：將方程變形為：解：將方程變形為：116)4(361

15、6)2(222 zyx 42zZyYxX取平移變換：取平移變換：則方程變?yōu)椋簞t方程變?yōu)椋?163616222 ZYX為旋轉(zhuǎn)橢球面為旋轉(zhuǎn)橢球面高等數(shù)學(xué)第九章4/16/2022262、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)（略）（略）高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202227例例7、指出下列方程所表示的曲面。、指出下列方程所表示的曲面。1)1()1222 zyx194)2222 zyx194)3222 zyx194)4222 zyxxozyxozyxozyxozy(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202228xyx2)522 yxz ) yxz ) yxz )xozyxozyxozyxozy(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)高等數(shù)學(xué)第九章4/16/202229 yxz ) yxz ) yx)2)11xy xozyxozyxozyxozy(9