1、2.2 等差數列等差數列 、 觀察與思考觀察與思考 ：下面的幾個數列：下面的幾個數列： , 105 , 104 , 103 , 102 , 101 , 12- , 9- , 6- , 3- , 0 , 3 10, , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 、問題：、問題： 從第從第2項起它們的后一項與前一項的差有什麼特點？項起它們的后一項與前一項的差有什麼特點？, ,1 ,1 1 , 1 , 1 , 1分析：分析：后一項與前一項的差的后一項與前一項的差的特點是：特點是： 、歸納：這些數列、歸納：這些數列 是常數是常數1是常數是常數-3 是常數是常數 1/10, 3- , 3- , 3-

2、, 3- , 3- , 101 , 101 , 101 , 101 從第從第2項起它們的后一項與前項起它們的后一項與前 一項的差都是同一個常數。一項的差都是同一個常數。這個常數叫等差數列的公差，通常用字母這個常數叫等差數列的公差，通常用字母d表示。表示。等差數列的首項用字母等差數列的首項用字母 a1 表示。表示。 一、等差數列的定義：一、等差數列的定義：例例 1： 觀察下列數列是否是等差數列：觀察下列數列是否是等差數列： , 16 , 11 , 7 , 4 , 2 , 1 :4 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 :3 , 7 , 5 , 3 , 1 , 2- , 3- :2 ,

3、12 , ,10 8 , 6 , 4 , 2 , 1 : 1 一般地，如果一個數列一般地，如果一個數列從第從第2項起項起，每一項與它的前一項的，每一項與它的前一項的差等于差等于同一個常數同一個常數，那麼這個數列就叫做，那麼這個數列就叫做等差數列等差數列。解析：解析：(1)、該數列的第、該數列的第2項與第一項的差是項與第一項的差是1，其余的后一，其余的后一 項與項與 前一項的差都是前一項的差都是2。不符合等差數的定義。不符合等差數的定義 要求從第要求從第2項起項起 后項與前項的差是同一個常數。所以后項與前項的差是同一個常數。所以, 它不是等差數列。它不是等差數列。 （2）、不是。理由同（）、不是

4、。理由同（1） （3）、是。）、是。 它符合等差數列的定義。它符合等差數列的定義。 （4）、不是。因為他從第）、不是。因為他從第2項起后項與前項的差是項起后項與前項的差是 ： 1，2 ， 3 ，4 ，5 ，是常數，但不是同一常數。是常數，但不是同一常數。 所以不是。所以不是。 1、等差數列要求、等差數列要求從第從第2項起，項起，后一項與后一項與 前一項前一項。 不能顛倒。不能顛倒。 2、作差的結果要求是、作差的結果要求是 練習一：判斷下列數列中哪些是等差數列，哪些練習一：判斷下列數列中哪些是等差數列，哪些不是？如果是，寫出首項不是？如果是，寫出首項a a1 1和公差和公差d, d, 如果不是，

5、如果不是，說明理由。說明理由。(1). 1, 1, 1, 1, 1.(2).4,7,10,13,16.(3). 3, 2, 1,1,2,3.(4). 1,2,3,4,5,6.(5).5,9,13,41,.nna1 .5 102).12.3).413 練習二：數列為等差數列，是在括號內填上適當的數.（ ） （）， .（， ，（）（，（），（）， ， .你能求出等差數列（你能求出等差數列（3）的第）的第100項嗎？項嗎？ 二、等差數列的通項公式：二、等差數列的通項公式： , a , , a , a , a , a , an54321等差數列等差數列 an 的首項是的首項是 a1 , 公差是公差是d

6、 ，如：，如： 那麼，則由定義得：那麼，則由定義得： a2-a1=d (1) a3-a2=d (2) a4-a3=d (3) a5-a4=d (4) 、 an-a n-1=d分析：分析：如果把左邊由（如果把左邊由（1）式）式到最后一個式子，共到最后一個式子，共_個式個式子相加，則有：子相加，則有： n-1 等號左邊為：等號左邊為：an-a1 , 等號右邊為：等號右邊為：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即 an=a1+(n-1)d 當當n =1時，上式兩邊都等于時，上式兩邊都等于 a1 。 nN*，公式成立。，公式成立。 等差數列的通項公式是等差數列的通項公式是:an = a1+

7、(n-1)d三、通項公式的應用：三、通項公式的應用： 例例 2：（：（1）、已知等差數列的首項）、已知等差數列的首項 a1是是3，公差，公差 d 是是2，求它，求它 的通項公式。的通項公式。 （2）、求等差數列）、求等差數列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第的第20項。項。 （3）、）、 -401是不是等差數列是不是等差數列 5 ， -9 ，-13 ， 的項的項 ？如果是，是第幾項？如果是，是第幾項？等差數列的通項公式等差數列的通項公式 an = a1+(n-1)d 中中 ，an , a1 , n ，d 這四個變量這四個變量 ， 知道其中三個量就可以求余下的一知道其中三個量就可以求余下的一個個

8、 量量 。 分析：知道分析：知道a1 , d ，求，求an 。代入通項公式。代入通項公式。 a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1) 2 =2n-1 解：（1）、已知等差數列的首項）、已知等差數列的首項 a1是是3，公差，公差 d 是是2， 求它求它 的通項公式。的通項公式。（2）、求等差數列）、求等差數列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第的第20項。項。分析：分析： 根據根據a1=10，d= -2，先求出通項公式，先求出通項公式an ，再求出，再求出a20解：解： a1=10, d=8-10= -2 ， n=20 由由an=a1+(n-1)d 得得 a20 =a1+(

9、n-1)d =10+(20-1)(-2) = -28解：解： a1= -5, d= -9-(-5)= -4 an= -5+(n-1) (-4) = -4n-1 -401= -4n-1 n=100 -401是該數列的第是該數列的第100項。項。 分析：根據分析：根據a1= -5，d= -4，先求出通項公式，先求出通項公式an ，再把再把 401代入，然后看是否存在正整數代入，然后看是否存在正整數n 。 （3）、）、 -401是不是等差數列是不是等差數列 5 ， -9 ，-13 ， 的項的項 ？如果是，是第幾項？如果是，是第幾項？練 習 二 （1 1）求等差數列）求等差數列3,7,113,7,11

10、的第的第4 4項與第項與第1010項；項； （2 2）判斷）判斷100100是不是等差數列是不是等差數列22，9 9，1616，的項？的項？如果是，是第幾項，如果不是，說明理由。如果是，是第幾項，如果不是，說明理由。解：（解：（1 1）根據題意得：）根據題意得： a a1 1=3,d=7-3=11-7=4, =3,d=7-3=11-7=4, （2） 解：解： 由題意可得由題意可得 a1+5d=12 (1) a1+17d=36 (2) d = 2 a1 =2 an = 2+(n-1) 2 = 2n 此題解法是利用數學的函數與方程思想，函數此題解法是利用數學的函數與方程思想，函數與方程思想是數學幾

11、個重要思想方法之一，也是高與方程思想是數學幾個重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，應熟悉并掌握。考必考的思想方法，應熟悉并掌握。 例例3： 在等差數列在等差數列an中中 ， 已知已知a6=12 ，a18=36 ,求首項求首項a1 ，公差公差 d 及通項及通項an 。 分析：分析： 此題已知此題已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分別代入通項，分別代入通項， 公式公式an = a1+(n-1)d 中中 ，可得兩個方程，都含，可得兩個方程，都含a1與與d兩個未知兩個未知 數組成方程組，可解出數組成方程組，可解出a1與與d 。* 1、 等差數列的概念等差數列的概念。必須從第必

12、須從第2項起后項減去前項起后項減去前項，并且差是項，并且差是 同同 一常數。一常數。 像例像例1中（中（1）、（）、（2）小）小題只能說它們從第題只能說它們從第2項起、項起、 從第從第3項起是等差數列，而它們本項起是等差數列，而它們本身不是。身不是。 2、等差數列的通項公式、等差數列的通項公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三知道其中三 個（或兩個）字母變量，可用列方程（或方程組）的方法，求個（或兩個）字母變量，可用列方程（或方程組）的方法，求余下的一個（或兩個）變量。余下的一個（或兩個）變量。四、小結：四、小結：這節課主要講了以下兩個問題：這節課主要講了以下兩個問題：1、（、（1）、

13、求等差數列）、求等差數列 3 ，7 ， 11 ，的第的第4項和第項和第10項。項。 （2）、）、100是不是等差數列是不是等差數列 2 ，9 ，16 ，的項？的項？ 如果是，如果是， 是第幾項？如果不是，說明理由。是第幾項？如果不是，說明理由。 （3）、）、 -20是不是等差數列是不是等差數列 0 ，-3.5 ，-7 ，的項？的項？ 如果是，如果是， 是第幾項？如果不是，說明理由。是第幾項？如果不是，說明理由。2、在等差數列、在等差數列an中，中， （1）已知）已知 a4=10 , a7=19 ，求，求 a1與與 d 。 （2）、已知）、已知 a3=9 , a9=3 ，求，求 a12 。解：

14、（1）、 a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1 a4=44-1=15 ， a10=410 1=39 （2）、 a1=2 ， d=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是該數列的第15項。 （3）、 a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5無正整數解 -20不是該數列的項。解： （1）由題意得 a1+3d= 10 a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 。 （2）由題意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 解得： d= -1 , a1=11 。 an=11-1（n-1）=12-n a12= 12-12 =0 1、已知等差數列第、已知等差數列第m項是項是am ，公差是，公差是 d ，求，求an 。 2、已知等差數列、已知等差數列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5 , d是公差是公差 那麼那麼 (1)、 a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，是什麼數列？是什麼數列？ (2)、 a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，是什麼數列？是什麼數列？(1)、練習：P117 1 、2(2)、作業：P118