1、南京航空航天大學 理學院數學系12010年8月1.唯一性唯一性2.有界性有界性3.保號性保號性4.保不等式性保不等式性5.迫斂性（夾逼性）迫斂性（夾逼性）6.四則運算法則四則運算法則7.子數列的收斂性子數列的收斂性收斂數列的性質收斂數列的性質南京航空航天大學 理學院數學系22010年8月1、唯一性、唯一性定理定理 每個收斂的數列只有一個極限每個收斂的數列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時恒有時恒有當當 ,max21NNN 取取時有時有則當則當Nn )()(axbxbann a

2、xbxnn .2 .時才能成立時才能成立上式僅當上式僅當ba 故收斂數列極限唯一故收斂數列極限唯一.南京航空航天大學 理學院數學系32010年8月2、有界性有界性例如例如,;1 nnxn數列數列.2nnx 數列數列數軸上對應于有界數列的點數軸上對應于有界數列的點nx都落在閉區間都落在閉區間,MM 上上.有界有界無界無界南京航空航天大學 理學院數學系42010年8月定理定理 收斂的數列必定有界收斂的數列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當使得當則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有

3、則對一切自然數則對一切自然數 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數列收斂的必要條件有界性是數列收斂的必要條件.推論推論 無界數列必定發散無界數列必定發散. .南京航空航天大學 理學院數學系52010年8月若 ，則對任何 ,存在數N，使得當nN時，有 lim0nnaa 3、保號性保號性(0,)aa naa 意義：收斂數列極限的符號決定了該數意義：收斂數列極限的符號決定了該數列中絕大部分項的符號列中絕大部分項的符號南京航空航天大學 理學院數學系62010年8月4.保不等式性保不等式性定理定理 設,nnyx皆收斂，若,limlimnnnnyx則，。nnyxN時，當nN,南京航空航天大學 理學院數

4、學系72010年8月推論推論 , 0limbynn若則，N時，當nN,. 02|byn推論推論若使N,nnxy則N成立，對n .limlimnnnnyx南京航空航天大學 理學院數學系82010年8月5.極限的夾逼性極限的夾逼性本性質既給出了判別數列收斂的方法；又提本性質既給出了判別數列收斂的方法；又提供了一個計算數列極限的方法。供了一個計算數列極限的方法。南京航空航天大學 理學院數學系92010年8月解：解： 記記 ， 這里這里 ，注意注意: :,.利利用用夾夾逼逼準準則則求求極極限限關關鍵鍵是是構構造造出出與與并并且且與與 的的極極限限是是容容易易求求的的nnnnyzyz例例1 求數列求數列

5、 的極限。的極限。nnnnnhna 1)1(0 nhn12111 nhann則有：則有：左右兩邊的極限均為左右兩邊的極限均為1， 故由夾逼性本例得證故由夾逼性本例得證。南京航空航天大學 理學院數學系102010年8月例例2 2 ).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼性得由夾逼性得. 1)12111(lim222 nnnnn南京航空航天大學 理學院數學系112010年8月6.極限的四則運算極限的四則運算定理定理 設設,lim,limbyaxnnnn則則,l

6、imlim)(limbayxyxnnnnnnn。)0(limlimlimbbayxyxnnnnnnn（1）（這里（這里,為常數）。為常數）。（2）。abyxyxnnnnnnnlimlim)(lim（3）南京航空航天大學 理學院數學系122010年8月 000,0, 和和 為為非非負負整整數數abmk 00101101, ,lim0, , ,mmmkknkakmba na nakmb nbnbkm例例3 求求101101limmmmkknka na nab nb nb 南京航空航天大學 理學院數學系132010年8月練習練習n1 求求 ，其中，其中 。n2 求求 。lim1nnnaa 1 a)1

7、(limnnnn 南京航空航天大學 理學院數學系142010年8月7、子數列的收斂性、子數列的收斂性 定定義義：在在數數列列中中任任意意抽抽取取無無限限多多項項并并保保持持這這些些項項在在原原數數列列中中的的先先后后次次序序，這這樣樣得得到到的的一一個個數數列列稱稱為為原原數數列列的的子子數數列列（或或子子列列）nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .在在子子數數列列中中，一一般般項項是是第第項項，而而在在原原數數列列中中卻卻是是第第項項，顯顯然然，kkknnnnkkxxkxxnnk 注意：注意：例如，例如，南京航空航天大學 理學院數學系152010年8月定理定理 收斂數列的任一

8、子數列也收斂且極限相同收斂數列的任一子數列也收斂且極限相同證證 的任一子數列的任一子數列是數列是數列設數列設數列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有時時使使,NK 取取,時時則當則當Kk .NnnnKkk . axkn.limaxknk 證畢證畢南京航空航天大學 理學院數學系162010年8月推論推論 若數列存在兩個子數列分別收斂于不若數列存在兩個子數列分別收斂于不同的極限，則這個數列必發散。同的極限，則這個數列必發散。注注 該推論是證明數列必發散的很好的工具。該推論是證明數列必發散的很好的工具。南京航空航天大學 理學院數學系172010年8月例例41( 1).證證

9、明明數數列列 是是發發散散的的nnx 證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即當即當區間長度為區間長度為1.,1, 1兩個數兩個數無休止地反復取無休止地反復取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的的區間內區間內., ,但卻發散但卻發散是有界的是有界的事實上事實上nx南京航空航天大學 理學院數學系182010年8月用子數列刻畫數列不收斂于用子數列刻畫數列不收斂于a 數數列列不不收收斂斂于于naa 000 存存在在的的子子列列以以及及，滿滿足足kknnnaaaa 南京航空航天大

10、學 理學院數學系192010年8月數列極限的兩大問題數列極限的兩大問題n數列極限的存在性；數列極限的存在性； （此問題為最關鍵的問題）（此問題為最關鍵的問題）n數列極限值的大小；數列極限值的大小； （存在性成立后，（存在性成立后， 才想辦法計算極限）才想辦法計算極限）南京航空航天大學 理學院數學系202010年8月幾種證明極限存在的方法：幾種證明極限存在的方法：n按照數列極限的定義證明。按照數列極限的定義證明。n按照奇、偶子列的收斂性證明。按照奇、偶子列的收斂性證明。n利用夾逼準則證明。利用夾逼準則證明。最簡單的思想是利用數列本身的性質最簡單的思想是利用數列本身的性質證明數列極限的存在性證明數

11、列極限的存在性南京航空航天大學 理學院數學系212010年8月數列極限存在的判別準則數列極限存在的判別準則n1. 單調有界準則單調有界準則n2. 數列極限的歸并原理數列極限的歸并原理n3. Weierstrass定理定理n4. 柯西柯西(Cauchy)收斂原理收斂原理南京航空航天大學 理學院數學系222010年8月x1x2x3x1 nxnx滿足條件滿足條件如果數列如果數列nx,121 nnxxxx單調增加單調增加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數列單調數列幾何解釋幾何解釋:AM一、單調有界準則一、單調有界準則定理定理 1 單調有界數列必收斂。單調有界數列必收斂。南京航空航天大學 理學

12、院數學系232010年8月幾點說明：幾點說明： 通常該準則變通為：通常該準則變通為： 1） 單調遞增有上界的數列存在極限。單調遞增有上界的數列存在極限。 2） 單調遞減有下界的數列存在極限。單調遞減有下界的數列存在極限。 本定理只是證明了存在性本定理只是證明了存在性。 本定理只對一類特殊的數列可以判別存在性。本定理只對一類特殊的數列可以判別存在性。 此定理的條件為充分非必要條件。此定理的條件為充分非必要條件。 ,.2 , 1,1)1( nnann南京航空航天大學 理學院數學系242010年8月證明：證明： 遞增顯然，下面證明有上界，事實上遞增顯然，下面證明有上界，事實上： 例例1 設設其中其中

13、 ，證明，證明 收斂。收斂。,.2 , 1,1.31211 nnan 2 nana2221.31211nan ,.2 , 1,12 nnnn )1(1.3212111 南京航空航天大學 理學院數學系252010年8月例例2 證明證明 存在存在。nnn)11(lim 證明：證明：111111.11.11)1(1111 nkknnnnnCnnnankknnnnnCnnna 1.1.1111 nknnknkknnnnCkkkn11.2111!1 1!)1).(1(1南京航空航天大學 理學院數學系262010年8月 nnnnnnknnknan11.2111!1 11.2111!1 .11! 2111

14、的展開式中共有的展開式中共有 項，每一項為正數項，每一項為正數。na1 n南京航空航天大學 理學院數學系272010年8月 11.121111)!1(1 111.121111!1 111.121111!1 .111! 21111nnnnnnnnnnnknnknan 的展開式中共有的展開式中共有 項，每一項為正數項，每一項為正數。1 na2 n南京航空航天大學 理學院數學系282010年8月不難發現有不難發現有： 111.121111!111.2111!1nknnknknnk即即 的第的第 項小于項小于 的第的第 項，項，此外此外 比比 還多了一個正數項，故還多了一個正數項，故nana1 na1

15、 nakk,.2 , 1,1 naann嚴格增加嚴格增加南京航空航天大學 理學院數學系292010年8月!1.! 31! 212nan nn )1(1.32121231-3 n下面證明有上界下面證明有上界：南京航空航天大學 理學院數學系302010年8月二、數列極限的歸并原理二、數列極限的歸并原理數列收斂與其子數列收斂的密切聯系：數列收斂與其子數列收斂的密切聯系：n1 若數列收斂，則其任意子數列也收斂（并且收斂到同一極限）n2 若數列的奇數列和偶數列都收斂到同一極限，則原數列也收斂到該極限南京航空航天大學 理學院數學系312010年8月歸并原理歸并原理limnnaa 數列收斂數列收斂 A. l

16、im的的每每個個子子列列都都有有 kknnnkaaaa B. 的的每每個個子子列列都都收收斂斂， 并并且且至至少少一一個個極極限限為為knnaaa任意子數列收斂任意子數列收斂南京航空航天大學 理學院數學系322010年8月三、三、Weierstrass 定理定理考慮有界數列和收斂數列之間的關系考慮有界數列和收斂數列之間的關系收斂數列一定有界收斂數列一定有界有界數列未必收斂有界數列未必收斂WeierstrassWeierstrass定理定理 有界數列必有收斂子數列有界數列必有收斂子數列南京航空航天大學 理學院數學系332010年8月四、四、柯西柯西收斂原理收斂原理（一）（一）Cauchy數列（基

17、本數列）數列（基本數列）:nx Cauchynx則則稱稱是是數數列列（基基本本數數列列）定義定義 如果對如果對|,nmxx ,Nn mN，當當時時南京航空航天大學 理學院數學系342010年8月（二）柯西收斂原理（二）柯西收斂原理定理定理 7 7 ( (柯西收斂原理柯西收斂原理) )nx收斂收斂nx為基本數列。為基本數列。南京航空航天大學 理學院數學系352010年8月柯西柯西(Cauchy)收斂準則收斂準則 na數數列列收收斂斂0,mnNm nN aa使使得得0,N ,npnNnNpaa 使使得得及及南京航空航天大學 理學院數學系362010年8月柯西柯西(Cauchy)收斂準則收斂準則 n

18、a數數列列不不收收斂斂000,mnNm nNaa使使得得000,N ,npnnpaa 使使得得南京航空航天大學 理學院數學系372010年8月柯西柯西(Cauchy)收斂準則的意義收斂準則的意義n收斂數列的各項越到后面，項之間幾乎收斂數列的各項越到后面，項之間幾乎“擠擠”在了一起。在了一起。n判別判別 的收斂性只要根據本身滿足的特的收斂性只要根據本身滿足的特性就可以判別，不需要引入別的數列作參性就可以判別，不需要引入別的數列作參照。照。n把數列項與其極限的關系變換為數列各個把數列項與其極限的關系變換為數列各個項之間的關系。項之間的關系。 na南京航空航天大學 理學院數學系382010年8月例例

19、3 1111,.23nnaan設設證證明明發發散散 na數數列列發發散散000,N ,npnnpaa 使使得得利用：利用：可以取：可以取：012pn ，南京航空航天大學 理學院數學系392010年8月柯 西 柯西（柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），十九世紀前半世紀的法國數學），十九世紀前半世紀的法國數學家。家。 他的特長是在分析學方面，他對微積分給出了嚴密的基礎。他還證明了復變函數他的特長是在分析學方面，他對微積分給出了嚴密的基礎。他還證明了復變函數論的主要定理以及在實變數和復變數的情況下微分方程解的存在定理，這些都是很重論的主要定理以及在實變數和復變數的情況下微分方程解的存在定理，這些都是很重要的。他的全集卷，僅次于歐拉，居第二位。要的。他的全集卷，僅次于歐拉，居第二位。柯西是歷史上有數的大分析學家之一。幼年時在父親的教導下學習數學。拉格朗柯西是歷史上有數的大分析學家之一。幼年時在父親的教導下學習數學