1、函數的奇偶性與周期性專題練習、選擇題1 .(2019 肇慶三模)在函數 y= xcos x, y=ex + x2, y= lgx2-2, y= xsin x 中，偶函數的個數是()A.3B.2C.1D.0解析 y=xcos x為奇函數，y=ex+x2為非奇非偶函數，y= lgx2-2與y=xsin x為偶函數.答案 B2 .(2019 湖南卷)設函數 f(x)=ln(1+x) ln(1x),則 以)是()A.奇函數，且在(0, 1)內是增函數B.奇函數，且在(0, 1)內是減函數C.偶函數，且在(0, 1)內是增函數D.偶函數，且在(0, 1)內是減函數解析 易知 f(x)的定義域為(1, 1

2、),且 f(x)=ln(1x) ln(1+x) = f(x),則y=f(x)為奇函數，又 y=ln(1 +x)與 y= ln(1 x)在(0, 1)上是增函數，所以 f(x)=ln(1+x) ln(1x)在(0, 1)上是增函數.答案 A3.已知函數 f(x) = x ex,若 f(x1)<f(x2),則()eA.x1 >x2B.x1 + x2=022C.x1<x2D.x1<x2解析 . f(x) = 一x一ex =f(x). ef(x)在R上為偶函數，一,.、x 1 x 1f (x) = e e*+ x e + e(，.x>0 時，f'(x)>0,

3、.f(x)在0, +oo)上為增函數,由 f(x1)<f(x2),得 f(|x1|)<f(|x2|),.Xl|<|X2|,X2<X2.答案 D4.已知 f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且 f(1) + g(1)=2, f(1)+g(1) = 4,則 g(1)等于()A.4B.3C.2D.1-f (1) +g (D =2,解析 由已知得f(1)= f(1), g(1) = g(1),則有f (1) +g (1) =4,解得 g(1) = 3.答案 B5.(2019西安一模)奇函數f(x)的定義域為R,若f(x+1)為偶函數，且f(1) = 2,則f(4) + f(5)

4、的值為()A.2B.1C.-1D.-2解析二僅+1)為偶函數，.f( x+1)=f(x+ 1),則 f(x) = f(x+ 2),又 y=f(x)為奇函數，則 f( x)= f(x) = f(x+ 2),且 f(0) = 0.從而 f(x+4)= f(x+ 2) = f(x), y=f(x)的周期為 4. f(4) + f(5) = f(0) + f(1) = 0 + 2 = 2.答案 A二、填空題6.若")=帖"+1)+2乂是偶函數，則a =.解析由于f( x) = f(x), ln(e-3x+ 1) ax= ln(e3x+ 1)+ ax,化簡得 2ax+ 3x= 0(x

5、CR),貝ij 2a+3 = 0,3答案-27.(2020合肥質檢)若函數f(x)(xC R)是周期為4的奇函數，且在0, 2上的解析式為f(x)=x (1 x) , 0<x< 1 ,sin 兀 x, 1<x<2,29則 f29+f41豆=解析由于函數f(x)是周期為4的奇函數,-7-63-4 f-7-6-f 十 3-4-f-7-64X2f 3-44X2f-4116 f 十29.4 f 以 所16+sin 6. 16.18.定義在R上的奇函數y = f(x)在(0, +8)上遞增，且f=0,則潴足f(x)>0 的x的集合為.1解析 由奇函數y = f(x)在(0,

6、 +8)上遞增，且f=0,得函數y= f(x)在(一1 一 一 1.18, 0)上遞增，且 f 2 = 0, 一僅)>0 時，x>2或一2<x<0.-1. 1答案x 2<x<0 或 x>2三、解答題9.設f(x)是定義域為R的周期函數，最小正周期為2,且f(1+x) = f(1 x),當一10x00 時，f(x)= x.(1)判定f(x)的奇偶性;(2)試求出函數f(x)在區間1, 2上的表達式.解 (1) . f(1 + x) = f(1x), .r(一x) = f(2+x).又 f(x+ 2) = f(x), .(x) = f(x).又f(x)的定

7、義域為R,f(x)是偶函數.(2)當 x 0, 1時，一xC1, 0,則 f(x) = f(x) = x;進而當 1WxW 2 時，一1&x 200,f(x) = f(x 2)= (x 2)= x+2.x, xC 1, 0,故 f(x)= x, x (0, 1),-x+2, x 1 , 2.x2+2x, x>0,10.已知函數f(x)= 0, x= 0,是奇函數.x2+mx, x<0(1)求實數m的值；(2)若函數f(x)在區間1, a2上單調遞增，求實數a的取值范圍.解設x<0,則一x>0,所以 f(x) = (x)2+2( x)= x2 2x.又f(x)為奇

8、函數，所以f(x) = f(x).于是 x<0 時，f(x) = x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在1, a- 2上單調遞增，一人，一人， a 2>1,結合f(x)的圖象知a 2Vl所以1<a03,故實數a的取值范圍是(1, 3.11.(2019石家莊一模)已知f(x)是定義在 R上的以3為周期的偶函數，若2a3f(1)<1, f(5) =17，則實數a的取值范圍為( a十1A.(T, 4)B.(-2, 0)C.(-1, 0)D.(-1, 2)解析 二僅)是定義在R上的周期為3的偶函數， .f(5) = f(5 6)=f(1) = f(1),a 4

9、即<0,a+ 12a- 32a 3. w f(5)=二7-二1 <1，解得一1<a<4.答案 A12.對任意的實數x都有f(x+2) f(x) = 2f(1),若y=f(x 1)的圖象關于x= 1對 稱，且 f(0)=2,則 f(2 015)+f(2 016)=()A.0B.2C.3D.4解析 y=f(x1)的圖象關于x= 1對稱，則函數y= f(x)的圖象關于x=0對稱，即函數f(x)是偶函數，令 x= 1,則 f(1 + 2) f(1) = 2f(1), .f(1) f(1)=2f(1)=0,即 f(1) = 0,則 f(x+ 2) f(x) = 2f(1) = 0

10、,即 f(x+ 2) = f(x),則函數的周期是2,又f(0)=2,則 f(2 015)+ f(2 016) = f(1) + f(0) = 0 + 2 = 2.答案 B13 .(2019東北四市聯考)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且當00x<2時，f(x) = x3x,則函數y= f(x)的圖象在區間0, 6上與x軸的交點個 數為 .解析 因為當0&x<2時，f(x) = x3 x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且 f(0)=0,則 f(6) = f(4) = f(2) = f(0) = 0.又 f(1) = 0, . *3) = *5) =

11、*1)=0,故函數y=f(x)的圖象在區間0, 6上與x軸的交點有7個.答案 714 .設 f(x)是(一oo, +oo )上的奇函數，f(x+ 2)= f(x),當 00x01 時，f(x) = x. 求f(冗)的值；(2)當一4&x<4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.解(1)由 f(x+2)= f(x)得，f(x+ 4) = f(x+ 2) + 2 = - f(x+ 2) = f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數，所以 f(九)= f(1X4+ 兀)=f(九一4)= f(4一 九)=一 (4兀)=九 一 4.(2)由 f(x)是奇函數且 f(x+ 2) = f(x),得 f(x-1)+2 =