1、第2章 線性系統的數學模型 第第2 2章章 線性系統的數學模型線性系統的數學模型內 容 提 要 實際存在的自動控制系統可以是電氣的、機械的、熱力的、化工的，甚至是生物學的、經濟學的等等，然而描述這些系統的數學模型卻可以是相同。本章介紹了系統的各類數學模型如微分方程，傳遞函數，方框圖，信號流圖的求取以及它們之間的相互關系。最后介紹用MATLAB求取系統的數學模型。 第2章 線性系統的數學模型 知 識 要 點 線性系統的數學模型，拉普拉斯變換，傳遞函數的定義，非線性特性的線性化處理，方框圖的簡化，梅遜公式的含義和應用。 第2章 線性系統的數學模型 描述控制系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的

2、數學表達式，稱為系統的數學模型。常用的數學模型有微分方程、差分方程、傳遞函數、脈沖傳遞函數和狀態空間表達式等。建立合理的數學模型，對于系統的分析研究是至關重要的。系統數學模型的建立，一般采用解析法或實驗法。 第2章 線性系統的數學模型 v2.1 線性系統的微分方程v2.2 微分方程的線性化v2.3 傳遞函數v2.4 方框圖v2.5 信號流圖v2.6 在MATLAB中數學模型的表示 v小 結第2章 線性系統的數學模型 （1）分析系統工作原理，將系統劃分為若干環節，確定系統和環節的輸入、輸出變量，每個環節可考慮列寫一個方程；（2）根據各變量所遵循的基本定律(物理定律、化學定律)或通過實驗等方法得出

3、的基本規律，列寫各環節的原始方程式，并考慮適當簡化和線性化；（3）將各環節方程式聯立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導數的微分方程； （4）將輸出變量及各階導數放在等號左邊，將輸入變量及各階導數放在等號右邊，并按降冪排列，最后將系統歸化為具有一定物理意義的形式，成為標準化微分方程。 第2章 線性系統的數學模型 例例2-1 試列寫圖中所示RC無源網絡的微分方程。輸入為ui(t)，輸出為u0(t) 。 解解 根據基爾霍夫定理，可列出以下式子：dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211dttiCtu)(1)(2

4、20第2章 線性系統的數學模型 整理得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 則得 )()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi該網絡的數學模型是一個二階線性常微分方程。 第2章 線性系統的數學模型 例例2-2 圖為一彈簧阻尼系統，當外力F(t)作用于系統時，系統將產生運動。試列寫外力F(t)與位移y(t)之間的微分方程。 第2章 線性系統的數學模型 解解 彈簧和阻尼器有相應的彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根據牛頓第二定律有 ：222

5、1)()()()(dttydmtttFFF)()(1tkytFdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可由彈簧、阻尼器特性寫出 式中 k 彈簧系數 f 阻尼系數第2章 線性系統的數學模型 整理且標準化 )(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令 稱為時間常數； 稱為阻尼比； 稱為放大系數。 kmT/)2/(mkfkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF得第2章 線性系統的數學模型 例例2-3 電樞控制的它激直流電動機如圖所示，電樞輸入電壓u0(t)，電動機輸出轉角為。Ra、La、ia(t)分別為電樞電路的電阻、電感和電流，if為恒定激磁

6、電流，eb為反電勢，f為電動機軸上的粘性摩擦系數，G為電樞質量，D為電樞直徑，ML為負載力矩。 第2章 線性系統的數學模型 解解 電樞回路電壓平衡方程為 baaaaaedttdiLtiRtu)()()(dttdceeb)(ce為電動機的反電勢系數 力矩平衡方程為 LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD式中 為電動機電樞的轉動慣量 gGDJ42為電動機的力矩系數 Mc第2章 線性系統的數學模型 整理得 dtdMLMRucdttdccfRdttdJRfLdttdJLLaLaaMMeaaaa )()()()()(2233dttd)(無量綱放大系數aacRLT MeaMccJRTM

7、eafccfLT eccK1MeafccfRK電機轉速電磁時間常數機電時間常數時間常數電機傳遞系數第2章 線性系統的數學模型 dtdMccLMccRtuKKfdtdTfTMdtdTeTMLMeaLMeaae)( ) 1()(22無量綱放大系數。 MeaMccJRTMeafccfLT eccK1 時間常數電機傳遞系數第2章 線性系統的數學模型 例例2-4 熱水電加熱系統，如圖所示，為減小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電動控溫開關。 第2章 線性系統的數學模型 根據能量守恒定律 liChQQQQQ0其中 Qh 加熱器供給的熱量； QC 貯槽內水吸收的熱量； Q0 熱水流出槽所帶走的熱量

8、: Qi 冷水進入槽帶入的熱量: Ql 隔熱壁逸散的熱量:dtdTCQCVHTQ0iiVHTQ RTTQelC貯槽水的熱容量；V流出槽水的流量；H 水的比熱；R熱阻；Ti進入槽水的溫度；T槽內水的溫度；Te槽周圍空氣溫度。 第2章 線性系統的數學模型 整理得 RTTTTVHdtdTCQeih)( 一般情況下，描述線性定常系統輸入與輸出關系的微分方程為 :)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn或 mjjmjmjniininidttrdbdttcda00)()(返回第2章 線性

9、系統的數學模型 實際的物理系統往往有間隙、死區、飽和等各類非線性現象。嚴格地講，幾乎所有實際物理和化學系統都是非線性的。目前，線性系統的理論已經相當成熟，但非線性系統的理論還遠不完善。因此，在工程允許范圍內，盡量對所研究的系統進行線性化處理，然后用線性理論進行分析不失為一種有效的方法。 第2章 線性系統的數學模型 當非線性因素對系統影響較小時，一般可直接將系統當作線性系統處理。另外，如果系統的變量只發生微小的偏移，則可通過切線法進行線性化，以求得其增量方程式。 第2章 線性系統的數學模型 非線性函數的線性化，是指將非線性函數在工作點附近展開成泰勒級數，忽略掉高階無窮小量及余項，得到近似的線性化

10、方程，來替代原來的非線性函數。 第2章 線性系統的數學模型 假如元件的輸出與輸入之間關系x2=f(x1)的曲線如圖，元件的工作點為(x10，x20)。將非線性函數x2= f(x1)在工作點(x10，x20)附近展開成泰勒級數 )(! 21)()()(2101102121011011012xxdxfdxxdxdfxfxfxxx第2章 線性系統的數學模型 當(x1x10)為微小增量時，可略去二階以上各項，寫成 )()()(10120101101102xxKxxxdxdfxfxx 其中 為工作點(x10，x20)處的斜率，即此時以工作點處的切線代替曲線，得到變量在工作點的增量方程，經上述處理后，輸出

11、與輸入之間就成為線性關系。 101xdxdfK 第2章 線性系統的數學模型 圖2-8為一鐵芯線圈，輸入為ui(t)，輸出為i(t)。線圈的微分方程為 )()(tuRidtdidiidi第2章 線性系統的數學模型 當工作過程中線圈的電壓和電流只在工作點（u0,i0）附近變化時，即有 )()(0tuutuiiiii0 線圈中的磁通 對 也有增量變化，假如在i0附近連續可微，將在i0 附近展開成泰勒級數，即 02021200)()(! 21)(ididididii因是微小增量，將高階無窮小量略去，得近似式 ididi00)(第2章 線性系統的數學模型 )(tuiRdtidLi 這就是鐵芯線圈的增量化

12、方程，為簡便起見，常略去增量符號而寫成 )(tuRidtdiLi返回第2章 線性系統的數學模型 2.2.1 傳遞函數 在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比，定義為線性定常系統的傳遞函數。 即，)()()(sRsCsG第2章 線性系統的數學模型 若已知線性定常系統的微分方程為 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量 。 設c(t)和r(t)及其各階導數初始值均為零，對式(2-47)取拉氏變換，得 )(

13、)()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn第2章 線性系統的數學模型 則系統的傳遞函數為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或寫為 傳遞函數與輸入、輸出之間的關系，可用圖表示。 G(s)R(s)C(s)第2章 線性系統的數學模型 2.2.2 傳遞函數的特點 1.作為一種數學模型，傳遞函數只適用于線性定常系統，這是由于傳遞函數是經拉普拉斯變換導出的，而拉氏變換是一種線性積分運算。 2.傳遞函數是以系統本身的參數描述的線性定常系統輸入量與輸出量的關系式，它表達了系統內在的

14、固有特性，只與系統的結構、參數有關，而與輸入量或輸入函數的形式無關。 第2章 線性系統的數學模型 3.傳遞函數可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統的輸入、輸出量而定，它包含著聯系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統的物理特性和物理結構。許多物理性質不同的系統，有著相同的傳遞函數，正如一些不同的物理現象可以用相同的微分方程描述一樣。 4.傳遞函數只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關系，對多輸入多輸出(MIMO)系統，可用傳遞函數陣表示。 第2章 線性系統的數學模型 5.傳遞函數式(2-49)可表示成 )()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn

15、為分母多項式的根，稱為傳遞函數的極點；z1、z2、 zn為分子多項式的根，稱為傳遞函數的零點； 第2章 線性系統的數學模型 6.傳遞函數分母多項式稱為特征多項式，記為而D(s)=0稱為特征方程。傳遞函數分母多項式的階次總是大于或等于分子多項式的階次，即nm。這是由于實際系統的慣性所造成的。 nnnnasasasasD1110)(第2章 線性系統的數學模型 2.2.3 典型環節的傳遞函數 控制系統由許多元件組合而成，這些元件的物理結構和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結構和物理特點，從傳遞函數的數學模型來看，可以劃分成幾種典型環節，常用的典型環節有比例環節、慣性環節、積分環節、微分環節、振蕩環節

16、、延遲環節等。 第2章 線性系統的數學模型 1. 比例環節 環節輸出量與輸入量成正比，不失真也無時間滯后的環節稱為比例環節，也稱無慣性環節。輸入量與輸出量之間的表達式為c(t)=Kr(t) 比例環節的傳遞函數為 KsRsCsG)()()(式中K為常數，稱為比例環節的放大系數或增益。 第2章 線性系統的數學模型 2. 慣性環節(非周期環節) 慣性環節的動態方程是一個一階微分方程 )()()(tKrtcdttdcT其傳遞函數為 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 慣性環節的時間常數 K 慣性環節的增益或放大系數 第2章 線性系統的數學模型 當輸入為單位階躍函數時，其單位階躍響應為 )1 (1

17、1)()(111TeKsTsKLsCLtc單位階躍響應曲線 第2章 線性系統的數學模型 11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 慣性環節實例很多，如圖所示的R-L網絡，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數式中 RLT RK1第2章 線性系統的數學模型 2. 積分環節 輸出量正比于輸入量的積分的環節稱為積分環節，其動態特性方程 dttrTtcti0)(1)(其傳遞函數 sTsRsCsGi1)()()(式中Ti為積分時間常數。 第2章 線性系統的數學模型 積分環節的單位階躍響應為 tTtCi1)(它隨時間直線增長，當輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環節具有記憶功能

18、，如圖所示。 第2章 線性系統的數學模型 上圖為運算放大器構成的積分環節，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數為 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 第2章 線性系統的數學模型 4. 微分環節 理想微分環節的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動態方程 dttdrTtcd)()(其傳遞函數 sTsRsCsGd)()()(式中Td稱微分時間常數 它的單位階躍響應曲線 )()(tTtcd第2章 線性系統的數學模型 如圖所示，理想微分環節實際上難以實現，因此我們常采用帶有慣性的微分環節，其傳遞函數 1)(sTsKTsGdd其單位階躍響應為 dTKetc1)(第2章 線性

19、系統的數學模型 曲線如下圖所示，實際微分環節的階躍響應是按指數規律下降，若K值很大而Td值很小時，實際微分環節就愈接近于理想微分環節。 第2章 線性系統的數學模型 5. 二階振蕩環節(二階慣性環節) 二階振蕩環節的動態方程為 )()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT其傳遞函數 12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG式中 為無阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比，在后面時域分析中將詳細討論。 Tn1第2章 線性系統的數學模型 圖中所示為RLC網絡，輸入為ui(t)、輸出u0(t)，其動態特性方程 )()()()(00202tutudttduRCdttud

20、LCi其傳遞函數 222022 11)()()(nninssRCsLCstUtUsG式中 LCn1LCR2第2章 線性系統的數學模型 6. 延遲環節(時滯環節) 延遲環節是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時間后才重現輸入信號，其動態方程為 )()(trtc其傳遞函數是一個超越函數 sesRsCsG)()()(式中稱延遲時間 第2章 線性系統的數學模型 需要指出，在實際生產中，有很多場合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過程、管道反應和管道混合過程，多個設備串聯以及測量裝置系統等。遲延過大往往會使控制效果惡化，甚至使系統失去穩定。 返回第2章 線性系統的數學模型 在控制工程中，為了便于對系統進行

21、分析和設計，常將各元件在系統中的功能及各部分之間的聯系用圖形來表示，即方框圖和信號流圖。 第2章 線性系統的數學模型 2.4.1方框圖 方框圖也稱方塊圖或結構圖，具有形象和直觀的特點。系統方框圖是系統中各元件功能和信號流向的圖解，它清楚地表明了系統中各個環節間的相互關系。構成方框圖的基本符號有四種，即信號線、比較點、傳遞環節的方框和引出點。 第2章 線性系統的數學模型 第2章 線性系統的數學模型 2.4.2系統方框圖的構成 對于一個系統在清楚系統工作原理及信號傳遞情況下，可按方框圖的基本連接形式，把各個環節的方框圖，連接成系統方框圖。 例2-5 圖中為一無源RC網絡。選取變量如圖所示，根據電路

22、定律，寫出其微分方程組為 第2章 線性系統的數學模型 dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011第2章 線性系統的數學模型 零初始條件下，對等式兩邊取拉氏變換，得 )(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI第2章 線性系統的數學模型 RC網絡方框圖 各環節方框圖 第2章 線性系統的數學模型 例2-6 圖中為電樞電壓控制的直流他勵電動機,描述其運動方程為 LDaMDeaa

23、aaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(第2章 線性系統的數學模型 零初始條件下，對式中兩邊取拉氏變換 )()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME第2章 線性系統的數學模型 將同一變量的信號線連接起來，將輸入Ua(s)放在左端，輸出(s)放在圖形右端，得系統方框圖如圖所示。 第2章 線性系統的數學模型 2.4.3環節間的連接 環節的連接有串聯、并聯和反饋三種基本形式。 1.串聯 :在單向的信號傳遞中，若前一個環節的輸出就是后一個環節的輸入，并依次串接如圖2-32所示，

24、這種聯接方式稱為串聯。 n個環節串聯后總的傳遞函數 :)()()( )()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn第2章 線性系統的數學模型 即環節串聯后總的傳遞函數等于串聯的各個環節傳遞函數的乘積。 環節的串聯RC網絡第2章 線性系統的數學模型 2.并聯 :若各個環節接受同一輸入信號而輸出信號又匯合在一點時，稱為并聯。如圖2-34所示。由圖可知 )()()()(21sCsCsCsCn)()()( )()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn總的傳遞函數為 )()()( )()()()()()()(2121sGs

25、GsGsRsCsCsCsRsCsGnn環節的并聯第2章 線性系統的數學模型 3.反饋：若將系統或環節的輸出信號反饋到輸入端，與輸入信號相比較，就構成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號與給定信號極性相反，則稱負反饋連接。反之，則為正反饋連接，若反饋環節H(s)=1稱為單位反饋。 反饋連接第2章 線性系統的數學模型 反饋連接后，信號的傳遞形成了閉合回路。通常把由信號輸入點到信號輸出點的通道稱為前向通道；把輸出信號反饋到輸入點的通道稱為反饋通道。 對于負反饋連接，給定信號r(t)和反饋信號b(t)之差，稱為偏差信號e(t) 即 )()()()()()(sBsRsEtbtrte通常將反饋信號B(s)與

26、誤差信號E(s)之比，定義為開環傳遞函數，即 開環傳遞函數= )()()()(sHsGsEsB第2章 線性系統的數學模型 輸出信號C(s)與偏差信號E(s)之比，稱為前向通道傳遞函數，即 前向通道傳遞函數= )()()(sGsEsC 而系統輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比稱為閉環傳遞函數，記為(s)或GB(s)。 )()()()()()()()()(sCsHsRsBsRsEsEsGsC第2章 線性系統的數學模型 得閉環傳遞函數為 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs對于正反饋連接，則閉環傳遞函數為 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs第2章 線性系統的數學模型 2

27、.4.4方框圖的變換和簡化 有了系統的方框圖以后，為了對系統進行進一步的分析研究，需要對方框圖作一定的變換，以便求出系統的閉環傳遞函數。方框圖的變換應按等效原則進行。所謂等效，即對方框圖的任一部分進行變換時，變換前、后輸入輸出總的數學關系式應保持不變。除了前面介紹的串聯、并聯和反饋連接可以簡化為一個等效環節外，還有信號引出點及比較點前后移動的規則。 第2章 線性系統的數學模型 例例2-7化簡圖(a)所示系統方框圖，并求系統傳遞函數 )()()(sRsCsG第2章 線性系統的數學模型 )()(1)GG(GG ) 1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321

28、211GGGGHGGGHGGGHGGGHGGGGGGHGGGsRsCsG第2章 線性系統的數學模型 圖2-37 (a)是一個交錯反饋多路系統，采用引出點后移或前移，比較點前移等，逐步變換簡化，可求得系統的閉環傳遞函數為 例例2-8 試化簡如圖2-37 (a)所示系統的方框圖，并求閉環傳遞函數。 )()(1)(1 ()()(33224312143215sHGGsHGGsHGGsGGGGGsG第2章 線性系統的數學模型 圖2-37 方框圖的變換與簡化 第2章 線性系統的數學模型 返回第2章 線性系統的數學模型 信號流圖是表示線性方程組變量間關系的一種圖示方法，將信號流圖用于控制理論中，可不必求解方

29、程就得到各變量之間的關系，既直觀又形象。當系統方框圖比較復雜時，可以將它轉化為信號流圖，并可據此采用梅遜(Mason)公式求出系統的傳遞函數。 第2章 線性系統的數學模型 考慮如下簡單等式 jijixax 這里變量xi和xj可以是時間函數、復變函數，aij是變量xj變換(映射)到變量xi的數學運算，稱作傳輸函數，如果xi和xj是復變量s的函數，稱aij為傳遞函數Aij(s)，即上式寫為 )()()(sXsAsXjiji2.5.1信號流圖的定義第2章 線性系統的數學模型 變量xi和xj用節點“”來表示，傳輸函數用一有向有權的線段(稱為支路)來表示，支路上箭頭表示信號的流向，信號只能單方向流動。

30、信號流圖第2章 線性系統的數學模型 2.5.2系統的信號流圖 在線性系統信號流圖的繪制中應包括以下步驟： （1）將描述系統的微分方程轉換為以s為變量的代數方程。 （2）按因果關系將代數方程寫成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211第2章 線性系統的數學模型 （3）用節點“”表示n個變量或信號，用支路表示變量與變量之間的關系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。 例例2-9 如上圖所示的電阻網絡，v1為輸入、v3為輸出。選5個變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、電流定律可寫出四個獨立方程 第2章 線

31、性系統的數學模型 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV 將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節點表示，由因果關系用支路把節點與節點聯接，得信號流圖。 第2章 線性系統的數學模型 2.5.3信號流圖的定義和術語 節點：表示變量或信號的點，用“”表示。 支路：連接兩個節點之間的有向有權線段，方向 用箭頭表示，權值用傳輸函數表示。 輸入支路：指向節點的支路。 輸出支路：離開節點的支路。 源節點：只有輸出支路的節點，也稱輸入節點， 如圖中節點X1。 匯節點：只有輸入支路的節點，如圖節

32、點X7。 第2章 線性系統的數學模型 信號流圖定義與術語混合節點：既有輸入支路、又有輸出支路的節點， 如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。 通道(路徑)：沿著支路箭頭方向通過各個相連支路 的路徑，并且每個節點僅通過一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反饋回X2。 第2章 線性系統的數學模型 前向通道：從輸入節點(源節點)到匯節點的通道。 如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為 一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也為另一條前向通道。 閉通道(反饋通道或回環)：通道的起點就 是通道的 終點，如圖X2到X3又反饋到X2；X4到X5 又反饋到X4。 自回環：單一

33、支路的閉通道，如圖中的-H3構成 自回環。 第2章 線性系統的數學模型 通道傳輸或通道增益：沿著通道的各支路傳輸的 乘積。如從X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 不接觸回環：如果一些回環沒有任何公共的節點， 稱它們為不接觸回環。如G2H1 與G4H2。 第2章 線性系統的數學模型 2.5.4信號流圖的性質 （1）信號流圖只適用于線性系統； （2）信號流圖所依據的方程式，一定為因果函數形式的代數方程； （3）信號只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞； （4）節點上可把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路； （5）具有輸入和輸出支路的混合節點，通過增加一個具有單位傳輸

34、的支路，可把其變為輸出節點，即匯節點； （6）對于給定的系統，其信號流圖不是唯一的。 第2章 線性系統的數學模型 2.5.5信號流圖的簡化 （1）加法規則：n個同方向并聯支路的總傳輸，等于各個支路傳輸之和，如圖(a) 所示： （2）乘法規則 ：n個同方向串聯支路的總傳輸，等于各個支路傳輸之積，如圖（b）。 第2章 線性系統的數學模型 （3）混合節點可以通過移動支路的方法消去，如圖（c）。 （4）回環可根據反饋連接的規則化為等效支路，如圖（d）。 第2章 線性系統的數學模型 例例2-10 2-10 將圖2-43所示系統方框圖化為信號流圖并化簡求出系統的閉環傳遞函數 )()()(sRsCs 第2章

35、 線性系統的數學模型 解解：信號流圖如圖 (a)所示。化G1與G2串聯等效為G1G2支路，G3與G4并聯等效為G3+G4支路，第2章 線性系統的數學模型 如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡化為 支路，又與G3+G4串聯，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG第2章 線性系統的數學模型 進而求得閉環傳遞函數為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG第2章 線性系統的數學模型 2.5.6信號流圖的增益公式 給定系統信號流圖之后，常常希望確定信號流圖中輸入變量與輸出變量之間的

36、關系，即兩個節點之間的總增益或總傳輸。上節采用信號流圖簡化規則，逐漸簡化，最后得到總增益或總傳輸。但是，這樣很費時又麻煩，而梅遜(Mason)公式可以對復雜的信號流圖直接求出系統輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數，使用起來更為方便。 第2章 線性系統的數學模型 梅遜增益公式可表示為 kkPT式中， T 輸出和輸入之間的增益或傳遞函數； Pk 第k條前向通道的增益或傳輸函數； 信號流圖的特征值， Lj1所有不同回環增益之和； Lj2所有兩兩互不接觸回環增益乘積之和； Lj3所有三個互不接觸回環增益乘積之和 k 與第k條前向通道不接觸的那部分信號流圖的，稱為第k條前向通道特征式的余子式。 第2章

37、線性系統的數學模型 例例2-11 利用梅遜公式求圖中所示系統的傳遞函數 C(s) / R(s)。第2章 線性系統的數學模型 解解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有三條前向通道，對應Pk與k為P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1圖中有五個單回環，其增益為：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的，其增益之積L1L2 = G3G5H1H2 第2章 線性系統的數學模型 系統的特征式

38、為 21654321)(1LLLLLLLL系統的傳遞函數為 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG第2章 線性系統的數學模型 例例2-12 求圖示信號流圖的閉環傳遞函數 解解：系統單回環有：L1 = G1，L2 = G2，L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統的特征式 為： 212151311GGGGLii第2章 線性系統的數學模型 前向通道有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 =

39、G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系統的傳遞函數為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii返回第2章 線性系統的數學模型 控制系統的數學模型在系統分析和設計中是相當重要的,在線性系統理論中常用的數學模型有微分方程、傳遞函數、狀態空間表達式等,而這些模型之間又有著某些內在的等效關系。MATLAB主要使用傳遞函數和狀態空間表達式來描述線性時不變系統(Linear Time Invariant簡記為LTI)。 第2章 線性系統的數學模型 2.6.1傳遞函數 單輸入單輸出線性連續系統的傳遞函數為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110

40、)()()(其中mn。G(s)的分子多項式的根稱為系統的零點,分母多項式的根稱為系統的極點。令分母多項式等于零,得系統的特征方程: D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 第2章 線性系統的數學模型 因傳遞函數為多項式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項式的。MATLAB中多項式用行向量表示,行向量元素依次為降冪排列的多項式各項的系數,例如多項式P(s)=s3+2s+4 ,其輸入為 P=1 0 2 4 注意盡管s2項系數為0,但輸入P(s)時不可缺省0。 MATLAB下多項式乘法處理函數調用格式為 C=conv(A,B) 第2章 線性系統的數學模型 例如給定兩個多項式A(

41、s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應先構造多項式A(s)和B(s),然后再調用conv( )函數來求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出的C(s)多項式為10s3 +50s2 +63s +9 第2章 線性系統的數學模型 MATLAB提供的conv( )函數的調用允許多級嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語句來輸入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 第2章 線性系統的數學模型 有 了 多 項 式 的 輸 入 , 系 統 的 傳 遞

42、函 數 在MATLAB下可由其分子和分母多項式唯一地確定出來,其格式為 sys=tf(num,den) 其中num為分子多項式，den為分母多項式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；第2章 線性系統的數學模型 對于其它復雜的表達式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列語句來輸入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045ssssssss

43、sss第2章 線性系統的數學模型 2.6.2傳遞函數的特征根及零極點圖 傳遞函數G(s)輸入之后,分別對分子和分母多項式作因式分解,則可求出系統的零極點,MATLAB提供了多項式求根函數roots(),其調用格式為 roots(p)其中p為多項式。 第2章 線性系統的數學模型 例如,多項式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反過來,若已知特征多項式的特征根,可調用MATLAB中的poly( )函數,來求得多項式降冪排列時各項的系數,

44、如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000第2章 線性系統的數學模型 而polyval函數用來求取給定變量值時多項式的值,其調用格式為 polyval(p,a)其中p為多項式;a為給定變量值 例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66第2章 線性系統的數學模型 p,z=pzmap(num,den)其中, p傳遞函數G(s)= numden的極點 z傳遞函數G(s)= numden的零點例如,傳遞函數 傳遞函數在復平面上的零極點圖,采用pz

45、map()函數來完成,零極點圖上,零點用“。”表示,極點用“”表示。其調用格式為13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH第2章 線性系統的數學模型 用MATLAB求出G(s)的零極點,H(s)的多項式形式,及G(s)H(s)的零極點圖 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點 1.0000+0.0000i第2章 線性系統的數學模型 n1=1,1;n2=

46、1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/denh=%H(s)表達式pzmap(num,den) %零極點圖title(pole-zero Map) 第2章 線性系統的數學模型 零極點圖如圖所示 ：第2章 線性系統的數學模型 2.6.3 控制系統的方框圖模型 若已知控制系統的方框圖,使用MATLAB函數可實現方框圖轉換。 1.串聯串聯 如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯,在MATLAB中可用串聯函數series(

47、 )來求G1(s)G2(s),其調用格式為 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(21第2章 線性系統的數學模型 2.并聯并聯 如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯,可由MATLAB的并聯函數parallel( )來實現,其調用格式為 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(21第2章 線性系統的數學模型 3.反饋反饋 反 饋 連 接 如 圖 所 示 。 使 用 M

48、 AT L A B 中 的feedback( )函數來實現反饋連接,其調用格式為 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負反饋其為1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(第2章 線性系統的數學模型 例如 G(s)= ,H(s)= ,負反饋連接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den) nu

49、m/den= 1322ssss第2章 線性系統的數學模型 MATLAB中的函數series,parallel和feedback可用來簡化多回路方框圖。另外,對于單位反饋系統,MATLAB可調用cloop( )函數求閉環傳遞函數,其調用格式為 num,den=cloop(num1,den1,sign) 第2章 線性系統的數學模型 2.6.4 控制系統的零極點模型 傳遞函數可以是時間常數形式,也可以是零極點形式,零極點形式是分別對原系統傳遞函數的分子和分母進行因式分解得到的。MATLAB控制系統工具箱提供了零極點模型與時間常數模型之間的轉換函數,其調用格式分別為 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一個函數可將傳遞函數模型轉換成零極點表示形式,而第二個函數可將零極點表示方式轉換成傳遞函數模型。 第2章 線性系統的數學模型 例如 G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB語句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i 第2章 線性系統的數學模型 p=0.95671.2272i0.95671.2272