1、1專題六 GARCH類模型2專題內容 ARCH模型及其參數估計 GARCH模型及其參數估計 EGARCH模型 TGARCH模型 GARCH-M模型 案例分析3ARCH模型 ARCH模型。由Engle(1982)引入。, 2 , 1, 2 , 1, 0, 0)(, 2 , 1,)var(, 0)()(01)()var(, 0)(),(0022222211022221222110tqiqARCHARCHqtEqARzzzPARExxxPARpxttittttttqtqtttttpptttttttt；為它滿足：的分布是受約束的，因注意：白噪聲過程。一般還假設。過程，記作階的服從則稱獨立同分布，且有其

2、中，過程服從，它的平方若一個隨機過程外。所有的根都在單位圓之的特征根多項式過程是一穩定過程，它。過程，且為獨立同分布的白噪聲其中，如果階的自回歸表示形式有一個隨機變量4ARCH模型2211022122210222102212),|(1)()(10, 001qtqtqttttqtttqiqqtEARCHtARCHEqARCHzzz公式計算。干擾的函數，可由遞推隨機過程的條件方差時過去，的方法。在每一個時刻件方差出了計算時間序列的條模型的重要特征是：給為一常數。的無條件方差為，那么這樣，若成立，則等價于。若的所有根均在單位圓外根方程為一個平穩過程，特征為了確保5ARCH模型：ML估計服從非標準正態

3、分布。）（服從標準正態分布；）（考慮兩種情況：模型的參數估計，這里。其中，可以表示為：值。中可以包括滯后的為已知的回歸變量，其模型中的。，。估計所用數據為已知，并記個觀察值的前一般假設。為了計算方便起見，針對如下模型：ttqtqtttttttttTqqtttttvvARCHhvhqARCHyXyyyyyyqyqARCHXy21,)(,)(22222110210216ARCH模型：ML估計。這里同理：。這里的分布如下：因此。進一步這里服從標準正態分布，則的分布，由于觀察第一個樣本。令。其中：服從標準正態分布針對如下模型222222111021211211220010112111111121121

4、12200101212122010111111011011)()()(,2)(exp21),|()()()(,2)(exp21),|()()()(), 0(,)(,)(XyXyXyhhXyhYXyfXyXyXyhhXyhYXyfyXyXyXyhhhNvyXXXXyyyyYqARCHXyvqtqtqttttttttttttqqqqqqqqqttqttttttt7ARCH模型：ML估計)( ,)( , 1 )(,0/)(2221)()(121)(ln21);Y,|(ln)(/)(21)ln(21)2ln(2);,|(ln)(:,)(,)(22111222221t12111101XyXyzhXzXh

5、hhhXyXyhhXyflhXyhTYXyfLqARCHXyvqtqttttttttqjjtjtjttttttttttttttTttttTttTttttqtttt這里令然函數回歸模型的條件對數似。，和要估計的參數包括。其中：服從標準正態分布針對如下模型8ARCH模型：ML估計的解。為方程：的最大似然估計參數向量0)(ln0/)(2)(121)()(121)(ln21)(ln)(ln)()(ln112212221LhXzXhhhhXyXyhhLLlLTtttttqjjtjtjtttTtttttttttTtt9ARCH模型：ML估計TttttttTtjtjttjtqjjtttttddhTIXLET

6、IXXhhXXTIXLETIINTINT1212122121211)()z(z21Y,|)(ln121Y,|)(ln1,), 0()(), 0()(，其一致估計值為，其一致估計值為這里態的極限分布：在一定的條件下，有正是一致的估計，和計值通過計算可以得到，估10ARCH模型式更加復雜。的一階和二階偏微分形。其中需要估計的參數為其對數似然函數為：這里密度函數可寫成：有條件方差過程。相應于樣本分布的服從有如果。其中：服從非標準正態分布針對如下模型)(ln,)2()(1ln21)ln(21)2(2/2/ ) 1(ln);,|(ln)(ln,)2(1 )2(2/2/ ) 1()(,)()t()(,)(

7、1212/111222221102/ )1(22/12/111LkkhXykhkkkTYXyfLhkhhkkkfhyyqARCHkqARCHXyvTttttTttTttttqtqtttkttttttTttttt11GARCH模型.)()()(,q,3 , 2 , 1),1 , 0()()(12022110之后多項式的商它可表示成兩個有限階為無窮階滯后多項式：這里，異方差可表示為：條件過程的階數。令獨立同分布，且有中，過程假設在模型引入。為了彌補這一弱點，估計方法的效率會降低參數估計中迭代過大，在樣本有限時，模型的階數若的結構：決定于條件異方差模型jjjtttttttqtqttttttLLLLh

8、ARCHTtNvvvhqARCHGARCHqARCHhhvhqARCH12GARCH模型為白噪聲過程。時，；當時，當。過程，記過程，簡稱該過程即為廣義的其中的常數項的上述形式下：實際上，在的根都在單位圓之外。的特征方程：其中，滯后多項式如下：后多項式的商可表示成兩個有限階滯tttrqtqttrtrtttrrrrqqqrqARCHrr,qGARCHGARCHARCHkhhhkhLzzzLLLLLLLLLLL0)(0)()1 ()(01)(1 (1)(1)()(,)(021022222112211022122122113GARCH模型證明略。其中的充分必要條件為和，并有過程是穩定的隨機過程定義的上

9、述重要定理：qiiqiittttstkEqrGARCHh11s10) 1 (,) 1 (1) 1 () 1 ()(0),(cov)1 () 1 (1 ()(D, 0)(),(14GARCH模型。為是穩定過程的充分條件根據前述定理，。參數滿足如下條件：獨立同分布，且有其中，過程表示為：金融學中有很多應用。別是在濟學的許多領域中，特盡管形式簡單，但在經過程。的一種過程。該過程是最簡單1) 1 , 1 (0; 0; 0),1 , 0(;) 1 , 1 () 1 , 1 (11110211110GARCHkNvvhkhvhGARCHGARCHGARCHttttttttt15GARCH模型ML估計 ,

10、, 1 ) 1 , 0(GARCH2121021222211210rqrtttqttttqiitiriitittttttttkhhhzhkhNvvhXy估計。令模型的參數的極大似然回歸模型：考慮16GARCH模型ML估計，就可得到一致估計只需估計的信息矩陣則參數注意到：其中，到的一階和二階微分，得求關于先對示為模型的對數似然函數表tttttTttttttriitittTttttttTttttttTtttttTtttTtTttthYXLETIYXhhhhEhzhhhhhhhhhLhhhLLhhTlLGARCH,|)(ln10,| 21) 1()(2121) 1()(ln) 1(21)(ln)(l

11、n21)ln(21)2ln(2)()(ln121112112211221211121117GARCH模型ML估計qjitiqjjtjtjtTttttttTtttttTttttttTttttTtttttTttttTtttTtTttthXhhhhhhXhhhhhXXhLhhhhXLLhhTlLGARCH1111212122112121111211221) 1(221)(ln) 1(21)(ln)(ln21)ln(21)2ln(2)()(ln其中，到的一階和二階微分，得求關于先對示為模型的對數似然函數表18GARCH模型ML估計)ln(), 0()(t21tdfENT有正態的極限分布：時，當19不對

12、稱的GARCH模型 針對股票價格變動，可以經常觀察到，信息沖擊下，向下波動性要強于向上波動性。為了解釋這種想象，Engle and Ng (1993) 采用如下曲線來表述不對稱的信息影響特征20不對稱的GARCH模型 不對稱的GARCH模型類型多樣，這里主要介紹兩種： EGARCH TGARCH21EGARCH模型 EGARCH or Exponential GARCH model 由奈爾遜 (Nelson，1991)提出的。過程服從則稱過程中，在EGARCHvgvEvhvDvEvhARCHtjjtjtjtjtttttt10|)ln(, 1)(, 0)(22EGARCH模型 EGARCH模型中

13、的一個重要特征是在條件方差中引入了參數g，這使得條件方差在隨機干擾項取值為正、負值時有不同程度的變化，從而能更準確地描述金融產品價格波動的情況。 比如，在股票市場中，若將利好消息看作是對股價的正干擾，將利空信息看作是負干擾，人們注意到，股價往往對同樣程度的副干擾的反應更加強烈。23EGARCH模型 這種正負干擾的不對稱反映的不對稱性可以有EGARCH模型來描述。 若參數g取值為負數，且大于-1時，那么一個負干擾所引起的條件方差的變化，比相同程度的正干擾引起條件方差的變化則更大； 若g大于0，同樣程度的正干擾引起條件方差的變化則更大； 若g=0，則條件方差對于正負干擾的變化是對稱的。24EGAR

14、CH模型 參數。由于EGARCH條件方差有指數形式表示，所以無論參數取何實數，條件方差總大于0。這樣在對EGARCH參數估計時，不需要對進行約束。為一穩定的隨機過程。過程成立時，模型中，如下條件：EGARCH12tjjEGARCH25EGARCH模型|lnlnln)(ln1)(1)()()(1)()(2222111122110221221qtqtqtqttttttrtrtttrrqqvgvEvvgvEvvgvEvhhhkhLLLLLLLLLLLL從而，的比，即和有限階的滯后多項式表示成兩個窮階的滯后多項式在一般情況下，可將無26EGARCH模型服從均勻分布。時，隨機干擾項當參數尾部；服從較正態

15、分布更薄的時，隨機干擾項當參數尾部；服從較正態分布更厚的時，隨機干擾項當參數服從正態分布；時，隨機干擾項當參數被稱為尾部厚度參數。均為常數，其中，密度函數為服從廣義誤差分布，其建議隨機干擾有更廣泛的應用，為了使然方法估計。模型的參數可由極大似ttttcccctttvcvcvcvccccccvcvfvEGARCHEGARCH222)/3()/1 (20 ;)/1 (2|/|21exp)(Nelson2/1/2/ )1(27EGARCH模型 EVIEWS中使用的模型與Nelson模型有差異。 EVIEWS中使用的模型如下：qiititiititipjjtjttttttttttthhhkhqpEGA

16、RCHhhhkhorvvhkhEGARCH110111111110111110|)ln()ln(),(|)ln()ln(|)ln()ln() 1 , 1 (模型如下：模型如下：28TGARCH模型 正干擾和負干擾的非對稱的后果也可通過對線性GARCH框架的簡單修正給出。 TGARCH(Threshold ARCH)模型由 Zakoian (1990)以及Glosten, Jaganathan, and Runkle (1993)提出。29TGARCH模型信息影響是不對稱的。如果杠桿效應存在如果響為：好消息，負干擾下的影響為：好消息，正干擾下的影即方差會有不同的效應，好消息和壞消息對條件，那么非

17、負條件成立。，且如果模型如下：模型如下：0,;0,00),(.0,01) 1 , 1 (11111211210111121211110ttqjjtjpiititttttttttdhkhqpTGARCHotherwisedandifdwheredhkhTGARCH30TGARCH和EGARCH模型31ARCH-M模型 在前面討論中，ARCH、GARCH、EGARCH過程主要是描述模型的干擾項的條件方差，一般與yi的條件期望無關。 但實際中人們注意到，條件方差的變化往往直接影響到條件期望的值，ARCH-M模型對回歸模型的條件期望和條件方差都作了描述，是對前面討論的ARCH和GARCH模型的推廣。 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987)。32ARCH-M模型ttttttttttttttttthhghhghgqrGARCHqARCHhhhgNvvvhhgXyMARCH)(2)(1)(EVIEWS.),()()();1 , 0(.,d . i . i ,