1、12學習目標和要求學習目標和要求了解軸測投影圖的形成原理；了解軸測投影圖的形成原理；熟悉組合體投影圖的尺寸標注；熟悉組合體投影圖的尺寸標注；掌握基本幾何體投影特性和作圖方法；掌握基本幾何體投影特性和作圖方法；掌握組合體投影圖的讀圖方法，正等軸測圖的畫法。掌握組合體投影圖的讀圖方法，正等軸測圖的畫法。3第一節 基本立體的投影4 表面表面由平面和曲面或曲面圍成的立體由平面和曲面或曲面圍成的立體，稱為稱為曲面立體曲面立體。 幾何體幾何體可分為可分為平面立體平面立體和和曲面立體曲面立體兩種。兩種。表面都是表面都是由平面圍成的立體由平面圍成的立體，稱為，稱為平面立體平面立體。 立體立體表面由若干面圍成的

2、幾何體。表面由若干面圍成的幾何體。基本幾何體基本幾何體基本立體基本立體5平面立體：表面由若干多邊形所圍成的立體。平面立體：表面由若干多邊形所圍成的立體。常用的平面立體：棱柱、棱錐。常用的平面立體：棱柱、棱錐。立體立體表面取點表面取點： 已知已知立體表面上點的立體表面上點的一個投影一個投影，求求其余其余兩個投兩個投影影。常用的表面取點方法：積聚性法常用的表面取點方法：積聚性法 輔助直線法輔助直線法一、平面立體的投影及其表面取點一、平面立體的投影及其表面取點6（一）（一） 棱柱棱柱1.1.棱柱的投影棱柱的投影 由由頂面和底面及六個側棱面頂面和底面及六個側棱面組成。側棱面與側棱面的交線叫組成。側棱面

3、與側棱面的交線叫側棱線，側棱線，側棱線相互平行側棱線相互平行。 六棱柱的頂面和底面為水平面，水六棱柱的頂面和底面為水平面，水平投影反映實形，正面投影和側面投影平投影反映實形，正面投影和側面投影都積聚成直線段。都積聚成直線段。 以正六棱柱為例以正六棱柱為例7 前、后兩棱面是正平前、后兩棱面是正平面，正面投影反映實形，面，正面投影反映實形，水平投影和側面投影積聚水平投影和側面投影積聚成直線段。成直線段。 其余四個側棱面是鉛其余四個側棱面是鉛垂面，它們的水平投影都垂面，它們的水平投影都積聚成直線，并與正六邊積聚成直線，并與正六邊形的邊線重合，在正面投形的邊線重合，在正面投影和側面投影面上的投影影和側

4、面投影面上的投影為類似形（矩形）。為類似形（矩形）。 六棱柱的六條棱線均六棱柱的六條棱線均為鉛垂線，在水平投影面為鉛垂線，在水平投影面上的投影積聚成一點，正上的投影積聚成一點，正面投影和側面投影都互相面投影和側面投影都互相平行且反映實長。平行且反映實長。8點的可見性判斷：點的可見性判斷： 點所在表面的投影可見點所在表面的投影可見,點的投影也可見點的投影也可見；若點所在；若點所在表面的投影不可見，表面的投影不可見，點的投點的投影也不可見影也不可見；若點所在表面；若點所在表面的投影積聚成直線，的投影積聚成直線，點的投點的投影認為可見。影認為可見。（1 1）確定點所在的平面并分析該平面確定點所在的平

5、面并分析該平面 的投影特性；的投影特性；（2 2）根據投影規律作出點的投影，并判根據投影規律作出點的投影，并判 別可見性。別可見性。 2.棱柱表面取點棱柱表面取點A a (b )(B) b a a b 9( (二二) ) 棱錐棱錐1. 棱錐的投影棱錐的投影 由一個底面和三個側棱面由一個底面和三個側棱面組成。組成。側棱線（或延長線）交側棱線（或延長線）交于一點于一點 錐頂。錐頂。 棱錐處于圖示位置時，其底棱錐處于圖示位置時，其底面面ABC是水平面，在俯視圖上反是水平面，在俯視圖上反映實形，正面投影和側面投影積映實形，正面投影和側面投影積聚成水平直線段聚成水平直線段 。ABCS 以正三棱錐為例以正

6、三棱錐為例10ABCS abca(c)bssabcs 棱面棱面SAC為為側垂面，側面投側垂面，側面投影積聚成直線段影積聚成直線段,正面投影和水平正面投影和水平投影為類似形。投影為類似形。 另兩個棱面另兩個棱面（SAB,SBC)為一為一般位置平面，三般位置平面，三投影均不反映實投影均不反映實形。形。11( ) k k k b s n n n ABCS s s N abc 作圖步驟：作圖步驟： 畫反映實形的底面的水平投影畫反映實形的底面的水平投影（等邊三角形），再畫（等邊三角形），再畫ABCABC的正的正面投影和側面投影，它們分別積面投影和側面投影，它們分別積聚成水平直線段；聚成水平直線段； 根據

7、錐高再畫頂點根據錐高再畫頂點S S的三面投影；的三面投影； a c a (c )b 最后將錐頂最后將錐頂S S與點與點A A、B B、C C的同面投影相連，即得到三的同面投影相連，即得到三棱錐的投影圖。棱錐的投影圖。 最后檢查清理底稿，按最后檢查清理底稿，按規定線型加深。規定線型加深。2. 棱錐表面取點棱錐表面取點一般采用輔助線法。一般采用輔助線法。判別可見性判別可見性 K12 回轉體是工程中常見的曲面立體，由曲面或曲面回轉體是工程中常見的曲面立體，由曲面或曲面和平面所圍成。和平面所圍成。 最常見的回轉體：圓柱、圓錐、球、環等最常見的回轉體：圓柱、圓錐、球、環等。圓柱表面的組成圓柱表面的組成

8、圓柱面圓柱面 上、下底面圓上、下底面圓 圓柱面的形成：圓柱面的形成： 由一直線（母線）繞與之平行的軸線回轉而成。由一直線（母線）繞與之平行的軸線回轉而成。二、回轉體的投影及其表面取點二、回轉體的投影及其表面取點1.1.圓柱圓柱13（1） 圓柱的投影圓柱的投影 a a a A1A 直線直線AA1稱為母線稱為母線,母線在回轉面母線在回轉面的任一位置稱為素線的任一位置稱為素線 。圓柱面上的圓柱面上的素素線線都是平行于軸線的直線。都是平行于軸線的直線。OO1利用投影的積聚性利用投影的積聚性最左素線最左素線最右素線最右素線最后素線最后素線最前素線最前素線 圓柱面的俯視圖積聚成圓柱面的俯視圖積聚成一個圓，

9、在另兩個視圖上分一個圓，在另兩個視圖上分別以兩個方向的輪廓素線的別以兩個方向的輪廓素線的投影表示。投影表示。 輪廓輪廓素線素線的投影與曲面的投影與曲面可見性的判斷可見性的判斷OO1 A（2） 圓柱面上取點圓柱面上取點14圓柱面上取點圓柱面上取點 b利用投影的積聚性利用投影的積聚性 b a (a) b ( ) a 15圓錐表面的組成圓錐表面的組成 圓錐面圓錐面 底圓底圓2.2.圓錐圓錐圓錐面的形成：圓錐面的形成： 由一直母線繞與之相交的軸線回由一直母線繞與之相交的軸線回轉而成。轉而成。16O1O 輪廓素線的投影與曲面可見輪廓素線的投影與曲面可見性的判斷性的判斷（2） 圓錐面上取點圓錐面上取點 k

10、 輔助素線法輔助素線法輔助圓法輔助圓法 (n )sn k(n ) k SA過錐頂過錐頂S和點和點K作一輔助素線。作一輔助素線。圓的半徑？圓的半徑？最左素線最左素線最后素線最后素線最前素線最前素線最右素線最右素線 s s (N)K 過過N點作一平行于底面的點作一平行于底面的水平輔助圓，該圓的正面投影水平輔助圓，該圓的正面投影為過為過n 且平行底面的直線段。且平行底面的直線段。17球的表面：球面。球的表面：球面。球面的形成：球面的形成： 一個圓母線繞其通過圓心且在同一平一個圓母線繞其通過圓心且在同一平面上的軸線回轉而成。面上的軸線回轉而成。3.3.球球18 三個視圖分別為三個三個視圖分別為三個和圓

11、球的直徑相等的圓，和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個方向它們分別是圓球三個方向轉向輪廓線的投影。轉向輪廓線的投影。（1）球的投影）球的投影 輪廓線的投影與輪廓線的投影與曲面可見性的判斷曲面可見性的判斷（2） 球表面取點球表面取點 k 輔助圓法輔助圓法k k 圓的半徑？圓的半徑？上下分界圓上下分界圓前后分界圓前后分界圓左右分界圓左右分界圓K19 第二節第二節 基本幾何體的截切基本幾何體的截切20截平面截平面截切立體的平面截切立體的平面截交線截交線截平面與立體表面的交線截平面與立體表面的交線截截 面面截交線所圍成的圖形截交線所圍成的圖形u概念概念211.共有性共有性截交線是截平面與立體表面的

12、截交線是截平面與立體表面的 共有線共有線。 求求截交線的實質是求兩平面的交線。截交線的實質是求兩平面的交線。3.截交線的形狀取決于立體表面的形狀及截交線的形狀取決于立體表面的形狀及截平面與回轉體軸線的相對位置。截平面與回轉體軸線的相對位置。2. 閉合性閉合性截交線都是截交線都是封閉的平面圖形封閉的平面圖形。截交線的截交線的基本性質：基本性質：22 求截交線的步驟：求截交線的步驟：截平面截平面與體與體的相對位置的相對位置截平面截平面與投影面與投影面的相對位置的相對位置 空間及投影分析空間及投影分析 畫畫出截交線的投影出截交線的投影分別求出分別求出截平面截平面與與棱面棱面的交線，并的交線，并連接連

13、接成多邊形。成多邊形。 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法：求各求各棱線棱線與與截平面截平面的的交點交點線面交點法線面交點法。求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線面面交線法。面面交線法。 一、平面與平面立體相交一、平面與平面立體相交23例例1 1：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空間分析空間分析交線的形狀？交線的形狀？3 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線

14、投影的類似性截平面與體的截平面與體的幾個棱面相交？幾個棱面相交？截交線在俯、截交線在俯、左視圖上的形左視圖上的形狀？狀？24例例1 1：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。我們采用的是我們采用的是哪種解題方法？哪種解題方法？棱線法！棱線法！25 注意：注意： 要逐個截平面分析和要逐個截平面分析和繪制截交線。當平面體只繪制截交線。當平面體只有局部被截切時，先假想有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交為整體被截切，求出截交線后再取局部。線后再取局部。例例2 2：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。1 12 21 1

15、(2(2 ) )2 2 1 1 三面共點：三面共點： 、兩點分兩點分別同時位于三個面別同時位于三個面上。上。26例例2 2：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。：求四棱錐被截切后的水平投影和側投影。27回轉體截切的基本形式回轉體截切的基本形式: : 平面與回轉體表面相交，其平面與回轉體表面相交，其截交線截交線是平面與是平面與回轉立體回轉立體表面的共有點集合表面的共有點集合, ,是是封閉的平面圖形封閉的平面圖形。 截交線是由截交線是由曲線圍成曲線圍成，或者由，或者由曲線與直線曲線與直線圍成圍成，或者由，或者由直線段圍成直線段圍成。二、平面與回轉體相交二、平面與回轉體相交28求求平面與回轉體平面與

16、回轉體截交線截交線的一般的一般步驟步驟：(1)(1)空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉體的分析回轉體的形狀形狀以及截平面以及截平面與回轉體與回轉體軸線軸線的的相對位置相對位置，以便，以便確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面分析截平面與投影面與投影面的的相對位置相對位置，明確明確截交線的截交線的投影特性投影特性，如積聚性、相仿性等。，如積聚性、相仿性等。找出找出截交線的截交線的已知投影，已知投影，預見預見未知投影。未知投影。29(2)(2)畫出畫出截交線的投影截交線的投影 當截交線的投影為非圓曲線時，其作當截交線的投影為非圓曲線時，其作圖圖步驟步驟為：為：* * 光滑連接光滑連接各

17、點，并判斷截交線的各點，并判斷截交線的 可見性可見性。 * * 先找先找特殊點特殊點，補充，補充中間點中間點。30圓柱體表面的截交線 截平面與圓柱面的交線的形狀取決于截平面截平面與圓柱面的交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。與圓柱軸線的相對位置。垂直垂直圓圓橢圓橢圓平行平行兩平行直線兩平行直線傾斜傾斜31截交線的已知投影？截交線的已知投影？例例1 1：求側面投影：求側面投影找特殊點找特殊點補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線的側面投截交線的側面投影是什么形狀？影是什么形狀？截交線的截交線的空間形狀？空間形狀？ 32例例1 1：求圓柱被切

18、割后側面投影。：求圓柱被切割后側面投影。找特殊點找特殊點找中間點找中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影33 橢圓的長、橢圓的長、短軸隨截平面與短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的變化而改變。變化而改變。什么情況下什么情況下投影為圓呢？投影為圓呢？截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時。時。454534例例2 2：求左側投影圖：求左側投影圖35362143例例3：求圓柱截交線（求圓柱截交線（利用利用積聚性積聚性求截交線求截交線 ）解題步驟解題步驟1 1分析分析 截交線的水平截交線的水平 投影為直線和部分圓，側投影為直線和部分圓，側面投影為矩形；面投影為

19、矩形；2 2求出截交線上的特殊求出截交線上的特殊點點、；3 3順次地連接各點，作順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；出截交線并判別可見性；4 4整理輪廓線。整理輪廓線。1213342437第三節 組合體的投影38并（疊加）并（疊加）差（切割）差（切割） 由若干基本立體按一定方式組合而形由若干基本立體按一定方式組合而形成的形體稱為組合體。成的形體稱為組合體。39 由于形體不同、相對位置不由于形體不同、相對位置不同而產生不同的同而產生不同的A A、B B不共面不共面A A、B B共面共面A A、B B間有線間有線A A、B B間無線間無線4041ABAB平面平面A A與圓柱面與圓柱面B B相切

20、相切平面平面A A與圓柱面與圓柱面B B相交相交相切處無線相切處無線相交處有線相交處有線42要把幾個視圖聯系起來進行分析要把幾個視圖聯系起來進行分析否則否則4344線面分析法線面分析法( (為主為主) )二者配合使用二者配合使用( (為輔為輔) )從封閉線框出發從封閉線框出發利用利用“三等三等”關系對投關系對投影影 分析物體各表面形狀分析物體各表面形狀45線面分析法線面分析法視圖上一條視圖上一條線線( (直、曲直、曲) )一一般般情情況況下下積聚性表面積聚性表面兩面交線兩面交線 利用這種規律來分析組合體的表面性質、利用這種規律來分析組合體的表面性質、形狀和相對位置的形狀和相對位置的方法方法，稱

21、為稱為。的投影的投影視圖上一個視圖上一個 封閉線框封閉線框平面平面（實形或類似圖形）（實形或類似圖形）光滑曲面光滑曲面的投影的投影輪廓素線輪廓素線一一般般情情況況下下46線框分析線框分析三個線框代表三個面的投影三個線框代表三個面的投影- - 平面或曲面平面或曲面一般情況下，視圖中一個封閉一般情況下，視圖中一個封閉線框代表空間一個面的投影線框代表空間一個面的投影47一定會出現凸或凹一定會出現凸或凹線框里面的線框里面的線框？線框？48要注意視圖中反映形體之間要注意視圖中反映形體之間連接關系的圖線連接關系的圖線4949“二補三二補三”：指已知組合體的兩：指已知組合體的兩 個個 投影圖投影圖 補畫第三

22、個投影圖。補畫第三個投影圖。要求要求：1.1.首先要正確讀懂投影圖；首先要正確讀懂投影圖；2.2.再根據所想象的空間形體補畫出第三投影圖；再根據所想象的空間形體補畫出第三投影圖；3.3.最后最后檢查所補投影圖與已知投影圖是否符合檢查所補投影圖與已知投影圖是否符合 投影關系投影關系。501.1.尺寸種類尺寸種類定形尺寸定形尺寸確定形體形狀及大小的尺寸。如圖中的直徑、確定形體形狀及大小的尺寸。如圖中的直徑、 半徑及形體的長、寬、高等尺寸都是定形尺寸。半徑及形體的長、寬、高等尺寸都是定形尺寸。定位尺寸定位尺寸確定形體上部分結構相對位置的尺寸。確定形體上部分結構相對位置的尺寸。總體尺寸總體尺寸表示組合

23、體總長、總寬和總高的尺寸。表示組合體總長、總寬和總高的尺寸。 512.2.組合體的尺寸標注組合體的尺寸標注符合國家標準的規定符合國家標準的規定（基本規則）；（基本規則）；不遺漏，但又不重復；不遺漏，但又不重復；尺寸布置整齊、清楚，尺寸布置整齊、清楚，便于看圖；便于看圖；一般來講：一般來講：如果組合體對稱，選擇對稱中心面作如果組合體對稱，選擇對稱中心面作為尺寸基準。為尺寸基準。如果組合體具有重要回轉體，可將回如果組合體具有重要回轉體，可將回轉體的軸心線作為尺寸基準。轉體的軸心線作為尺寸基準。另外，一些重要端面也可以作為尺寸另外，一些重要端面也可以作為尺寸基準。基準。523.3.尺寸基準尺寸基準5

24、3第四節 軸測投影54 優點： 缺點：55將形體連同確定其空間位置的直角坐標系，將形體連同確定其空間位置的直角坐標系，沿不平行于任一坐標面的方向，用沿不平行于任一坐標面的方向，用平行投影法平行投影法將其投射在將其投射在單一投影面單一投影面上所得的具有立體感的上所得的具有立體感的圖形叫做軸測圖。圖形叫做軸測圖。得到軸測投影的面叫做得到軸測投影的面叫做軸測投影面軸測投影面。用用正投影法正投影法形成的軸測圖叫形成的軸測圖叫正軸測圖正軸測圖。用用斜投影法斜投影法形成的軸測圖叫形成的軸測圖叫斜軸測圖斜軸測圖。56VHP軸測投影面軸測投影面投射方投射方向向S垂垂直于直于軸軸測投影測投影面時，面時，所得圖所

25、得圖形稱為形稱為正軸測正軸測圖。圖。SACBZXOYZ1Y1X1C1B1A1軸測投軸測投影方向影方向57VHHP軸測投軸測投影面影面SZYXOZ1X1Y1O1軸測投軸測投影方向影方向投射方向投射方向S傾斜于傾斜于軸軸測投影面時，所得測投影面時，所得圖形稱為圖形稱為斜軸測圖斜軸測圖58軸測軸、軸測軸軸測軸：空間形體上坐標軸空間形體上坐標軸OXOX，OYOY，OZOZ的軸測投影的軸測投影，叫做軸測軸。叫做軸測軸。59物體上平行于坐標軸的物體上平行于坐標軸的線段在軸測圖上的長度與實際長度之比線段在軸測圖上的長度與實際長度之比, ,稱為稱為軸向變形（伸縮）系數軸向變形（伸縮）系數 沿軸方向的線段沿軸方

26、向的線段在其軸測圖中的長度在其軸測圖中的長度=原原長長 軸向伸縮系數軸向伸縮系數6061（四）軸測圖的基本特性（四）軸測圖的基本特性 在原物體與軸測投影間保持以下關系：在原物體與軸測投影間保持以下關系： 兩線段平行，它們的軸測投影也平行。兩線段平行，它們的軸測投影也平行。物體上與坐標軸平行的直線，物體上與坐標軸平行的直線，其軸測投影有何特性？其軸測投影有何特性？ 兩平行線段的軸測投影長度與空間長度的兩平行線段的軸測投影長度與空間長度的 比值相等。比值相等。平行于相應的平行于相應的軸測軸軸測軸 凡是與坐標軸平行的線段，就可以在軸測圖上凡是與坐標軸平行的線段，就可以在軸測圖上沿軸向進行度量和作圖沿

27、軸向進行度量和作圖。軸測含義軸測含義62二、正等軸測圖二、正等軸測圖 正等測的三個軸間角均相等，即：正等測的三個軸間角均相等，即： X X1 1O O1 1Y Y1 1 =Y =Y1 1O O1 1Z Z1 1=X=X1 1O O1 1Z Z1 1=120=120 正等測的軸向變形系數也相等，即：正等測的軸向變形系數也相等，即： p=q=r=0.82p=q=r=0.82畫圖時為了畫圖時為了方便，采用方便，采用簡化軸向變簡化軸向變形系數：形系數： p=q=r=1120120120X1Z1Y1O1303063 變形系數簡化后所畫的軸測圖，變形系數簡化后所畫的軸測圖，平行于坐標軸的尺寸都放大了平行于坐標軸的尺寸都放大了1.22倍，倍，但這對表達形體的直觀形象沒影響。但這對表達形體的直觀形象沒影響。軸向變形系數軸向變形系數等于等于0.820.82所繪所