1、1第二章第二章 單自由度系統的自由振動單自由度系統的自由振動 2.1 2.3 瑞利法瑞利法 2.2 2.4 等效剛度系數等效剛度系數2.5 有阻尼系統的自由振動有阻尼系統的自由振動2l自由振動自由振動受初始擾動激發所致振動，沒有受初始擾動激發所致振動，沒有 外界能量補充。外界能量補充。l無阻尼自由振動無阻尼自由振動保守系統，機械能守恒，保守系統，機械能守恒，動能與勢能互相轉換，恒穩振動，實際上不動能與勢能互相轉換，恒穩振動，實際上不存在，但可作為某些振動的近似處理。存在，但可作為某些振動的近似處理。l（有）阻尼自由振動（有）阻尼自由振動非保守系統，衰減，非保守系統，衰減，l本章討論單自由度的自

2、由振動。本章討論單自由度的自由振動。32.1 線性系統的線性系統的自由振動自由振動 我們看一個簡單的振動模型我們看一個簡單的振動模型xxFkx0彈簧質量系統在光滑平面上的振動。彈簧質量系統在光滑平面上的振動。其中其中k剛性系數（產生單位位移剛性系數（產生單位位移所需的力）。加負號是因為：彈性恢所需的力）。加負號是因為：彈性恢復力永遠與位移復力永遠與位移x方向相反。（始終方向相反。（始終指向靜平衡位置）指向靜平衡位置） 彈簧質量不計；質體彈簧質量不計；質體m m當作剛體（或當作剛體（或一個質點）；并假設彈簧的恢復力與一個質點）；并假設彈簧的恢復力與變形成正比，即：變形成正比，即：Fk kx注：注

3、：k的的單位單位N/m 4或寫成：或寫成： 其中常數其中常數C1 ，C2由初始條件確定。由初始條件確定。kxxm 0 kxxm 02xxn 這里令這里令 mkn2 上式即一個自由度（線性）系統自由振動微分方程。上式即一個自由度（線性）系統自由振動微分方程。這是個二階齊次線性常微分方程。它的通解是：這是個二階齊次線性常微分方程。它的通解是：tCtCxnnsincos21由牛頓第二定律：由牛頓第二定律： 5設：當設：當t t0 0時時 注：這正是圓頻率相同的兩個簡諧振動，一個用正注：這正是圓頻率相同的兩個簡諧振動，一個用正弦、一個為余弦的合成情況，也是一個簡諧振動。弦、一個為余弦的合成情況，也是一

4、個簡諧振動。00,vxxx把初始條件代入上式，可得把初始條件代入上式，可得nvCxC0201,)sin(sincos00tAtvtxxnnnn2020)(nvxA00vxtgn其中其中6討論：討論： 1 1、單自由度系統的自由振動是個簡諧振動，其、單自由度系統的自由振動是個簡諧振動，其振幅振幅A A和初相位和初相位由初始條件決定。從這里可以看由初始條件決定。從這里可以看到自由振動最初發生的原因，必須有初位移到自由振動最初發生的原因，必須有初位移x0 0或初或初速度速度v v0 0或兩者都有才有振動或兩者都有才有振動xAsinAsin( (nt t) )，否，否則則x0 0，無振動無振動（弧度（

5、弧度/秒）秒） 2 2、自由振動的圓頻率（或角頻率）、自由振動的圓頻率（或角頻率）mkn7 頻率取決于系統的質量及彈簧剛度，因此是系統所固有頻率取決于系統的質量及彈簧剛度，因此是系統所固有的，與運動的初始條件無關（也解釋說，與系統是否發生振的，與運動的初始條件無關（也解釋說，與系統是否發生振動無關）故把動無關）故把n稱為固有頻率。一座建筑物，一臺機器，稱為固有頻率。一座建筑物，一臺機器，一架飛機等等，一旦制造出來，其一架飛機等等，一旦制造出來，其m，k就都是確定的了，就都是確定的了，于是固有頻率也就確定了。固有頻率是本課程最重要的概念，于是固有頻率也就確定了。固有頻率是本課程最重要的概念，在以

6、后的學習及工作中經常要用到（例如防止共振）。在以后的學習及工作中經常要用到（例如防止共振）。 固有頻率的求法：固有頻率的求法： a、 mknb、 cngpkgmk其中其中 kpc靜伸長（靜伸長（cm） g重力加速度（重力加速度（cm/s s2） Pc k 8固有（自然）頻率及周期為固有（自然）頻率及周期為 cnngmkf21212gkmfTcnn221在工程實際中，一些比較簡單的振動系統可以抽象在工程實際中，一些比較簡單的振動系統可以抽象為上述單自由度質量為上述單自由度質量- -彈簧系統，而具有相同的動彈簧系統，而具有相同的動力學方程和運動規律，書上有些具體例子。力學方程和運動規律，書上有些具

7、體例子。 9例2.1-1 均勻懸臂梁長l，彎曲剛度EJ，重量不計，自由端附有重P=mg的物體，求物體的振動方程、頻率.lmyc解：由材料力學知：EJPlc33懸臂梁的作用等價于懸掛彈簧，設其剛度系數k，有PkccPk33lEJ物體的振動方程：ylEJym33 033ymlEJy 固有頻率：33mlEJn33212mlEJfn10 對無阻尼自由振動的問題。由于沒有阻尼，系對無阻尼自由振動的問題。由于沒有阻尼，系統就沒有能量損失，根據機械能守恒定律，在整個統就沒有能量損失，根據機械能守恒定律，在整個振動過程中任一瞬時機械能保持為常數，即：振動過程中任一瞬時機械能保持為常數，即： 2. 2 能量法能

8、量法U系統由于彈性變形而儲存勢能，或由于重力作系統由于彈性變形而儲存勢能，或由于重力作功而產生的重力勢能。功而產生的重力勢能。 將具體能量代入（將具體能量代入（2 2）式，化簡后可得保守系統的）式，化簡后可得保守系統的振動微分方程。振動微分方程。（1 1）式對時間求導：）式對時間求導： 0)(UTdtd（1 1）其中其中 T系統中運動質量所具有的動能系統中運動質量所具有的動能 常數UT（2 2）11 我們選取靜平衡位置為第一瞬時位置，這時勢我們選取靜平衡位置為第一瞬時位置，這時勢能為零，而動能達到最大值能為零，而動能達到最大值T Tmaxmax； T TmaxmaxU Umaxmax (2)(

9、2)對較復雜系統，用能量法建立微分方程和求固有對較復雜系統，用能量法建立微分方程和求固有頻率，有時更為方便。頻率，有時更為方便。 當質點離開平衡位置到最遠點時，速度減為零，當質點離開平衡位置到最遠點時，速度減為零，即動能為零，但勢能達到最大值即動能為零，但勢能達到最大值U Umaxmax，我們取之為，我們取之為第二瞬時位置。第二瞬時位置。由（由（1 1）式得：）式得：T Tmaxmax0 00 0U Umaxmax， 即：即：12例例2.2-1 2.2-1 一半徑一半徑r重重W的圓柱體在一個半徑為的圓柱體在一個半徑為R R的圓柱面的圓柱面內作無滑動滾動。假設在圓柱面最低處內作無滑動滾動。假設在

10、圓柱面最低處O O左右微幅擺動左右微幅擺動為簡諧振動，求擺動固有頻率。為簡諧振動，求擺動固有頻率。 轉動時，圓柱體繞質心軸轉動，轉動時，圓柱體繞質心軸轉動，由于無滑動，角速度為：由于無滑動，角速度為： 注：注： ）解：設解：設為坐標，圓柱體同時作兩為坐標，圓柱體同時作兩種運動種運動移動和轉動。移動時，移動和轉動。移動時，圓柱體質心線位移為圓柱體質心線位移為)(rRv)(1rRrrv00rR(R-r)rrRdtrRddtdRr)()(,線速度為線速度為 )(rR13任一瞬時位置，圓柱體動能為：任一瞬時位置，圓柱體動能為： 由由 2222222)(43)(1221)(212121rRgwrRrrg

11、wrRgwImvT注：注： 22rgwI 為圓柱體繞質心的轉動慣量為圓柱體繞質心的轉動慣量 圓柱體的勢能以最低位置圓柱體的勢能以最低位置O O為零，在轉角為為零，在轉角為的瞬時，圓的瞬時，圓柱體質心升高為柱體質心升高為(R(Rr)(1-cos),r)(1-cos),則則U Uw(R-r)(1-cos)w(R-r)(1-cos) 0)(UTdtd得：得： 0sin)()(23)cos1)()(43222 rRwrRgwrRwrRgwdtd對于任一瞬時若對于任一瞬時若 ，則對應無擺動，不是我們所求的。于，則對應無擺動，不是我們所求的。于是必有括號內部分為零，又因微擺動，是必有括號內部分為零，又因微

12、擺動，sinsin，00)(32rRg )(32rRgn故有故有14解（解（2 2）若已知圓柱體的擺動為簡諧，只要求固有頻率若已知圓柱體的擺動為簡諧，只要求固有頻率n n，則設，則設 在最低點在最低點O O處勢能為零，動能最大處勢能為零，動能最大 則則 在擺動到在擺動到maxmax位置時動能為零，勢能最大位置時動能為零，勢能最大 由由T TmaxmaxU Umaxmax 有：有： )sin(tAn)cos(tAnnAmaxnAmax于是于是 2222max222max)(43)(432121nArRgwrRgwImvT22maxmaxmax)(212)()cos1)(ArRwrRwrRwU22

13、22)(21)(43ArRwArRgwn則則 )(32rRgn15例例2.2-2 2.2-2 桿桿AB是無質量剛性桿，靜平衡時水平，又是無質量剛性桿，靜平衡時水平，又知知k0及尺寸及尺寸a，l，質量塊，質量塊m，求振動微分方程及周期。，求振動微分方程及周期。 解法：解法：設剛性桿，向下有微小設剛性桿，向下有微小轉角轉角時，時，彈簧伸長彈簧伸長a, ,質量塊的位移：質量塊的位移： l系統的動能：系統的動能： 221)(lmT 系統的勢能：系統的勢能： mglkU)(2221021點，注：平衡位置為勢能零),2021mglaka平衡時由由 0)(20lamk mBk0almklan0質量塊的速度：

14、質量塊的速度： l2021)(akU 0)(UTdtd得得 02kmalT162.32.3瑞利法瑞利法前面都假設彈簧的質量可以忽略不計，若彈簧質量前面都假設彈簧的質量可以忽略不計，若彈簧質量較大，忽略它會導致頻率偏高。較大，忽略它會導致頻率偏高。瑞利瑞利提出，用能量法對提出，用能量法對分布質量系統分布質量系統簡化為一個單自簡化為一個單自由度系統，從而把彈簧分布質量對系統頻率的影響考由度系統，從而把彈簧分布質量對系統頻率的影響考慮進去，得到相對準確的頻率。慮進去，得到相對準確的頻率。具體做法是先對具有分布質量的彈性元件假定一種振具體做法是先對具有分布質量的彈性元件假定一種振動形式，然后將無阻尼自

15、由振動的簡諧規律代入，計動形式，然后將無阻尼自由振動的簡諧規律代入，計算其動能和勢能，利用能量法，即得到等效質量和固算其動能和勢能，利用能量法，即得到等效質量和固有頻率，這種近似計算方法稱作有頻率，這種近似計算方法稱作瑞利法瑞利法。17計算彈簧的等效質量計算彈簧的等效質量 設彈簧的長度為設彈簧的長度為l，假定彈簧的變形與離固定點假定彈簧的變形與離固定點21232201)3(21)3213)(21)(21xmxlllxdlxTl（其中其中m1 1= =l為彈簧質量，則系統總動能為：為彈簧質量，則系統總動能為：2112)3(2121xmmTxmT2max1max)3(21xmmT單位長度質量為單位

16、長度質量為，的距離的距離成正比，彈簧端點的位移為成正比，彈簧端點的位移為x。整個彈簧的動能整個彈簧的動能T T1 1：微元長度微元長度d d的動能：的動能：2)(21lxd18我們將彈簧的1/3質量定義為彈簧的等效質量。彈簧的勢能與忽略彈簧質量的情形一樣：31mmkn由221kxU 也可導出固有頻率。2maxmax21kxU0)(UTdtdmaxmaxUT由或設簡諧振動：),sin(tAxnnAxAxmaxmax, 0)3(1kxxmm 222121)3(21kAAmmn得192.4 2.4 等效等效剛性系數剛性系數彈簧剛度系數彈簧剛度系數就是使彈簧產生變形所需要的就是使彈簧產生變形所需要的力

17、力或或力矩力矩研究的振動方向不同，剛度系數也不同研究的振動方向不同，剛度系數也不同 B點沿點沿x方向施加力方向施加力F，位移，位移xB，則，則 AFElxBBxxFk 等效剛度：等效剛度： 任何彈性體都可以看成彈簧任何彈性體都可以看成彈簧 設指定方向的位移為設指定方向的位移為x，所施加的力為，所施加的力為F，則等效剛度系數：，則等效剛度系數： xFk xGElJJA,BOlEAkx20B點沿點沿y方向施加力方向施加力P，位移，位移yB，則，則 EJPlyB33ByyPk B點沿點沿y方向的等效剛度：方向的等效剛度： xGElJJA,BOyMGJlBP33lEJ亦稱梁的亦稱梁的彎曲彎曲剛度剛度

18、B點繞點繞x軸轉動方向施加扭矩軸轉動方向施加扭矩M，軸產生轉角軸產生轉角， 則則 B端：端：B點點繞繞x軸轉動方向軸轉動方向的等效剛度：的等效剛度： BMklGJ亦稱軸的亦稱軸的扭轉扭轉剛度剛度 21幾個彈性元件聯合使用時的等效剛度：幾個彈性元件聯合使用時的等效剛度：固有頻率固有頻率 2121212121)11(kkkkPkkPkPkPc)()(21212121kkmkkkkPkgkgcncPk（等效剛度）（等效剛度） Pk1 k2 兩彈簧串聯兩彈簧串聯 2121kkkkn個彈簧串聯個彈簧串聯 niinkkkkk1211111122兩彈簧并聯兩彈簧并聯( (兩彈簧伸長相同兩彈簧伸長相同) )解

19、：重量解：重量P P分配在兩個彈簧上，分配在兩個彈簧上，分別為分別為P1P1，P2P2，則，則 等效剛度等效剛度n個彈簧并聯：個彈簧并聯：Pkkggcn)(21Pk1 k2 ccckkkkPPP)(21212121kkPkcniinkkkkk12123 前面講的無阻尼自由振動是一種理想狀態，按前面講的無阻尼自由振動是一種理想狀態，按照阻尼為零的假設，遵循機械能守恒定律，振動中照阻尼為零的假設，遵循機械能守恒定律，振動中沒有能量消耗，因而可以無休止地振動下去。但事沒有能量消耗，因而可以無休止地振動下去。但事實上阻尼總是存在的，它使振動能量不斷減少，于實上阻尼總是存在的，它使振動能量不斷減少，于是

20、自由振動逐漸衰減直至停止。我們首先講阻尼的是自由振動逐漸衰減直至停止。我們首先講阻尼的類型。類型。 一、阻尼的分類一、阻尼的分類 2.5 有阻尼系統的自由振動有阻尼系統的自由振動1 1、粘性阻尼、粘性阻尼 2 2、材料阻尼、材料阻尼 3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 241 1、粘性阻尼、粘性阻尼 其中其中c粘性阻尼系數粘性阻尼系數 當質量在磁場或流體質中振動時，阻尼力一般表當質量在磁場或流體質中振動時，阻尼力一般表現速度的函數：現速度的函數：)(xRR 若物體以較大速度在空氣或液體中運動，阻尼與若物體以較大速度在空氣或液體中運動，阻尼與速度平方成正比。但當物體以低速度在粘性介質中運速度平方成正

21、比。但當物體以低速度在粘性介質中運動（包括兩接觸面之間有潤滑劑時）可以認為阻尼與動（包括兩接觸面之間有潤滑劑時）可以認為阻尼與速度成正比，即：速度成正比，即： xcR 這種阻尼這種阻尼( (由于阻尼力與速度成正比由于阻尼力與速度成正比) )又稱為線又稱為線性阻尼（這種阻尼與介質的粘性有關，故稱為粘性阻性阻尼（這種阻尼與介質的粘性有關，故稱為粘性阻尼）。它使計算大為簡化尼）。它使計算大為簡化, ,我們將著重研究這種情況我們將著重研究這種情況，對于非粘性阻尼也得引進等效，對于非粘性阻尼也得引進等效粘性阻尼系數粘性阻尼系數計算。計算。 252 2、材料阻尼、材料阻尼 又稱為結構阻尼。在振動過程中物又

22、稱為結構阻尼。在振動過程中物體結構材料本身的內摩擦而引起的阻力體結構材料本身的內摩擦而引起的阻力。在完全彈性材料內，應變與應力的相。在完全彈性材料內，應變與應力的相位相同，所以在反復受力過程中沒有能位相同，所以在反復受力過程中沒有能量損失。而粘彈性材料內，應變滯后于量損失。而粘彈性材料內，應變滯后于 這就是通常說的摩擦力，出現在干摩擦之間。按這就是通常說的摩擦力，出現在干摩擦之間。按庫侖摩擦定律：庫侖摩擦定律：R RN N 其中其中摩擦系數，由摩擦系數，由接觸面的材料和粗糙程度決定。接觸面的材料和粗糙程度決定。3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 0加載卸載應力應力，在反復受力過程中，在反復受力過程

23、中形形成滯后回線，因此要耗成滯后回線，因此要耗散能量，而成為振動的阻尼。散能量，而成為振動的阻尼。26二、阻尼振動微分方程二、阻尼振動微分方程 令令 按牛頓第二定律：按牛頓第二定律： 則得標準型單自由度阻尼自由振動的微分方程則得標準型單自由度阻尼自由振動的微分方程 xckxxm 0 xckxxm 0 xmkxmcx kmc2mkn2022xxxnn （1 1） 阻尼比（無量綱數）阻尼比（無量綱數） 其中其中c c阻尼系數（單位：阻尼系數（單位：N Ns/ms/m） xkc0mkxxc27 現在求解方程（現在求解方程（1 1），這是一個二階常系數齊），這是一個二階常系數齊次微分方程。下面求出方程

24、的通解。次微分方程。下面求出方程的通解。 我們先設我們先設 x=e=eptpt （p p常數）常數） 那么，那么， 代入方程（代入方程（1 1）得：）得： ptpex ptepx2 但但e eptpt00，故有：，故有：（2 2）特征方程特征方程 可見，若可見，若p p是二次代數方程（是二次代數方程（2 2）的一個根，則）的一個根，則e eptpt能能使微分方程（使微分方程（1 1）滿足，也就是說，是它的一個特解。）滿足，也就是說，是它的一個特解。代數方程（代數方程（2 2）叫做微分方程（）叫做微分方程（1 1）的特征方程。）的特征方程。 0)222nnptPPe（0222nnPP28特征方程

25、（特征方程（2 2）的兩個根是：）的兩個根是： np)1(2可能有三種情況，我們分別討論之。可能有三種情況，我們分別討論之。 d是是 阻尼自由振動的角頻率。阻尼自由振動的角頻率。 1 1、當當 （欠阻尼狀態），得兩個復數根：（欠阻尼狀態），得兩個復數根： 1dnniip)1(22, 1nd21tinex)1(12tinex)1(22因此，微分方程（因此，微分方程（1 1）的兩個特解是）的兩個特解是 29 由線性齊次微分方程的性質，由線性齊次微分方程的性質，x1 1與與x2 2的線性組的線性組合也是方程（合也是方程（1 1）的解，故）的解，故 22)1()1(21122titinneexxxte

26、eeedttititnddncos2ieeixxxtitinn22)()(2122222teieeedttititnndnsin230 注：做此變換的目的是把微分方程的解寫成注：做此變換的目的是把微分方程的解寫成實數形式實數形式 這里，我們利用了歐拉公式這里，我們利用了歐拉公式 2cosixixeexieexixix2sin 很容易看出很容易看出x1 1與與x2 2線性無關，由齊次線性線性無關，由齊次線性微分方程通解定律，微分方程通解定律，x1 1與與x2 2的線性組合即方程的線性組合即方程（1 1）的通解，故：）的通解，故： )sincos(tDtCexddtn（3 3） 31)sincos

27、(tDtCexddtn（3 3） 其中其中C，D為待定常數，由初始條件為待定常數，由初始條件 給出給出 00,xx（3 3）式即單自由度系統有阻尼振動的位移通解。）式即單自由度系統有阻尼振動的位移通解。 ,000 xxxxt 時，有設在）式，得：將條件代入（3dnDCxCx00, dnxxDxC000,32)sin(tAedtn（33） 其中其中 22DCADCtg（3 3）是有阻尼振動的位移通解另一種形式。）是有阻尼振動的位移通解另一種形式。 ,000 xxxxt 時，有設在）式，得：將條件代入（3)sincos(,sin00ndAxAx00020020tan,xxxxxxAnddn)sincos(tDtCexddtn33其振幅其振幅隨著時間隨著時間t t的的增長而衰減。增長而衰減。 )sin(tAexdtnA1A2A3Tdtx0 xtnAe00 xt時，由于阻尼的存在由于阻尼的存在nd21對于小阻尼，對于小阻尼，n，如05. 0%125. 0,00125. 1只差TTd周期