1、3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)凡用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)為二階系統(tǒng)。標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)的微分方程是T豈+2舞+片屁di曲（3.27）d2y(3.28)上兩式中，T稱(chēng)為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。.稱(chēng)為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)或阻尼比，I一：稱(chēng)為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率或自然頻率。K為放大系數(shù)。圖3.9是標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖3.9二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖標(biāo)準(zhǔn)形式二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為工】X2工】X2(3.30)尸】0:;在式（3.30）和式（3.31）中，設(shè)K=1,u（t）為輸入函數(shù)。二階系統(tǒng)是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛、最具代表性的系統(tǒng)。同時(shí)，二階系統(tǒng)的分析方法也是分析高階系統(tǒng)的基礎(chǔ)。二階系統(tǒng)的單位躍階

2、響應(yīng)二階系統(tǒng)的特征方程為十3口=0（3.32）特征方程的二個(gè)根為啪土師舶-1（3.33）這也是二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。從式（3.33）可以看岀，二階系統(tǒng)的參數(shù)c；,是變化的，取值不同，特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）可能是復(fù)數(shù)，也可能是實(shí)數(shù)。系統(tǒng)的響應(yīng)形式也因此會(huì)有較大的區(qū)別。在單位階躍函數(shù)輸入下，二階系統(tǒng)的輸岀為(3.34)下面分幾種不同的情況來(lái)討論二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。1. 無(wú)阻尼狀態(tài)（匚=0）當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比時(shí)，我們稱(chēng)二階系統(tǒng)處于無(wú)阻尼狀態(tài)或無(wú)阻尼情況。=時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程的根是共軛純虛數(shù)根51,2二土林閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的分布如圖3.10所示。隨變動(dòng)，閉環(huán)極點(diǎn)的位置沿虛軸變化。系統(tǒng)的單位階

3、躍響應(yīng)為(3.35)響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為V您=K(1-COBCPnt)V您=K(1-COBCPnt)(3.36)這是一個(gè)等幅的正弦振蕩。這說(shuō)明在無(wú)阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)不可能跟蹤單位階躍輸入的變化曲線(xiàn)如圖3.15所示。Y52圖3.10=0時(shí)特征根分布圖3.11欠阻尼狀態(tài)下的閉環(huán)極點(diǎn)2. 欠阻尼狀態(tài)當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù)fXCi時(shí)，我們稱(chēng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是欠阻尼情況或者說(shuō)二階系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。當(dāng)，-時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程的根是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根：閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的分布如圖3.11所示。特征方程的根具有相同的實(shí)部一-。特征方程的根的虛部為虛部為，我們定義=-（3.38）稱(chēng)為阻尼頻率。在圖3.11中，設(shè)閉環(huán)

4、極點(diǎn)與s平面原點(diǎn)的連線(xiàn)和實(shí)軸的夾角為匸，則有匚/lCTOS（3.39）1-C(3.40)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為_(kāi)KUn13*十玄3品十(3.41)把式（3.41）展開(kāi)為部分分式KK（s+21/6十如十加簾一彳（s十咖J1亡K喚十M)K伽)=S2222(S十話(huà))+CJj(S+十3d(3.42)對(duì)式（3.42）求拉普拉斯變換，得到cosm成十cosm成十式（3.43）還可以進(jìn)一步寫(xiě)成:y尙=K1e仏洛in（曲+0）一（3.44）式（3.44）表明，這是一個(gè)振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦振蕩過(guò)程。圖3.12是y（t）在欠阻尼情況下的響應(yīng)曲線(xiàn)。8-岫式（3.44）中，正弦振蕩的振幅為：-,可以看岀，若越大，振

5、幅衰減得就越快。從圖3.11閉環(huán)極點(diǎn)分布上，可以看出閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，振幅衰減得越快。L是正弦振蕩的頻率。圖3.11表明，閉環(huán)極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn)，振蕩頻率就越高。欠阻尼響應(yīng)隨.變化的曲線(xiàn)見(jiàn)圖3.15。圖3.13臨界阻尼情況下的閉環(huán)極點(diǎn)臨界阻尼狀態(tài)（1-）當(dāng)阻尼比=1時(shí)，我們稱(chēng)二階系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)或臨界阻尼情況。在匚-時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根為即二階系統(tǒng)具有相等的負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)。圖3.13給岀了閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上的分布。圖中用雙星號(hào)表示特征方程的重根。5臨界阻尼狀態(tài)下的單位階躍響應(yīng)為_(kāi)十-“(3.45)對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯反變換得：譏=K1-（1十論）曠呵（3.46）其響應(yīng)曲線(xiàn)見(jiàn)圖3.15，在臨界阻

6、尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的響應(yīng)開(kāi)始失去振蕩特性，成為單調(diào)變化的曲線(xiàn)。圖3.14過(guò)阻尼狀況下的閉環(huán)極點(diǎn)過(guò)阻尼狀態(tài)（廠）當(dāng)阻尼比大于1時(shí)，我們稱(chēng)二階系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)或過(guò)阻尼情況。在這種狀態(tài)下，二階系統(tǒng)特征方程的根是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。圖3.14給岀了這種情況下閉環(huán)極點(diǎn)的分布。系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為仏=-士仏=-士-1過(guò)阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為=弄十疇十3訐TIlCl1斥（3十3尺5寸C31）5十十3（3十3尺5寸C31）5十十311(3.47)對(duì)式（3.47）進(jìn)行拉普拉斯反變換得火）=忍1十火）=忍1十_小+-p-其響應(yīng)曲線(xiàn)見(jiàn)圖3.15，這是兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)的疊加。這種情況下，二階系統(tǒng)的特征方程可以改寫(xiě)為/

7、十2如沾+顯=&十二）+）=0其中于是閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫(xiě)為Kws十20審+嶺Kws十20審+嶺一匸-(3.49)式(3.49)表明，過(guò)阻尼狀態(tài)下的二階系統(tǒng)可以看成是兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。過(guò)阻尼狀態(tài)下的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離不同。離虛軸近的閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的(3.48)式的指數(shù)項(xiàng)衰減得慢,因而對(duì)輸出影響大。而離虛軸遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)則衰減得很快，對(duì)輸出的影響較小。當(dāng)1時(shí)，可以將遠(yuǎn)離虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)忽略，把系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)：玲)=K遼二:-(3.50)其相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為3.15圖3.15給岀了二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。從圖中可以看岀，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的形式隨阻尼比.變化的

8、情況，阻尼比越大，響應(yīng)振蕩越弱。反之，阻尼比越小，響應(yīng)的振蕩越強(qiáng)烈。圖中的橫坐標(biāo)采用I.J，主要是為了使縱坐標(biāo)的輸岀y(t)僅僅成為阻尼比的函數(shù)。圖3.15二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)1.控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的優(yōu)劣，是通過(guò)動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)的。控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的性能指標(biāo)通常是按系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的某些特征量來(lái)定義的。多數(shù)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程都具有振蕩特性。因此我們選擇欠阻尼振蕩過(guò)程為典型代表，來(lái)定義動(dòng)態(tài)特性的性能指標(biāo)，并用這些指標(biāo)來(lái)描述控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程品質(zhì)。這些指標(biāo)主要有：上升時(shí)間、峰值時(shí)間、最大超調(diào)量、衰減率、調(diào)節(jié)時(shí)間、振蕩頻率與周期、振蕩次數(shù)等。

9、圖3.16是一個(gè)典型的欠阻尼振蕩過(guò)程。它代表了系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。之所以選用單位階躍響應(yīng)來(lái)定義動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，是因?yàn)殡A躍信號(hào)變化的突然性具有代表意義。若系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)品質(zhì)良好，對(duì)其它信號(hào)的響應(yīng)一般也較好。上升時(shí)間二。指從動(dòng)態(tài)過(guò)程開(kāi)始到輸岀第一次達(dá)到階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。這個(gè)指標(biāo)反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性或靈敏程度。峰值時(shí)間7。是指瞬態(tài)響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值的時(shí)間血）-畑）畑）x100%(3.52)0trifiG圖3.16欠阻尼振蕩過(guò)程最大超調(diào)量。最大超調(diào)量定義為式中：是指系統(tǒng)階躍響應(yīng)的第一個(gè)峰值。丁二“；是指系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。最大超調(diào)量表示了系統(tǒng)振蕩特性的強(qiáng)弱。阻尼系數(shù)較小的系統(tǒng)，振蕩

10、較強(qiáng)，因而最大超調(diào)量也大。最大超調(diào)量也表示了控制系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中被控對(duì)象的輸出瞬時(shí)上沖得最大程度。這是輸出量變化的極值。這一點(diǎn)在控制系統(tǒng)的運(yùn)行中非常重要。因?yàn)橄到y(tǒng)中某些有一定限制的參數(shù)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中可能會(huì)因?yàn)槌{(diào)而越岀允許范圍。如材料的極限溫度、電子元件的擊穿電壓、瞬時(shí)電流，化工生產(chǎn)中化合物的爆炸極限等，這將會(huì)造成設(shè)備的損壞，影響生產(chǎn)的安全。最大超調(diào)量一般也可以簡(jiǎn)稱(chēng)為超調(diào)量。衰減率和衰減比。衰減率的定義為x100%(3.53)x100%(3.53)式（3.53）中，“一：是瞬態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)上同方向相鄰兩個(gè)波峰值高岀穩(wěn)態(tài)值得部分。衰減比的定義(3.54)衰減率和衰減比與超調(diào)量一樣，反映了系統(tǒng)振蕩的強(qiáng)弱

11、，或者說(shuō)反映了系統(tǒng)的阻尼特性。在化工過(guò)程、熱工過(guò)程的控制中，常用來(lái)描述系統(tǒng)克服擾動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)特性。在工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程控制中，常常把系統(tǒng)設(shè)計(jì)成具有75%勺衰減率，此時(shí)的衰減比為4:1。調(diào)節(jié)時(shí)間I。調(diào)節(jié)時(shí)間也稱(chēng)為調(diào)整時(shí)間，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間。其定義為：從動(dòng)態(tài)過(guò)程開(kāi)始到系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入規(guī)定的誤差帶內(nèi)并不再超出的時(shí)間，即：|唯)一譏00)|=(3.55)式中指規(guī)定的允許誤差范圍。工業(yè)上常取誤差L的相對(duì)值為5%或2%此外，延遲時(shí)間、振蕩次數(shù)、振蕩周期等也是動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。這里不再詳述。以上性能指標(biāo)是按系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特性來(lái)定義的。所有的性能指標(biāo)綜合在一起，才能表明控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的品質(zhì)，因此，稱(chēng)為單向性指標(biāo)。控制系統(tǒng)也

12、可以用一個(gè)指標(biāo)來(lái)表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，稱(chēng)為綜合性指標(biāo)。誤差準(zhǔn)則就是這樣一種性能指標(biāo)。控制系統(tǒng)的特性通過(guò)誤差的積分來(lái)評(píng)定。在誤差準(zhǔn)則中，通常應(yīng)用的有4種：平方誤差積分準(zhǔn)則（ISE）8e2(t)dt8e2(t)dt(3.56)時(shí)間乘平方誤差積分準(zhǔn)則（ITSE）絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則（IAE）CO|e(t)|dtCO|e(t)|dt(3.58)時(shí)間乘絕對(duì)值誤差準(zhǔn)則（ITAE）J=I成J。(3.59)這些積分準(zhǔn)則可以稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)。通過(guò)對(duì)控制系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)選取，使某種目標(biāo)函數(shù)的值最小，則所選擇的這些參數(shù)就稱(chēng)為最優(yōu)參數(shù)。按最優(yōu)參數(shù)組成的控制系統(tǒng)就稱(chēng)為最優(yōu)系統(tǒng)。2.二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)上升時(shí)間1:根據(jù)上升時(shí)間的

13、定義，從（3.44）式可得?匕仏占血2晶+0=因而則有所以峰值時(shí)間1對(duì)式（3.44）式求導(dǎo)別（）dt=0可得最大超調(diào)量，將式（3.61）代入（3.44）式，為簡(jiǎn)便運(yùn)算，令K=1則有由圖3.11可以得岀因此按最大超調(diào)量的定義;：-；(3.62)用類(lèi)似的方法，可得到其他性能指標(biāo)。衰減率二衰減比n調(diào)節(jié)時(shí)間一般取近似表達(dá)式;按2%誤差按5%誤差3-r-(3.66)從以上二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)可以看出，提高，可以提高系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，減小=和=。增大匚，可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低最大超調(diào)量。例1控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3.17所示，求K=1.62,T=0.5s時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式及動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)亠?、及解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為上式中系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為11y()=1一y()=1一=1-1,25-111仃忠+55.9)=1-1,25-111仃忠+55.9)=1.44s=1.44s-56=EX100%=11.9%-56=EX100%=11.9%:s(2%誤差):s(2%誤差)圖3.17例1的結(jié)構(gòu)圖例2控制系統(tǒng)如圖3.18所示。要使該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量為25%峰值時(shí)間等于2s,系統(tǒng)中的K和T應(yīng)為多少？解得從而得Mrs系統(tǒng)的閉環(huán)