1、1.固有振型的正交性固有振型的正交性 固有振型有一個非常有用的性質，就是固有固有振型有一個非常有用的性質，就是固有振型之間存在著關于質量矩陣振型之間存在著關于質量矩陣M和剛度矩陣和剛度矩陣K的的正交性。正交性。( )2( )rrrKuMu(5.3-1)( )2( )sssKuMu(5.3-2) 考慮特征值問題考慮特征值問題(5.2-10)的兩組解的兩組解 r, ,u(r)和和 s, ,u(s)。這些解可以寫成這些解可以寫成1.固有振型的正交性固有振型的正交性用用u(s)T左乘方程左乘方程(5.3-1)的兩邊和用的兩邊和用u(r)T左乘方程左乘方程(5.3-2)的的兩邊，得兩邊，得( )T( )

2、2( )T( )srsrruKuuMu(5.3-3)( )Tsu( )T( )2( )T( )rsrssuKu uMu(5.3-4)( )Tru( )T( )2( )T( )srsrsuKu uMu并與方程并與方程(5.3-3)相減，可得相減，可得22( )T( )()0srrsuMu(5.3-5)當當rs，即，即rs時，必須有時，必須有( )T( )0()srrsuMu(5.3-6)這就是振型向量的正交性條件。這就是振型向量的正交性條件。因為矩陣因為矩陣M和和K是對稱的，轉置方程是對稱的，轉置方程(5.3-4)，可得，可得1.固有振型的正交性固有振型的正交性 這個正交性是關于質量矩陣這個正交

3、性是關于質量矩陣M的，它起了加權矩陣的，它起了加權矩陣的作用。將方程的作用。將方程(5.3-6)代入方程代入方程(5.3-3)，可得振型向量，可得振型向量關于剛度矩陣也是正交的，即關于剛度矩陣也是正交的，即 需要再次強調指出，正交性關系式需要再次強調指出，正交性關系式(5.3-6)和和(5.3-7)只有當只有當M和和K為對稱矩陣時才是正確的。為對稱矩陣時才是正確的。 如果如果r=s，則不論，則不論u(s)TMu(r)取任何值，式取任何值，式(5.3-5)都都自然滿足，因而可令自然滿足，因而可令( )T( )0()srrsuKu(5.3-7)( )T( )rrrMuMu(5.3-8)( )T(

4、)rrrKuKu(5.3-9)稱稱Mr為為模態質量模態質量，Kr為為模態剛度模態剛度。1.固有振型的正交性固有振型的正交性 如果將振型向量正則化，則稱振型向量為關于質如果將振型向量正則化，則稱振型向量為關于質量矩陣和剛度矩陣的量矩陣和剛度矩陣的正則正交性正則正交性。式中式中rs為為克朗尼格克朗尼格符號，其數學定義為符號，其數學定義為 若正則化是按照方程若正則化是按照方程(5.2-15)得到的，即得到的，即( )T( )( ,1,2, )srrsr snuMu(5.3-10)( )T( )2( ,1,2, )srrsrr sn uKu(5.3-11)(0)(1srsrrs(5.3-12)那么振型

5、向量應滿足下面的關系式那么振型向量應滿足下面的關系式( )T( )1(1,2, )rrrnuMu1.固有振型的正交性固有振型的正交性例題：正交性驗證例題：正交性驗證（例：（例：5.3-1） 例例5.3-1 圖圖5.3-1所示三個彈簧懸掛著質量所示三個彈簧懸掛著質量m，三個，三個彈簧位于同一平面內，彈簧常數分別為彈簧位于同一平面內，彈簧常數分別為k1，k2和和k3，試，試寫出質量寫出質量m的運動微分方程。若彈簧剛度的運動微分方程。若彈簧剛度k1=k2=k3=k，并并且且1=0，2=120，3=210 ，求系統的固有頻率和固有求系統的固有頻率和固有振型，并驗證振型向量的正交性。振型，并驗證振型向量

6、的正交性。 解：解：取直角坐標取直角坐標x-y如圖所示。如圖所示。如果只考慮微小位移，并設彈性恢如果只考慮微小位移，并設彈性恢復力為復力為R1，R2和和R3，則質量，則質量m的運的運動微分方程為動微分方程為3311cos,siniixiiyiimxRQmyRQ圖 5.3-11.固有振型的正交性固有振型的正交性例題：正交性驗證例題：正交性驗證（例：（例：5.3-1）式中彈性力為式中彈性力為Ri=-ki(xcosi+ysini)將將Ri的值代入運動微分方程，得的值代入運動微分方程，得321321( cossincos)( sincossin)iiiixiiiiiyimxk xyQmyk xyQ寫成

7、矩陣形式為寫成矩陣形式為23210cossincos0sincossinxiiiiiyiiiQmxxkQmyy 1.固有振型的正交性固有振型的正交性例題：正交性驗證例題：正交性驗證（例：（例：5.3-1）1111sin0,cos1,sincos0當當1=0時，有時，有2222sin3 2, cos1 2, sincos3 4 當當2=120時，有時，有3333sin1 2, cos3 2, sincos3 4 當當3=210時，有時，有將以上各將以上各i值和值和k1=k2=k3=k代入剛度矩陣，得代入剛度矩陣，得100241434343434343410001sincossincossinco

8、s2231kkkkkiiiiiiii1.固有振型的正交性固有振型的正交性例題：正交性驗證例題：正交性驗證（例：（例：5.3-1）代入質量代入質量m的運動微分方程為的運動微分方程為02000 xyQmxkxQmyky 特征值問題為特征值問題為212202000ukmukm 由此得固有頻率為由此得固有頻率為122k mk m1.固有振型的正交性固有振型的正交性例題：正交性驗證例題：正交性驗證（例：（例：5.3-1） 由于運動微分方程是兩個獨立的方程，表明由于運動微分方程是兩個獨立的方程，表明x，y正好是兩個固有坐標，因此固有振型為正好是兩個固有坐標，因此固有振型為(1)(2)01,10 uu 為了

9、驗證振型向量的正交性，將振型向量為了驗證振型向量的正交性，將振型向量u(1)和和u(2)代入方程代入方程(5.3-6)，有，有(1)T(2)0101000mm uMu滿足正交性條件。滿足正交性條件。1.固有振型的正交性固有振型的正交性例題：正交性驗證例題：正交性驗證（例：（例：5.3-1）第一階主振型第一階主振型第二階主振型第二階主振型2.模態矩陣模態矩陣 振型向量可以排列成為振型向量可以排列成為n階方陣，稱為階方陣，稱為模態模態矩陣矩陣( (或振型矩陣或振型矩陣) )，即，即u的每一列是一個振型向量的每一列是一個振型向量u(r)(r=1,2,n)。引入引入振型矩陣振型矩陣u之后，由方程之后，

10、由方程(5.2-14)所表示的特征值所表示的特征值問題的所有問題的所有n個解可以寫成簡潔的矩陣方程，即個解可以寫成簡潔的矩陣方程，即式中式中 2是固有頻率平方的對角矩陣。是固有頻率平方的對角矩陣。 (1)(2)( )nuuuu(5.3-13)2KuMu(5.3-14)2.模態矩陣模態矩陣 應用振型矩陣應用振型矩陣u，可以把式，可以把式(5.3-6)和式和式(5.3-8)合并成合并成一個式子，即一個式子，即類似地，可將式類似地，可將式(5.3-7)和式和式(5.3-9)合并為合并為12TnMMMru MuM(5.3-15)(5.3-16)12TnKKKru KuK稱稱Mr為為模態質量矩陣模態質量

11、矩陣，Kr為為模態剛度矩陣模態剛度矩陣。2.模態矩陣模態矩陣 由于固有振型具有正交性，振型矩陣由于固有振型具有正交性，振型矩陣u可可以用來以用來作為使系統的運動微分方程不耦合的變換作為使系統的運動微分方程不耦合的變換矩陣。矩陣。 若振型向量按照方程若振型向量按照方程(5.2-15)進行正則化，進行正則化，然后排列成正則振型矩陣然后排列成正則振型矩陣u，則模態質量矩陣為，則模態質量矩陣為單位矩陣，模態剛度矩陣為固有頻率平方的對角單位矩陣，模態剛度矩陣為固有頻率平方的對角矩陣，即矩陣，即(5.3-17)T111rMu MuI2.模態矩陣模態矩陣 由于振型向量只表示系統作固有振動時各由于振型向量只表

12、示系統作固有振動時各坐標間幅值的相對大小，所以模態質量和模態剛坐標間幅值的相對大小，所以模態質量和模態剛度的值依賴于正則化方法，只有進行正則化后，度的值依賴于正則化方法，只有進行正則化后，才能確定振型向量各元素的具體數值，也才能使才能確定振型向量各元素的具體數值，也才能使Mr和和Kr具有確定的值。具有確定的值。212T22nrKu Ku(5.3-18)3.展開定理展開定理 特征向量特征向量u(r)(r=1,2,n)形成一個線性獨立組，即有形成一個線性獨立組，即有 由于固有振型的線性獨立性，于是系統的任何一個由于固有振型的線性獨立性，于是系統的任何一個位形的位形的n維向量維向量w可以由可以由n個

13、固有振型的線性組合構成，個固有振型的線性組合構成，即即(5.3-19)(1)(2)( )120nncccuuu式中式中c1, c2 , cn是不同時為零的常數。是不同時為零的常數。 (5.3-20)(1)(2)( )( )121nnrnrrCCCCwuuuu式中式中w稱為稱為 的線性組合，系數的線性組合，系數C1, C2 , Cn表示每一個振型的參與程度。表示每一個振型的參與程度。 (1)(2)( ),nuuu3.展開定理展開定理 改變系數改變系數C1,C2 ,Cn而得到的所有線性組合組成向而得到的所有線性組合組成向量空間量空間w, ,這個空間是由這個空間是由u(1), u(2), , u(n

14、) 生成的。生成的。 向量組向量組u(r)(r=1,2,n)稱為稱為w的生成系統，因為這的生成系統，因為這個向量組是獨立的，所以生成系統稱為個向量組是獨立的，所以生成系統稱為w的基。的基。 屬于空間屬于空間w的任何向量都可以表示成線性組合的任何向量都可以表示成線性組合(5.3-20)的形式，即的形式，即 系統的任何可能的運動都可以被描寫為振型向量系統的任何可能的運動都可以被描寫為振型向量的線性組合，也就意味著由任意激勵產生的系統的運動的線性組合，也就意味著由任意激勵產生的系統的運動可以看作固有振型用適當的常數相乘后的疊加。可以看作固有振型用適當的常數相乘后的疊加。 (1)(2)( )( )12

15、1nnrnrrCCCCwuuuu3.展開定理展開定理 如果用正則振型來表示系統的運動，就是把一組如果用正則振型來表示系統的運動，就是把一組聯立的運動微分方程變換成一組獨立的方程，這里的變聯立的運動微分方程變換成一組獨立的方程，這里的變換矩陣就是振型矩陣換矩陣就是振型矩陣u。 把聯立的運動方程變換成一組互不相關的方程來把聯立的運動方程變換成一組互不相關的方程來得出系統響應的過程稱為得出系統響應的過程稱為振型分析或模態分析振型分析或模態分析。 考慮固有振型的正交性條件，用考慮固有振型的正交性條件，用u(s)TM左乘方程左乘方程(5.3-20)的兩端，得的兩端，得( )T( )T( )1nssrrrCuMwuMu(5.3-21)( )T1(1,2, )rrrCrnMuMw只有當只有當r=s時，時，內內才有值，其余情況均為零，得才有值，其余情況均為零，得3.展開定理展