導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 (2)_第1頁(yè)
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1、知識(shí)點(diǎn):一、 函數(shù)的單調(diào)性(一) 導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性:一般地,設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),則在這個(gè)區(qū)間上,若,則在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù);若,則在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù);若恒有,則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之,若在某區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0);若在某區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0)注意:1、例如:而f(x)在R上遞增.2只有在某區(qū)間內(nèi)恒有,這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).3注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系.(二)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟:1. 確定函數(shù)的定義域; 2. 求導(dǎo)數(shù);3. 在定義域內(nèi)解不等式,解出相應(yīng)的x的范圍;當(dāng)時(shí),在相應(yīng)區(qū)間上為增函

2、數(shù);當(dāng)時(shí)在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù).或者令,求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根。把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)(即的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來(lái),然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間,判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)。4. 寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間.二、函數(shù)的極值(一)函數(shù)的極值的定義一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義,(1) 若對(duì)于附近的所有點(diǎn),都有,則是函數(shù)的一個(gè)極大值,記作;(2)若對(duì)附近的所有點(diǎn),都有,則是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作.極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)極值.在定義中,取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值.(二)求函數(shù)極值的的基本步驟:確定函數(shù)的定義域;求導(dǎo)數(shù);求方程的根;檢查在方

3、程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),則f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,則f(x)在這個(gè)根處取得極小值.(最好通過(guò)列表法)注意: 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).即是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要非充分條件.例如函數(shù)y=x3,在x=0處,但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn). 可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是且在兩側(cè),的符號(hào)相異。三、函數(shù)的最值(一) 函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上必有最大值和最小值;在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.如.注意: 函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得。函數(shù)的極值可以有多個(gè),但最值只有一個(gè)。(

4、二)求函數(shù)最值的的基本步驟:若函數(shù)在閉區(qū)間有定義,在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下:(1)求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù);(2)求方程在內(nèi)的根;(3)求在內(nèi)使的所有點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,;(4)比較上面所求的值,其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值,最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.典型例題:一、單調(diào)性例1、(2010.新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)函數(shù).(1)若(2)變式:設(shè)函數(shù)二、函數(shù)的極值和最值例2、已知函數(shù)(1)設(shè)(2)設(shè)在區(qū)間中至少有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍。變式1:已知是實(shí)數(shù),函數(shù),求在區(qū)間上的最大值.變式2:函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)的圖如圖所示,則

5、函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極小值有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)例3、若函數(shù)處取得極值,求的值。變式:已知函數(shù)是奇函數(shù).(1) 求的表達(dá)式;(2) 討論的單調(diào)性,并求在區(qū)間上的最大值與最小值。三、實(shí)際應(yīng)用例4、為了在廈季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某棟建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度(單位:)滿足關(guān)系:,若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元,設(shè)為隔熱層建造費(fèi)與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求的值及的表達(dá)式(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小,并求最小值變式:某工廠每天

6、生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過(guò)40件,產(chǎn)品的正品率P與日產(chǎn)量件之間的關(guān)系為,每生產(chǎn)一件正品盈利4000元,每出現(xiàn)一件次品虧損2000元.(注:正品率=產(chǎn)品中的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%)(1)將日利潤(rùn)(元)表示成日產(chǎn)量(件)的函數(shù);(2)該廠的日產(chǎn)量為多少時(shí),日利潤(rùn)最大?并求出日利潤(rùn)的最大值。鞏固練習(xí):1、設(shè),若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn),則 ( )A-1 B.-1 C. D.2.函數(shù)有極值的充要條件是 ( )A B.0 C.0 D.3、已知函數(shù),正實(shí)數(shù),若實(shí)數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),那么下列四個(gè)判斷:;其中可能成立的個(gè)數(shù)為 ( )A.1 B.2 C.3 D.44、若函數(shù) ( )A. 最大

7、值為4,最小值為-4; B.最大值為4,無(wú)最小值;C.最小值為-4,無(wú)最大值; D.既無(wú)最大值,也無(wú)最小值。5、若函數(shù)在R上為減函數(shù),則的取值范圍6、若函數(shù)在R上為增函數(shù),則的取值范圍7、函數(shù)(1)若在點(diǎn)處的切線斜率為,求實(shí)數(shù)的值;(2)若在處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。8、設(shè)函數(shù),已知和為的極值點(diǎn).(1)求和的值;(2)討論的單調(diào)性;(3)設(shè),試比較與的大小。課后作業(yè):1、函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間-3,0上的最大值、最小值分別是( ) (A)1,-1 (B)1,17 (C)3,-17 (D)9,-192、設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能的是( )3設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如右圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是( )4函數(shù)f(x)=xlnx(x>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。5函數(shù)y=1+3x-x3的極大值是_,極小值是_。6函數(shù)f(x)=12x-x3在區(qū)間-3,3上的最小值是_ 。7函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x的最大值為_(kāi)。8函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間上的最大值是_。9設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)

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