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文檔簡介

1、知識點:一、 函數的單調性(一) 導數的符號與函數的單調性:一般地,設函數在某個區間內有導數,則在這個區間上,若,則在這個區間上為增函數;若,則在這個區間上為減函數;若恒有,則在這一區間上為常函數.反之,若在某區間上單調遞增,則在該區間上有恒成立(但不恒等于0);若在某區間上單調遞減,則在該區間上有恒成立(但不恒等于0)注意:1、例如:而f(x)在R上遞增.2只有在某區間內恒有,這個函數在這個區間上才為常數函數.3注意導函數圖象與原函數圖象間關系.(二)利用導數求函數單調性的基本步驟:1. 確定函數的定義域; 2. 求導數;3. 在定義域內解不等式,解出相應的x的范圍;當時,在相應區間上為增函

2、數;當時在相應區間上為減函數.或者令,求出它在定義域內的一切實數根。把這些實數根和函數的間斷點(即的無定義點)的橫坐標按從小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數的定義區間分成若干個小區間,判斷在各個小區間內的符號。4. 寫出的單調區間.二、函數的極值(一)函數的極值的定義一般地,設函數在點及其附近有定義,(1) 若對于附近的所有點,都有,則是函數的一個極大值,記作;(2)若對附近的所有點,都有,則是函數的一個極小值,記作.極大值與極小值統稱極值.在定義中,取得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極值指的是函數值.(二)求函數極值的的基本步驟:確定函數的定義域;求導數;求方程的根;檢查在方

3、程根左右的值的符號,如果左正右負,則f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)注意: 可導函數的極值點一定是導函數為0的點,但導數為0的點不一定是極值點.即是可導函數在點取得極值的必要非充分條件.例如函數y=x3,在x=0處,但x=0不是函數的極值點. 可導函數在點取得極值的充要條件是且在兩側,的符號相異。三、函數的最值(一) 函數的最大值與最小值定理若函數在閉區間上連續,則在上必有最大值和最小值;在開區間內連續的函數不一定有最大值與最小值.如.注意: 函數的最值點必在函數的極值點或者區間的端點處取得。函數的極值可以有多個,但最值只有一個。(

4、二)求函數最值的的基本步驟:若函數在閉區間有定義,在開區間內有導數,則求函數在上的最大值和最小值的步驟如下:(1)求函數在內的導數;(2)求方程在內的根;(3)求在內使的所有點的函數值和在閉區間端點處的函數值,;(4)比較上面所求的值,其中最大者為函數在閉區間上的最大值,最小者為函數在閉區間上的最小值.典型例題:一、單調性例1、(2010.新課標全國卷)設函數.(1)若(2)變式:設函數二、函數的極值和最值例2、已知函數(1)設(2)設在區間中至少有一個極值點,求的取值范圍。變式1:已知是實數,函數,求在區間上的最大值.變式2:函數的定義域為區間(a,b),導函數在(a,b)內的圖如圖所示,則

5、函數在(a,b)內的極小值有()A1個 B2個 C3個 D4個例3、若函數處取得極值,求的值。變式:已知函數是奇函數.(1) 求的表達式;(2) 討論的單調性,并求在區間上的最大值與最小值。三、實際應用例4、為了在廈季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某棟建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:)滿足關系:,若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元,設為隔熱層建造費與20年的能源消耗費用之和.(1)求的值及的表達式(2)隔熱層修建多厚時,總費用達到最小,并求最小值變式:某工廠每天

6、生產某種產品最多不超過40件,產品的正品率P與日產量件之間的關系為,每生產一件正品盈利4000元,每出現一件次品虧損2000元.(注:正品率=產品中的正品件數÷產品總件數×100%)(1)將日利潤(元)表示成日產量(件)的函數;(2)該廠的日產量為多少時,日利潤最大?并求出日利潤的最大值。鞏固練習:1、設,若函數有大于零的極值點,則 ( )A-1 B.-1 C. D.2.函數有極值的充要條件是 ( )A B.0 C.0 D.3、已知函數,正實數,若實數是函數的一個零點,那么下列四個判斷:;其中可能成立的個數為 ( )A.1 B.2 C.3 D.44、若函數 ( )A. 最大

7、值為4,最小值為-4; B.最大值為4,無最小值;C.最小值為-4,無最大值; D.既無最大值,也無最小值。5、若函數在R上為減函數,則的取值范圍6、若函數在R上為增函數,則的取值范圍7、函數(1)若在點處的切線斜率為,求實數的值;(2)若在處取得極值,求函數的單調區間。8、設函數,已知和為的極值點.(1)求和的值;(2)討論的單調性;(3)設,試比較與的大小。課后作業:1、函數f(x)=x3-3x+1在閉區間-3,0上的最大值、最小值分別是( ) (A)1,-1 (B)1,17 (C)3,-17 (D)9,-192、設是函數f(x)的導函數,的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能的是( )3設函數f(x)在定義域內可導,y=f(x)的圖象如右圖所示,則導函數的圖象可能是( )4函數f(x)=xlnx(x>0)的單調遞增區間是_。5函數y=1+3x-x3的極大值是_,極小值是_。6函數f(x)=12x-x3在區間-3,3上的最小值是_ 。7函數f(x)=ln(1+x)-x的最大值為_。8函數y=x+2cosx在區間上的最大值是_。9設函數f(x)=ln(2x+3)

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