1、立體幾何第一部分一 本專題高考要求立體幾何是湖北高考理科必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是考查學(xué)生空間想象能力的最好手段。高考對(duì)這一部分的要求是：1.會(huì)讀圖，會(huì)識(shí)圖：能根據(jù)給出的三視圖，能正確地作出幾何體的直觀圖，并能正確地根據(jù)三視圖標(biāo)示出圖中各線段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系；能根據(jù)給出的直觀圖，能正確地判斷出圖中各元素之間的位置關(guān)系。2.會(huì)作圖： 能根據(jù)題中的文字?jǐn)⑹觯?能正確地想象出幾何體， 并能作出正確的幾何直觀圖。3.會(huì)用圖： 能根據(jù)圖中的已知元素之間的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系， 根據(jù)幾何性質(zhì)及相關(guān)定理，能正確地推導(dǎo)出未知元素之間的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系。4.會(huì)計(jì)算：通過(guò)立體幾何中求角（線線角、線面角、面面角）

2、、距離（點(diǎn)面距離）以及表面積及體積的計(jì)算，考出學(xué)生的計(jì)算能力,以及對(duì)圖行進(jìn)行分解組合的能力。二命題預(yù)測(cè)：縱觀 2012、2013 年這兩年的新課標(biāo)湖北理科高考，立體幾何部分題量都是一大一小兩個(gè)，2012 年湖北高考理科第 4 題是已知幾何體的三視圖，計(jì)算其體積，幾何大題為 19 題；2013 年湖北高考理科第 8 題是已知幾何體的三視圖，比較其四部分的體積大小，幾何大題仍為 19 題。因此，我個(gè)人認(rèn)為，2014 年的湖北高考，立體幾何部分，仍然會(huì)是兩個(gè)，一個(gè)大題，一個(gè)小題。大題不外乎證明或判斷幾何體中元素之間的位置關(guān)系，計(jì)算幾何體中的角或體積（距離） ，探究在某條線段上或某個(gè)平面內(nèi)上是否存在某

3、個(gè)點(diǎn)滿足某個(gè)條件（即探索性問(wèn)題） 。像 2013 年高考，幾何大題第二問(wèn)是證明三個(gè)角之間的函數(shù)關(guān)系，在 2014 年高考中，我認(rèn)為出現(xiàn)這樣的題型的可能性不大。立體幾何小題，我個(gè)人預(yù)測(cè)，2014 年高考，將會(huì)還是以三視圖為主，但難度會(huì)有所增加。三考綱變化：從公布的 2014 年湖北高考考試說(shuō)明中，可以看出在立體幾何這一部分中，立體幾何初步中，點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系的考查內(nèi)容， “公理 1、2、3、4 和定理” 調(diào)整為“空間圖形的公理和定理”，層次依然為“了解”；新增加了“異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念”這一部分內(nèi)容，其考查層次是“了解”。我個(gè)人認(rèn)為 2014 年高考立體幾何

4、新增加了空間中三種角的概念的考查內(nèi)容，意在強(qiáng)調(diào)對(duì)這三種角的概念理解，意味著在考查這三種角時(shí)，用幾何法作出角會(huì)較容易求解。故在幾何復(fù)習(xí)中，要強(qiáng)調(diào)用幾何法求這三種角。不能光用向量法求解。四本專題內(nèi)容設(shè)計(jì)：基于考綱和近兩年的湖北新課標(biāo)高考， 本專題擬設(shè)計(jì)兩個(gè)小專題， 一是針對(duì)幾何小題的復(fù)習(xí)，主要以三視圖內(nèi)容為主，兼顧其它；二是針對(duì)幾何大題的復(fù)習(xí)，主要以線、面位置關(guān)系：平行與垂直的判斷與證明，角度與體積的計(jì)算，探索性問(wèn)題這三個(gè)方面為主。針對(duì)小題的復(fù)習(xí)大概 1 課時(shí)，針對(duì)大題的復(fù)習(xí)大概 4 課時(shí)。所選例題、練習(xí)題、訓(xùn)練題，力爭(zhēng)最新，并盡量帶有示范性。第二部分：說(shuō)課稿立體幾何小題2013 年的高考，全國(guó)理

5、科數(shù)學(xué) 19 套試卷中，幾何小題有以下題型：題型題型 1：已知一個(gè)幾何體的三視圖，求幾何體的表面積或體積；或者已知一個(gè)幾何體的三視圖中的兩個(gè)，正確地選擇第三個(gè)或選擇直觀圖； ； 以這種方式考查的省份有新課標(biāo)卷8題，廣東卷 5 題，浙江卷 12 題，遼寧卷 13 題，陜西卷 12，湖北卷 8 題，重慶卷 5 題，四川卷 3，新課標(biāo)卷7 題；以這種方式考查幾何知識(shí)的省份現(xiàn)在仍是大多數(shù)。題型題型 2：用符號(hào)語(yǔ)言給出已知線與面的位置關(guān)系，判斷未知的線與面的位置關(guān)系，以這種方式考查的省份有新課標(biāo)卷4 題，廣東卷 6 題，浙江卷 10 題，特別一提的浙江卷 10 題，給出了幾何新定義，給人耳目一新的感覺(jué)。

6、以這種方式考查符號(hào)語(yǔ)言、線面關(guān)系的省份已經(jīng)不多了。題型題型 3：已知一個(gè)幾何體，或者一個(gè)幾何體的三視圖，求其外接球的半徑或體積，以這種方式考查的省份有福建卷 12 題，遼寧卷 10 題，以這種方式考查幾何知識(shí)的省份也不多了。題型題型 4：求給定幾何體中的指定元素之間的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，以這種方式考查幾何知識(shí)的有山東卷 4 題，江蘇卷 8 題，以這種方式考查幾何知識(shí)的省份也不多了。題型題型 5：用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)考查幾何體的圖形長(zhǎng)度、面積變化，以這種方式考查的省份有北京卷 14 題，安徽卷 15 題，湖南卷 7 題.這種題型有一定難度，要引起注意。題型題型 1：已知一個(gè)幾何體的三視圖，求幾何體的表

7、面積或體積；或者已知一個(gè)幾何體的三視圖中的兩個(gè)，正確地選擇第三個(gè)或選擇直觀圖；例 1.(1)（2012 湖北理 4）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該集合體的體積為A.83B.3C.103D.6解析：選（B） ，由三視圖可知，該幾何體是高為 2 的圓柱與同底面高也為 2 的圓柱的一半。(2) (2013 課標(biāo)全國(guó)，理 8)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168B88C1616D816答案：答案：A解析解析： 由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個(gè)長(zhǎng)方體， 由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑r2，長(zhǎng)為 4，在長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)為 4，寬為 2，高為 2，所以幾何體的體積為r2412422816

8、.故選 A.練習(xí)：1.（2013 湖北理 8）一個(gè)幾何體的三視圖如圖 5113 所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為 V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有()圖 5113AV1V2V4V3BV1V3V2V4CV2V1V3V4DV2V3V1V4解析：由圖知組成該幾何體的從上到下的簡(jiǎn)單幾何體為圓臺(tái)，圓柱，棱柱，棱臺(tái)，其體積分別為 V173，V22，V38，V4283，選 C.3282.（2013四川3） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖12所示， 則該幾何體的直觀圖可以是()37圖 12圖 13答案D解析 根據(jù)三視圖原理，該幾何體上部

9、為圓臺(tái)，下部為圓柱題型題型 2：用符號(hào)語(yǔ)言給出已知線與面的位置關(guān)系，判斷未知的線與面的位置關(guān)系。例 1.（1） （2013 新課標(biāo)理卷 4） 、已知,m n為異面直線，m 平面，n 平面。直線l滿足lm，ln，l，l，則（）（A）/ /且/ /l（B）且l（C）與相交，且交線垂直于l（D）與相交，且交線平行于l答案：D解析本題主要考查空間線面關(guān)系的判定，若/，由題中條件可知nm/，與題中nm,為異面直線矛盾，故 A 錯(cuò)；若l則有nl /，與題設(shè)條件nl 矛盾，故 B 錯(cuò)；由于nm,，則nm,都垂直于,的交線，而nm和是兩條異面直線，可將 m 平移至與 n 相交，此時(shí)確定一個(gè)平面，則,的交線垂直

10、于平面，同理也有l(wèi)，故l平行于,的交線，D 正確 C 錯(cuò)。（2） （2013 浙江理 10） 在空間中，過(guò)點(diǎn) A 作平面的垂線，垂足為 B，記 Bf(A)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn) P，Q1ff(P)，Q2ff(P)，恒有 PQ1PQ2，則()A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為 45C平面與平面平行D平面與平面所成的(銳)二面角為 60答案答案A解析 當(dāng)，且b，設(shè) f(P)A，則 PA，Q1ff(P)f(A)，故 AQ1；同理設(shè) f(P)B，則 PB，Q2ff(P)f(B)，故 BQ2，故 AQ1PB，PABQ2，所以 Q1和 Q2重合，恒有 PQ1PQ2，選擇 A.練

11、習(xí)：3.(2013 廣東理 6) 設(shè) m，n 是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面下列命題中正確的是()A若，m，n，則 mnB若，m，n，則 mnC若 mn，m，n，則D若 m，mn，n，則答案：答案：D解析：解析：選項(xiàng) A 中，m 與 n 還可能平行或異面，故不正確；選項(xiàng) B 中，m 與 n 還可能異面，故不正確；選項(xiàng) C 中，與還可能平行或相交，故不正確；選項(xiàng) D 中，m，mn，n.又 n，.故選 D題型題型 3：已知一個(gè)幾何體，或者一個(gè)幾何體的三視圖，求其外接球的半徑或體積例 3. （2013 遼寧理 10）已知三棱柱111CBAABC 的 6 個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若4, 3ACAB

12、,ABAC112AAO，則球 的半徑為A3 172B2 10C132D3 10答案：答案：C解析：解析：過(guò) C 點(diǎn)作 AB 的平行線，過(guò) B 點(diǎn)作 AC 的平行線，交點(diǎn)為 D，同理過(guò) C1作 A1B1的平行線，過(guò) B1作 A1C1的平行線，交點(diǎn)為 D1，連接 DD1，則 ABCDA1B1C1D1恰好成為球的一個(gè)內(nèi)接長(zhǎng)方體，故球的半徑 r22234121322.故選 C.練習(xí)：4.棱長(zhǎng)為2的正四面體的外接球半徑為。題型題型 4：求給定幾何體中的指定元素之間的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系.（略講）例 4(2013 山東，理 4)已知三棱柱 ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為94，底面是邊長(zhǎng)為3的正三

13、角形 若P為底面A1B1C1的中心， 則PA與平面ABC所成角的大小為()A512B3C4D6答案：答案：B解析解析： 如圖所示， 由棱柱體積為94， 底面正三角形的邊長(zhǎng)為3， 可求得棱柱的高為3.設(shè) P 在平面 ABC 上射影為 O，則可求得 AO 長(zhǎng)為 1，故 AP 長(zhǎng)為22132 故PAO3，即 PA 與平面 ABC 所成的角為3.題型題型 5：用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)考查幾何體的圖形長(zhǎng)度、面積變化例 5.（1） (2013 屆高考湖南理 7) 已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為 1 的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于（）A1B2C2-12D2+12答案：答案：C解析：解析：根

14、據(jù)三視圖中正視圖與俯視圖等長(zhǎng)，故正視圖中的長(zhǎng)為2cos ，如圖所示故正視圖的面積為 S2cos (04)，1S2，而2112，故面積不可能等于212.（2） （2013 屆高考安徽理 15）如圖，正方體1111ABCDABC D的棱長(zhǎng)為 1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段1CC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)QPA,的平面截該正方體所得的截面記為S。則下列命題正確的是_（寫出所有正確命題的編號(hào)） 。當(dāng)102CQ時(shí)，S 為四邊形當(dāng)12CQ 時(shí)，S 為等腰梯形當(dāng)34CQ 時(shí)，S 與11C D的交點(diǎn) R 滿足1113C R 當(dāng)314CQ時(shí)，S 為六邊形當(dāng)1CQ 時(shí)，S 的面積為62答案：答案：解析： 如圖， 設(shè)截面 S 分

15、別與直線1111,DCCCDDCD交于RQNM,。 因?yàn)镻為BD中 點(diǎn) ， 所 以DCABCM, 即M為 定 點(diǎn) ，N為 射 線1DD上 的 動(dòng) 點(diǎn) ， 且CQDN2,PQAN2.通過(guò)確定N點(diǎn)再作出截面 S 與1111,DCDA的交點(diǎn)RS,得到答案。AMC1CQRN1ASD1D1BP（3） （2012 年北京朝陽(yáng)區(qū)二模理 8）有一個(gè)棱長(zhǎng)為 1 的正方體，按任意方向正投影，其投影面積的最大值是（）A1B223C2D3答案：D解析：根據(jù)正方體的對(duì)稱性，不妨研究俯視圖的情況。為表述方便，不妨假設(shè)正方體上有點(diǎn)在投影面內(nèi)，根據(jù)正方體與投影面的公共點(diǎn)的情況，分以下三種情形：情形:1：當(dāng)正方體的一個(gè)面在投影

16、面上時(shí)，俯視圖是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，投影面積為 1；情形 2：當(dāng)正方體的一條棱在投影面上時(shí)，其俯視圖的形狀為矩形，其寬為 1，長(zhǎng)最小為 1，最長(zhǎng)為正方體面對(duì)角線2，故投影面積最大值是2；情形 3：當(dāng)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)在投影面上時(shí)，不妨設(shè)為點(diǎn)A，則面11BBCC、面1111DCBA、和面11CCDD的投影與面ABCD、面11AADD和面11AABB的投影相互重疊，其投影面為六邊形111DDCBBA，易知DCBA、11ABBA和11ADDA均為平行四邊形，其面積之和等于DBA1面積的 2 倍。當(dāng)1AC垂直于投影面，即DBA1平行于投影面時(shí)，其投影六邊形面積最大，為正三角形DBA1面積的 2 倍，即

17、3。綜合上述三種情形，邊長(zhǎng)為 1 的正方體正投影面積的最大值為3，選 D。練習(xí)：6.已知正三棱柱 ABCABC的正視圖和側(cè)視圖如圖所示設(shè)ABC，ABC的中心分別是 O，O，現(xiàn)將此三棱柱繞直線 OO旋轉(zhuǎn)，射線 OA 旋轉(zhuǎn)所成的角為 x 弧度(x 可以取到任D1DABC1B1A1CD1DABC1B1A意一個(gè)實(shí)數(shù))，對(duì)應(yīng)的俯視圖的面積為 S(x)，則函數(shù) S(x)的最大值為_；最小正周期為_答案 83解析 由三視圖還原可知，原幾何體是一個(gè)正三棱柱橫放的狀態(tài)，則俯視圖對(duì)應(yīng)的是一個(gè)矩形，由旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可知 S(x)取得最大值時(shí)俯視圖的投影是長(zhǎng)為 4，寬為 2 的矩形，即S(x)max8，又每旋轉(zhuǎn)3個(gè)單位又

18、回到初始狀態(tài)，故周期為3.第三部分：立體幾何小題訓(xùn)練題1.一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖可以為()解析：由正視圖與俯視圖可知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體被截去一個(gè)三棱錐而形成的，其形狀如圖所示：故該幾何體的側(cè)視圖可以為 B.2. （2014 屆高三武漢武昌區(qū)元月 6）已知以下三視圖中有三個(gè)同時(shí)表示某一個(gè)三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖是答案：D3.（2014 屆高三武漢二月調(diào)考 11）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為答案：32 34.（2014 屆高三湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考 6）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長(zhǎng)為 2 的

19、等邊三角形，其正視圖(如圖所示)的面積為 8，則側(cè)視圖的面積為A. 8B. 4C.4 3D.3答案：C5.（2013 遼寧理 13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是.答案1616解析:直觀圖是圓柱中抽出正四棱柱。V 222424 16166.（2012 遼寧理 13）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_答案為：38解析解析：由三視圖可以看出該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體從中間挖掉了一個(gè)圓柱， 長(zhǎng)方體表面積為 2(43+31+41)38，圓柱的側(cè)面積為 2，上下兩個(gè)底面積和為 2，所以該幾何體的表面積為 38+2238正視圖117.（2012 湖南理 3）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖

20、均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）答案為：D8.（2013 新課標(biāo)理7）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz 中的坐標(biāo)分別是（1，0，1） ， （1，1，0） ， （1，1，1） ， （0，0，0） ，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以 zOx 平面為投影面，則得到正視圖可以為答案：A解析:該題考查三視圖與空間坐標(biāo)系綜合應(yīng)用，由點(diǎn)確定的坐標(biāo)可以確定該圖的直觀圖如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 的圖像為下圖：則它在平面 zOx 上的投影即正視圖為，故選 A.9.（2013 浙江理 12）若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖 13 所示，則此幾何體的體積等于_cm3.圖

21、13答案答案24解析 此幾何體知直觀圖是一個(gè)直三棱柱挖去一個(gè)三棱錐而得，如圖所示，則體積為12345131234324.10.(2013 廣東理 5)某四棱臺(tái)的三視圖如圖 1 所示，則該四棱臺(tái)的體積是A4BCD6答案：答案：B解析：解析：方法一：由三視圖可知，原四棱臺(tái)的直觀圖如圖所示，其中上、 下底面分別是邊長(zhǎng)為 1,2 的正方形， 且 DD1面 ABCD， 上底面面積 S1121，下底面面積 S2224.又DD12，V臺(tái)13(S112S SS2)h13(11 44)2143.方法二：由四棱臺(tái)的三視圖，可知原四棱臺(tái)的直觀圖如圖所示在四棱臺(tái) ABCDA1B1C1D1中，四邊形 ABCD 與四邊形

22、 A1B1C1D1都為正方形，AB2，A1B11，且 D1D平面 ABCD，D1D2.分別延長(zhǎng)四棱臺(tái)各個(gè)側(cè)棱交于點(diǎn) O，設(shè) OD1x，因?yàn)镺D1C1ODC，所以111ODDCODDC，即122xx，解得 x2.1 1 11ABCD A B C DVV棱錐OABCD1 1 11O A B C DV棱錐1322413112143.11.棱長(zhǎng)為2的正四面體，按任意方向正投影，其投影面積的最大值是。12(2013 北京，理 14)如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，E 為 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在線段 D1E 上，點(diǎn) P 到直線 CC1的距離的最小值為_答案：答案：2 55解析：

23、解析：過(guò) E 點(diǎn)作 EE1垂直底面 A1B1C1D1，交 B1C1于點(diǎn) E1，連接 D1E1，過(guò) P 點(diǎn)作 PH 垂直于底面 A1B1C1D1，交 D1E1于點(diǎn) H，P 點(diǎn)到直線 CC1的距離就是 C1H，故當(dāng) C1H 垂直于 D1E1時(shí)，P 點(diǎn)到直線 CC1距離最小，此時(shí)，在 RtD1C1E1中，C1HD1E1，D1E1C1HC1D1C1E1，C1H22 555.13.（2013 年北京朝陽(yáng)區(qū)高二期末考試 8）在正方體1111DCBAABCD 中，P是正方體的底面1111DCBA（包括邊界）內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，Q是正方體的底面ABCD（包括邊界）內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),線段CA1與線段PQ相交且互相平分，則使得

24、四邊形QCPA1面積最大的點(diǎn)P有（）A1個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D無(wú)數(shù)個(gè)答案：C14. 如圖所示，三棱錐 PABC 的高 PO8，ACBC3，ACB30，M，N 分別在 BC和 PO 上，且 CMx，PN2x(x(0，3)，圖 51114 中的四個(gè)圖像大致描繪了三棱錐 NAMC 的體積 V 與 x 的變化關(guān)系，其中正確的是()解析ASABC323sin 3094， V三棱錐PABC139486， x0， V三棱錐NAMC0， SAMC123xsin 3034x(x(0，3)，V三棱錐NAMC1334x(82x)12x(4x)(x(0，3)是拋物線的一部分，故選 A.第四部分：立體幾何大題例 1。 （

25、2012 湖北理 19） （本小題滿分 12 分）如圖 1，ACB=45，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn) A 作 ADBC，垂足 D 在線段 BC 上且異于點(diǎn) B，連接 AB，沿 AD 將ABD 折起，使BDC=90（如圖 2 所示） ，（1）當(dāng) BD 的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐 A-BCD 的體積最大；（2）當(dāng)三棱錐 A-BCD 的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn) E，M 分別為棱 BC，AC 的中點(diǎn)，試在棱 CD上確定一點(diǎn) N，使得 ENBM，并求 EN 與平面 BMN 所成角的大小練習(xí)：1. （2014 屆高三武漢市二月調(diào)考理 19）如圖， 在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1C1C 是邊長(zhǎng)為 4 的正方形， 平面

26、ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5（）求直線 B1C1與平面 A1BC1所成角的正弦值；（）在線段 BC1上確定一點(diǎn) D，使得 ADA1B，并求BDBC1的值解： （）AA1C1C 為正方形，AA1AC平面 ABC平面 AA1C1C，AA1平面 ABC，AA1AC，AA1AB由已知 AB3，BC5，AC4，ABAC如圖，以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz，則 B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，A1B(0，3，4)，A1C1(4，0，0)，B1C1(4，3，0)設(shè)平面 A1BC1的法向量為 n(x，y，z)，則nA1B0，nA1C10即

27、3y4z0，4x0令 z3，則 x0，y4，n(0，4，3)設(shè)直線 B1C1與平面 A1BC1所成的角為，則sin|cosB1C1，n|B1C1n|B1C1|n|34551225故直線 B1C1與平面 A1BC1所成角的正弦值為12256 分（）設(shè) D(x，y，z)是線段 BC1上一點(diǎn)，且BDBC1（0，1） ，(x，y3，z)(4，3，4)，x4，y33，z4，AD(4，33，4)又A1B(0，3，4)，由ADA1B0，得 3(33)440，即 9250，解得9250，1故在線段 BC1上存在點(diǎn) D，使得 ADA1B此時(shí)BDBC1925 12 分2： 如圖所示，在三棱錐 PABC 中，ABA

28、C，D 為 BC 的中點(diǎn)，PO 丄平面 ABC，垂足 O 落在線段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：AP 丄 BC；(2)在線段 AP 上是否存在點(diǎn) M，使得二面角 AMCB 為直二面角？若存在，求出 AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：方法一，(1)以 O 為原點(diǎn)，以射線 OP 為 z 軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Oxyz，則 O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)，AP(0，3，4)，BC(8，0，0)，由此可得APBC0，所以APBC，即 APBC.(2)設(shè)PMPA，1，則PM(0，3，4)，BMB

29、PPMBPPA(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)AC(4，5，0)，BC(8，0，0)設(shè)平面 BMC 的法向量為 n1(x1，y1，z1)，平面 APC 的法向量 n2(x2，y2，z2)由BMn10，BCn10，得4x1（23）y1（44）z10，8x10，即x10，z12344y1，可取 n10，1，2344 .由APn20，ACn20即3y24z20，4x25y20，得x254y2，z234y2，可取 n2(5，4，3)由 n1n20，得 4323440，解得25，故 AM3.綜上所述，存在點(diǎn) M 符合題意，AM3.方法二，(1)證明：由 ABAC，D 是 BC 的中點(diǎn)，得

30、ADBC.又 PO平面 ABC，得 POBC.因?yàn)?POADO，所以 BC平面 PAD，故 BCPA.(2)如圖所示，在平面 PAB 內(nèi)作 BMPA 于點(diǎn) M，聯(lián)結(jié) CM，由(1)知 APBC，得 AP平面BMC.又 AP平面 APC，所以平面 BMC平面 APC.在 RtADB 中，AB2AD2BD241，得 AB 41.在 RtPOD 中，PD2PO2OD2，在 RtPDB 中，PB2PD2BD2，所以 PB2PO2OD2DB236，得 PB6.在 RtPOA 中，PA2AO2OP225，得 PA5.又 cos BPAPA2PB2AB22PAPB13，從而 PMPBcos BPA2，所以

31、AMPAPM3.綜上所述，存在點(diǎn) M 符合題意，AM3.例 2 （2013 湖北理 19） 如圖所示， AB 是圓 O 的直徑， 點(diǎn) C 是圓 O 上異于 A，B 的點(diǎn)，直線 PC平面 ABC，E，F(xiàn) 分別是 PA，PC 的中點(diǎn)(1)記平面 BEF 與平面 ABC 的交線為 l，試判斷直線 l 與平面 PAC 的位置關(guān)系，并加以證明；(2)設(shè)(1)中的直線 l 與圓 O 的另一個(gè)交點(diǎn)為 D， 且點(diǎn) Q 滿足DQ12CP.記直線 PQ 與平面ABC 所成的角為，異面直線 PQ 與 EF 所成的角為，二面角 ElC 的大小為，求證：sin sin sin .解： (1)直線 l平面 PAC，證明如

32、下：聯(lián)結(jié) EF，因?yàn)?E，F(xiàn) 分別是 PA，PC 的中點(diǎn)，所以 EFAC.又 EF 平面 ABC，且 AC平面 ABC，所以 EF平面 ABC.而 EF平面 BEF，且平面 BEF平面 ABCl，所以 EFl.因?yàn)?l 平面 PAC，EF平面 PAC，所以直線 l平面 PAC.(2)方法一：(綜合法)如圖，聯(lián)結(jié) BD，由(1)可知交線 l 即為直線 BD，且 lAC.因?yàn)?AB 是O 的直徑，所以 ACBC，于是 lBC.已知 PC平面 ABC，而 l平面 ABC，所以 PCl，而 PCBCC，所以 l平面 PBC.聯(lián)結(jié) BE，BF，因?yàn)?BF平面 PBC，所以 lBF，故CBF 就是二面角

33、ElC 的平面角，即CBF.由DQ12CP，作 DQCP，且 DQ12CP.聯(lián)結(jié) PQ，DF，因?yàn)?F 是 CP 的中點(diǎn)，CP2PF，所以 DQPF，從而四邊形 DQPF 是平行四邊形，PQFD.聯(lián)結(jié) CD，因?yàn)?PC平面 ABC，所以 CD 是 FD 在平面 ABC 內(nèi)的射影，故CDF 就是直線 PQ 與平面 ABC 所成的角，即CDF.又 BD平面 PBC，有 BDBF，知BDF 為銳角， 故BDF 為異面直線 PQ 與 EF 所成的角， 即BDF， 于是在 RtDCF， RtFBD，RtBCF 中，分別可得 sin CFDF，sin BFDF，sin CFBF，從而 sin sin BF

34、DFCFBFCFDFsin ，即 sin sin sin .方法二：(向量法)如圖，由DQ12CP，作 DQCP，且 DQ12CP.聯(lián)結(jié) PQ，EF，BE，BF，BD，由(1)可知交線 l 即為直線 BD.以點(diǎn) C 為原點(diǎn)，向量CA， CB，CP所在直線分別為 x，y，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) CAa，CBb，CP2c，則有 C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，P(0，0，2c)，Q(a，b，c)，E12a，0，c，F(xiàn)(0，0，c)，于是FE12a，0，0，QP(a，b，c)，BF(0，b，c)，所以 cos |FEQP|FE|QP|aa2b2c2，從而 si

35、n 1cos2b2c2a2b2c2.又取平面 ABC 的一個(gè)法向量為 m(0，0，1)，可得 sin |mQP|m|QP|ca2b2c2.設(shè)平面 BEF 的一個(gè)法向量為 n(x，y，z)，所以由nFE0，nBF0，可得12ax0，bycz0，取 n(0，c，b)，于是|cos |mn|m|n|bb2c2，從而 sin 1cos2cb2c2.故 sin sin b2c2a2b2c2cb2c2ca2b2c2sin ，即 sin sinsin.練習(xí) 3如圖所示，在直角梯形 ABCP 中，ABBC3，AP7，CDAP 于點(diǎn) D.現(xiàn)將PCD 沿線段 CD 折成 60的二面角 PCDA，設(shè) E，F(xiàn)，G 分

36、別是 PD，PC，BC 的中點(diǎn)(1)求證：PA平面 EFG；(2)若 M 為線段 CD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn) M 在什么位置時(shí)，直線 MF 與平面 EFG 所成的角最大？并求此最大角的余弦值解：(1)證明：ADCD，PDCD，CD平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD.過(guò) P 作 AD 的垂線，垂足為 O，則 PO平面 ABCD.過(guò) O 作 BC 的垂線，交 BC 于點(diǎn) H，分別以 OH，OD，OP 為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，PDO 是二面角 PDCA 的平面角，PDO60.又PD4，OP23，OD2，AO1，解：(1)證明：ADCD，PDCD，CD平面 PAD，平面 PA

37、D平面 ABCD.過(guò) P 作 AD 的垂線，垂足為 O，則 PO平面 ABCD.過(guò) O 作 BC 的垂線，交 BC 于點(diǎn) H，分別以 OH，OD，OP 為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，PDO 是二面角 PDCA 的平面角，PDO60.又PD4，OP23，OD2，AO1，得 A(0，1，0)，P(0，0，23)，D(0，2，0)，E(0，1， 3)，F(xiàn)32，1， 3，G3，12，0，故EF32，0，0，EG3，12， 3，設(shè)平面 EFG 的一個(gè)法向量為 n(x，y，z)，則nEF0，nEG0，即32x0，3x12y 3z0，取 z1，得 n(0，23，1)，而PA(0，1，23)，

38、nPA023230，nPA.又 PA 平面 EFG，故 PA平面 EFG.(2)設(shè) M(x，2，0)，則MF32x，1， 3，設(shè) MF 與平面 EFG 所成的角為，則 sin |cosn， MF|nMF|n|MF|331332x24，故當(dāng) x32時(shí)，sin 取到最大值，則取到最大值，此時(shí)點(diǎn) M 為線段 CD 的中點(diǎn)，MF 與平面 EFG 所成角的余弦值 cos 51326練習(xí) 4：（2014 屆高三湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考 17）如圖， 平面 ABCD平面 ADEF， 其中 ABCD 為矩形， ADEF為梯形， AFDE，AFFE，AFAD2 DE2() 求異面直線 EF 與 BC 所成角的大小；() 若二面角 ABFD 的平面角的余弦值為13，求 AB 的長(zhǎng)解析() 延長(zhǎng) AD，F(xiàn)E 交于 Q因?yàn)?ABCD 是矩形，所以 BCAD，所以AQF 是異面直線 EF 與 BC 所成的角在梯形 ADEF 中，因?yàn)?DEAF，AFFE，AF2，DE