1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目 錄第一講 邏輯推理初步2第二講 循環(huán)小數(shù)化分數(shù)4第三講 分數(shù)計算（一）10第四講 分數(shù)計算（二）13第五講 分數(shù)、百分數(shù)應用題（一）17第六講 分數(shù)、百分數(shù)應用題（二）22第七講 生活中的經(jīng)濟問題27第八講 工程問題29第九講 圓的周長與面積32第十講 不定方程40第一講 邏輯推理初步學習提示：本講主要是邏輯推理問題，這類問題很少依賴數(shù)學概念、法則、公式進行計算，而主要是根據(jù)某些條件、結論以及它們之間的邏輯關系進行判斷推理，最終找到問題的答案，像這樣的問題我們稱之為邏輯推理問題。典型題解下面介紹一些邏輯推理問題以及邏輯推理的基本方法和基本技巧。例1 我國有“三山五

2、岳”之說，其中五岳是指：東岳泰山，南岳衡山，西岳華山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老師拿出這五座山的圖片，并在圖片上標出數(shù)字，他讓五位同學來辨別，每人說出兩個。學生回答如下：甲：2是泰山 ，3是華山 乙：4是衡山，2是嵩山 丙：1是衡山，5是恒山丁：4是恒山，3是嵩山 戊：2是華山，5是泰山。老師發(fā)現(xiàn)五個同學都只說對了一半，那么正確的說法是什么呢？例2 甲乙丙三人對小強的藏書數(shù)目做了一個估計，甲說：“他至少有1000本書”。乙說：“他的書不到1000本”。丙說：“他至少有一本書”。這三個估計只有一句是對的，那么小強究竟有多少本書？例3 從前有三個和尚，一個講真話，一個講假話，另一個有時講真話，有時

3、講假話。一天，一位智者遇到這三個和尚，他問第一個和尚：“你后面是哪一個和尚？”和尚回答：“講真話的”。他又問第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有時講真話，有時講假話”。他問第三位和尚：“你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答說：“講假話的”。根據(jù)他們的回答，智者很快分清了他們各自是哪一位和尚，請你說出智者的答案。例4 桌上放了8張撲克牌，都背向上，牌放置的位置如圖所示。現(xiàn)已知：（1）每張都是A、K、Q、J中的一張；（2）這8張牌中至少有一張Q；（3）其中只有一張A；（4）所有的Q都夾在兩張K之間；（5）至少有一張K夾在兩張J之間；（6）J和Q互不相鄰，A和K也互不相鄰；（7）至少有兩張K

4、相鄰。則圖中的8張牌各是什么牌？例5 一天，一位老師讓學生來分辨五位科學家的畫像，老師把畫像從1到5編了好，讓各個學生說出其中任意兩位科學家的名字：張三說：“2號是牛頓，3號是伽利略” 李四說：“1號是瓦特，2號是愛因斯坦”王五說：“3號是愛因斯坦，5號是瓦特”許六說：“2號是牛頓，4號是哥白尼”陳七說：“4號是哥白尼，1號是伽利略”老師聽后，發(fā)現(xiàn)每人都只說對了一半，試問這幾位科學家的畫像分別是幾號？例6 在一次有3人參加的講話中，小張指責小王和小李：“你們都在說謊。”小李卻說：“小張正在說謊。”小王則說：“小李正在說謊。”試判斷他們誰講的是真話，誰講的是假話？例7 有三名工人，一名是電工，一

5、名是車工，一名是鉗工。又知道下面三種說法只有一種是對的：（1）甲是車工（2）乙不是車工（3）丙不是鉗工請問他們各是什么工種？例8 有四人打橋牌（牌中不含大、小王，每人共13張牌），已知某人手中的牌如下：（1）紅桃、黑桃、方塊、梅花四種花色的牌都有；（2）各種花色的牌，張數(shù)不同；（3）紅桃和黑桃共有6張；（4）紅桃和方塊共有5張；（5）有兩張主牌（將牌）問這手牌以什么花色為主牌？邏輯推理的特點就是條件繁多、錯綜復雜、縱橫交錯。如何從復雜的條件中選準突破口，層層剖析，步步逼近，逐漸向結論靠攏，這是解決這類問題的關鍵，因此我們在推理的過程中有時常采用列表的方法將條件當中的一些信息進行分類的用各類符號

6、表示各種條件，然后運用幾何直觀把錯綜復雜的條件變的一目了然，答案也就找到了。例9 同住一間宿舍的A、B、C、D四名女大學生，正在聽一組樂曲。她們當中有一人在修指甲，一人在做頭發(fā)，一人在化妝，另一人在看書。已知：（1）A不在修指甲，也不在看書 （2）B不在化妝，也不在修指甲 （3）如果A補在化妝，那么C不在修指甲 （4）D不在看書，也不在修指甲。問她們各自在做什么？例10 在一個年級里，甲、乙、丙三位老師分別講授數(shù)學、物理、化學、生物、語文、歷史，每位老師教兩門課。現(xiàn)知道：（1）化學老師和數(shù)學老師住在一起，（2）甲老師是三位老師中最年輕的，（3）數(shù)學老師和丙老師是一對優(yōu)秀的國際象棋手，（4）物理

7、老師比生物老師年長，比乙老師年輕，（5）三人中最年長的老師住家比其他二位老師遠。問甲乙丙三位老師分別教哪兩門課？例11 A、B、C、D四人分別掌握英、法、德、日四種語言中的兩種，其中有三人會說英語，但沒有一種語言四個人都會，并且知道：沒有人既會日語又會法語，A會日語，而B不會，但他們可以用另一種語言交談。C不會德語，A和D交談時，需要C為他們做翻譯，B、C、D不會同一種語言，請說出四人分別掌握哪種語言？例12 甲、乙、丙、丁、戊五人各自從圖書館借來一本小說，他們約定讀完后互相交換，經(jīng)過數(shù)次交換后，他們五人每人都讀完了這五本書。現(xiàn)已知：（1）甲最后讀的書是乙讀的第二本，（2）丙讀的第二本甲在一開

8、始就讀了，（3）丙最后讀的書是乙讀的第四本，（4）丁讀的最后一本是丙讀的第三本，（5）乙讀的第四本是戊讀的第三本，（6）丁第三次讀的書是丙開始讀的那一本。請判斷出讀這五本書的順序。例13 小東，小蘭，小英讀書的學校分別是一中、二中、三中，他們各自愛好游泳、籃球、排球中的一項體育運動，但誰愛哪項運動，在哪個學校讀書還不清楚，只知道：（1）小東不在一中，（2）小蘭不在二中，（3）愛好排球的不在三中，（4）愛好游泳的在一中，（5）愛好游泳的不是小蘭，你能弄清楚他們各自讀書的學校和愛好的運動項目嗎？例14 賓館里住著A、B、C、D、E、F六個不同國籍的客人，他們來自美、英、法、德、俄國和意大利，現(xiàn)在知

9、道：（1）A和美國人是醫(yī)生，（2）E和俄國人是教師（3）C和德國人是工程師 （4）B和F都曾是運動員（5）而德國人從來不愛運動（6）法國人比A年齡要大（7）C比意大利人年齡小 （8）B同美國人到英國去旅行（9）C同法國人要到瑞士去度假。問：A、B、C、D、E、F各是哪國人？第二講 循環(huán)小數(shù)化分數(shù)學習提示：在進行分數(shù)和小數(shù)的大小比較以及分數(shù)、小數(shù)的混合運算中，常常要把分數(shù)化成小數(shù)，或者把小數(shù)化成分數(shù)。所以，理解和掌握分數(shù)和小數(shù)互化的方法，不僅可以溝通分數(shù)和小數(shù)的聯(lián)系，深刻理解分數(shù)、小數(shù)的意義，而且可以為學習分數(shù)、小數(shù)的混合運算打好基礎。從本質(zhì)上看，小數(shù)（這里指有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，不包括無限不

10、循環(huán)小數(shù)）可以看作分數(shù)的另一種表示形式，所以分數(shù)和小數(shù)可以互化。典型題解一、 循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)1、 純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)從小數(shù)點后面第一位就循環(huán)的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)。怎樣把它化成分數(shù)呢？看下面例題。例1把純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)： 從以上例題可以看出，純循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分數(shù)，這個分數(shù)的分子是一個循環(huán)節(jié)表示的數(shù)，分母各位上的數(shù)都是9，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。能約分的要約分。2、 混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)不是從小數(shù)點后第一位就循環(huán)的小數(shù)叫混循環(huán)小數(shù)。怎樣把混循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)呢？看下面的例題。例2 把混循環(huán)小數(shù)化分數(shù) 由以上例題可以看出，一個混循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分數(shù)，這個分數(shù)的分子是第二個循環(huán)節(jié)以

11、前的小數(shù)部分組成的數(shù)與小數(shù)部分中不循環(huán)部分組成的數(shù)的差。分母的頭幾位是9，末幾位是0。9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)中的位數(shù)相同，0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。練習：1、化純循環(huán)小數(shù)為分數(shù)。2、 化下列混循環(huán)小數(shù)為分數(shù)。二、 循環(huán)小數(shù)的四則運算 循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)后，循環(huán)小數(shù)的四則運算就可以按分數(shù)四則運算法則進行。從這種意義上來講，循環(huán)小數(shù)的四則運算和有限小數(shù)四則運算一樣，也是分數(shù)的四則運算。例3 計算下面各題：解：先把循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)后計算。三、 循環(huán)小數(shù)作加法 循環(huán)小數(shù)能直接作加法運算嗎？（1） 有限小數(shù)加循環(huán)小數(shù)考察下面的例子。計算： 目前我們只能將這些小數(shù)都化成分數(shù)才能算出結果。 現(xiàn)在，根據(jù)下面的提

12、示，直接觀察每個算式于最后結果之間的關系，希望你能從中發(fā)現(xiàn)直接運算的法則。怎么樣？發(fā)現(xiàn)了什么直接算的規(guī)則了嗎？請歸納出來。我們利用類似的方法還可以去研究其他的幾種情形。（2） 兩個循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的純循環(huán)小數(shù)相加。考察下面的一些例子。 再試試直接列豎式結果會怎樣？能歸納出直接運算的法則了嗎？（3） 兩個循環(huán)節(jié)位數(shù)不相等的純循環(huán)小數(shù)相加。考察下面的例子：再試試直接列豎式結果會怎樣？能歸納出直接運算的法則了嗎？如果能得出以上三種情形的運算法則的話，那么，利用這些法則去直接計算混循環(huán)小數(shù)之間的加法運算就不是一件難事了。 規(guī)律（1） 有限小數(shù)家循環(huán)小數(shù)，和仍然是個循環(huán)小數(shù)。其循環(huán)節(jié)跟原加數(shù)的循環(huán)節(jié)相同。

13、法則是：用有限小數(shù)跟循環(huán)小數(shù)的非循環(huán)部分對應數(shù)位相加，循環(huán)小數(shù)的非循環(huán)部分不夠時，就用第一個循環(huán)節(jié)、第二個循環(huán)節(jié)補足再相加，用這個和作和的非循環(huán)部分，原來加數(shù)的循環(huán)節(jié)仍作和的循環(huán)節(jié)。（2） 兩個循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的純循環(huán)小數(shù)相加，和仍然是個循環(huán)小數(shù)。法則是：用兩個循環(huán)節(jié)相加的和除于999（其中9的個數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)），商作和的整數(shù)部分，余數(shù)作小數(shù)部分的循環(huán)節(jié)（若余數(shù)位數(shù)不夠原加數(shù)循環(huán)節(jié)的位數(shù)時，就在余數(shù)的前面補足“0”作循環(huán)節(jié)）。（3） 兩個循環(huán)節(jié)位數(shù)不同的純循環(huán)小數(shù)相加，和仍然是個循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的位數(shù)是兩個加數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù)。方法是：先把兩個加數(shù)改成循環(huán)節(jié)位數(shù)相同（兩加數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)

14、的最小公倍數(shù)）而大小不變的循環(huán)小數(shù)，再按照法則（2）進行計算。練習1 直接計算下列各題 2 直接計算下列各題 3 將分數(shù)化成小數(shù)計算 四、 循環(huán)小數(shù)與整數(shù)作乘法我們已經(jīng)知道，循環(huán)小數(shù)之間可以作加法運算。由于一個數(shù)乘以整數(shù)就是求幾個相同數(shù)連加的簡便運算，因此，找出循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的運算法則是完全可能的。下面分兩種情形來討論。（1） 純循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)。考察下面例子： 再試試直接列豎式結果會怎樣？能歸納出直接運算的法則了嗎？（2） 混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)。混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)可以轉化為純循環(huán)小數(shù)進行計算。例如，計算 任何一個混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的試題都可以利用類似的方法轉化，不是嗎？請歸納出法則。 規(guī)律（

15、1） 純循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)，積仍然是個純循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的位數(shù)跟原循環(huán)小數(shù)中的循環(huán)節(jié)位數(shù)相同。法則是：用循環(huán)節(jié)乘以整數(shù)的積除以999（其中9的個數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)），商作積的整數(shù)部分，余數(shù)作積的循環(huán)節(jié)。（2） 混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)，先將混循環(huán)小數(shù)擴大一定的倍數(shù)，使它變成純循環(huán)小數(shù)，按照純循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的法則算出積，再將所得的積縮小同樣的倍數(shù)，就得到混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的積。練習1、 計算下列各題 2、 計算 第三講 分數(shù)計算（一） 學習提示：在分數(shù)四則混合運算中，按照四則運算的順序進行計算的同時，如果能夠根據(jù)數(shù)據(jù)特點靈活運用定律，可以使計算更簡便、迅速。這一點在一定程度上反映一個人智商的高低和知

16、識掌握的靈活程度。典型題解 例1 分析 我們在五年級學過數(shù)的整除，看到209、119、195這樣的數(shù)，不難想起7、11、13、19等質(zhì)數(shù)，3.003好象與1001有關系，它可是有7、11、13這三個質(zhì)因數(shù)，好象能約分，可以試一試。 = 太好了，約完分正好等于1。看到一個數(shù)字，你能想起哪些數(shù)學知識，這也可以說是數(shù)感吧！例2 分析：數(shù)太大了，不妨用常規(guī)方法計算一下，先把帶分數(shù)化成假分數(shù)。分母，這算式可以運用乘法分配律等于，又可以約分。 真好，又等于1。聰明的同學們，如果你的數(shù)感很強的話，不難看出的被除數(shù)與除數(shù)都含有2004，把他們同時除于2004得到也是很好算的，這一方法就留給你們吧！例3 分析

17、算式是乘加乘的形式，有可能運用乘法分配律，第一個乘法算式與第三個乘法算式中分別有兩個因數(shù)7.9和2.1，但是另一個因數(shù)不相同，可以把44.3拆成31.8與12.5的和后反復運用乘法分配律。 怎么樣，合理運用和、差、積、商的變化規(guī)律進行拆分、轉化創(chuàng)造條件運用運算定律，可以使計算變的簡單吧。例4 分析 看起來數(shù)很大、很復雜，但排列很有規(guī)律性。自不用說，哇！分母也有這一規(guī)律，用乘法分配律又可以約分了。 例5 其實此題運用的就是例3中拆數(shù)的方法，正反運用乘法分配律。分數(shù)計算千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，除了要掌握分數(shù)運算的計算法則、定律、性質(zhì)外，還要有以下兩種意識：1、 約分。約簡分子、分母中的公因數(shù)及公

18、因式。2、 靈活運用定律、性質(zhì)。這里說的主要是運用乘法分配律。對于形如乘加(減)乘的算式及乘法算式，有一個因數(shù)可以湊整時，分析另一個因數(shù)的特點，必要時進行拆分，從而使用乘法分配律進行簡便計算。同學們，通過以上講解，不知對你是否有些啟發(fā)，試一下怎么樣。課后自測：第四講 分數(shù)計算（二）學習提示在五年級的課本中，我們就學習過這樣的題目：，如果直接通分計算，是對的，但是顯然很麻煩。我們可以把每一個分數(shù)拆分為兩個單位分數(shù)的差來計算：原式=。通過拆分，使得一部分分數(shù)相互抵消，從而簡便計算。兩千多年前，古埃及人總喜歡把分數(shù)轉化為分子是1的分數(shù)來計算，所以后人常把分子是1的分數(shù)叫做埃及分數(shù)。埃及分數(shù)在分數(shù)計算

19、中有著重要的規(guī)律。如這一講，我們就來研究通過分數(shù)的拆分，計算較復雜的分數(shù)計算題。典型題解例1、分析 每項分子都是1，分母都是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以每項都可以拆成兩個單位分數(shù)的差，一部分分數(shù)相互抵消，從而使計算簡便。解答 原式 怎么樣，夠簡單吧。例2、分析 每項分子都是1，分母排列很有規(guī)律，但不是連續(xù)的自然數(shù)，差均為3，拆分時不要忘了每一項都乘以解答 原式= 例3、分析 哇！數(shù)太大了吧。別急！仔細看看，分子可都是2004，不就可以看成2004乘分子都是1的分數(shù)了嗎。那分母呢？，分母是兩個差是4的自然數(shù)的乘積形式，可以拆分分數(shù)了。不過，可別忘了2004乘解答 原式 題目的形式變了，可逃不脫同學

20、們敏銳的觀察力，總可以轉化成我們學習過的形式。藝高人膽大，膽大可還要心細喲！例4、分析 這道題的每一項的分子都是1，分母均為3個連續(xù)自然數(shù)相乘的形式，可以用拆分分數(shù)的方法。怎么拆？比如第一項：，依此類推，噢對了，別忘了三個連續(xù)自然數(shù)都乘解答 原式 例5、分析 沒見過這么復雜的題，太難了！沒關系，找不到思路的話可以一項一項的試算一下看有沒有什么規(guī)律： 發(fā)現(xiàn)了，發(fā)現(xiàn)了，都可以轉化為分子都是2，而分母是兩個連續(xù)自然數(shù)乘積的形式，那么最后一項就是，就如同例3，可以拆分分數(shù)了。解答 原式 怎么樣，還不算難把。靈活利用埃及分數(shù)的拆分規(guī)律，可以簡便這一些看起來很復雜的分數(shù)數(shù)列計算。但要特別注意以下幾點：1、

21、 認真審題。找準規(guī)律，靈活應用簡算方法。2、 對于比較陌生的題目，可采用試算找規(guī)律的方法，轉化為學習過的題目。3、 掌握基本方法的同時，勇于創(chuàng)新，尋找新的解題方法。好了，開始我們的練習，在練習中鞏固你學會的方法，并開始你新的探索！課后自測：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、第五講 分數(shù)百分數(shù)應用題（一）學習提示： 分數(shù)，百分數(shù)應用題是小學數(shù)學的重要內(nèi)容，也是小學數(shù)學的重點和難點之一。學好分數(shù)，百分數(shù)應用題對發(fā)展能力，提高解題技能，具有非常重要的作用。解答分數(shù)，百分數(shù)應用題的關鍵是確定單位“1”，能夠準確找出量與率之間的對應關系。分數(shù)，百分數(shù)應用題涉及的知識廣泛，數(shù)量關系變化莫測，有時數(shù)

22、量關系又比較隱蔽，我們必須仔細審題，能靈活的應用一些解題方法。基本訓練：（1），男生人數(shù)占全班人數(shù)的，你想到了什么？分析 這句話就是我們平時所說的“帶有分率的句子”，它包含了豐富的數(shù)量關系，看到這句話我們能想到：1， 把全班人數(shù)看作單位“1”，把全班人數(shù)平均分成11份，男生相當于其中的5份，女生相當于其中的6份。2， 女生人數(shù)占全班人數(shù)的。3， 男生人數(shù)占女生人數(shù)。4， 女生人數(shù)是男生人數(shù)倍。（2），讀一本120頁的書，讀了這本書的，還剩多少頁？分析 1， 讀了這本書的，以這本書的頁數(shù)為單位“1”，沒讀的占這本書的，單位“1”的量是已知的為120頁，求的對應量： （頁）。量與率的對應是解答分數(shù)

23、，百分數(shù)的應用題的關鍵。2， 我們還可以換一個角度來思考：讀了這本書的，以這本書的頁數(shù)為單位“1”，把單位“1”平均分成3份，讀了其中的2份，還有（3-2）份沒讀，（頁）這樣就把一個分數(shù)應用題轉化為整數(shù)應用題，這是解答分數(shù)，百分數(shù)應用題的一個重要思路。（3），讀一本120頁的書，第一天讀了這本書的，第二天讀了這本書的，還剩下多少頁沒有讀？分析 把百分數(shù)化成分數(shù)，分析的方法與上題相同。（頁）。（2），（3）題的數(shù)量關系基本是相同的：單位“1”的量分率=分率的對應量。（4），讀一本120頁的書，第一天讀了這本書的，第二天讀了這本書的，還剩下50頁沒讀，這本書一共多少頁？分析 以這本書的總頁數(shù)為單位

24、“1”，還與剩下的50頁對應的分率是，求單位“1”的量，用除法計算：（頁）。（5），讀一本書，第一天讀了這本書的，第二天讀了這本書的，第一天比第二天多讀了10頁，這本書一共多少頁？分析 第一天比第二天多占這本書的，與第一天比第二天多看的10頁相對應，求單位“1”的量，用除法計算（頁）。（4）（5）（6）題的數(shù)量關系基本相同，分率的對應量分率=單位“1”的量。在認真讀題的基礎上，首先確定誰為單位“1”，再結合線段圖確定量率對應關系。這是解決較為復雜分數(shù)，百分數(shù)應用題的基礎。典型題解例1讀一本書，第一天讀了這本書的還多10頁，第二天讀了這本書的少3頁，還剩下43頁沒讀，這本書一共多少頁？分析 假設

25、第一天多讀的10頁沒有讀，這好事這本書的。第二天正好讀了這本書的，那么還剩的頁數(shù)就是43+10-3，轉化為型如題（4），量率對應便清晰了：43+10-3與相對應，求這本書的總頁數(shù)，用除法計算。解答 答：這本書共有120頁。例2 用兩天讀完一本130頁的書，第一天讀的頁數(shù)比第二天的多10頁，第一天讀了多少頁？分析 由題意知道第二天讀的頁數(shù)是單位“1”，畫線段圖如下：假設第一天讀的頁數(shù)正好是第二天的，則全書的頁數(shù)為（130-10）頁，從圖中可以看出，兩天共讀的占第二天的（1+），與（130-10）相對應，求單位“1”的量用除法計算，求出第二天讀的頁數(shù)后。再求第一 天讀的頁數(shù)。解法1 第二天 （13

26、0-10）（1+） = =80（頁）第一天 130-80=50（頁）答：第一天讀了50頁。解法2 本題也可以用“份”的思想轉化為整數(shù)應用題來解答 （130-10）（1+2）+10 = =50（頁）答：第一天讀了50頁。例3 陽光水果店運來荔枝，香蕉，蘋果共1600千克。當賣出荔枝總數(shù)的和150千克香蕉后，又臨時運來200千克蘋果，這時剩下的三種水果數(shù)量恰好同樣多。原來運來這三種水果各多少千克？分析 由題意可知以荔枝的總數(shù)為單位“1”，賣出荔枝總數(shù)的，還剩荔枝總數(shù)的。賣出150千克香蕉后，又臨時運來200千克蘋果，這時剩下的三種水果數(shù)量恰好同樣多。說明香蕉的數(shù)量相當于荔枝總數(shù)的還多150千克。蘋

27、果的數(shù)量相當于荔枝總數(shù)的少200千克。假設運水果時少運150千克香蕉，多運200千克蘋果，即1600-150+200=1650（千克），這1650千克正好對應荔枝總數(shù)的，所以有：解答 荔枝的數(shù)量：（1600-150+200） = =1050（千克） 香蕉的數(shù)量： =450（千克） 蘋果的數(shù)量： =300-200 =100（千克）答：水果店原來運來荔枝1050千克，香蕉450千克，蘋果100千克。提示：本題也可以用“份”的思想轉化為整數(shù)應用題來解答，很好解的哦，就留給同學們吧。例4 小華讀一本故事書，第一天讀了這本書的，第二天讀了余下的，兩天一共讀了220頁，這本書一共多少頁？分析 以這本書的總

28、頁數(shù)為單位“1”，第二天讀了余下的，也就是讀了的，第二天讀了這本書的，兩天共讀的220頁與兩天共讀的分率相對應。解答 = = =300（頁）答：這本書共有300頁。例5 甲，乙兩人分別有人民幣若干元，甲比乙多，當甲給乙9元時，乙反而比甲多，問甲乙兩人原來分別有人民幣多少元？分析 注意到本題中甲乙兩人持有的人民幣的總和沒變，因此把兩個人的錢數(shù)總和看作單位“1”，由“甲比乙多”可以知道甲占兩人總數(shù)的，后來“乙反而比甲多”，甲占總數(shù)的，由此可以確定與的差相對的量是9元。解答： （元） 甲原來有（元），乙原來有（元）答： 甲原來有24元，乙原來有18元。課后自測1 小華看一本故事書，每天看60頁，3天

29、后還剩下這本書的，這本故事書共有多少頁？2 小芳讀一本故事書，第一天讀了這本書還多6頁，第二天讀了這本書的少8頁，最后還剩下172頁沒讀，這本故事書一共多少頁？3 參加六年級數(shù)學競賽的學生共有577人，其中未獲獎的女同學占女同學人數(shù)的，未獲獎的男同學有33人，獲獎的男女同學人數(shù)相等，問參賽的女同學共有多少人？4 有紅黃兩種顏色的球共130個，拿出紅球的，再拿出4個黃球，剩下的紅球和黃球個數(shù)正好相等，原來紅球和黃球各有多少個？5 某發(fā)電廠去年計劃發(fā)電140萬千瓦時，結果上半年完成全年計劃的，下半年完成全年計劃的，去年超額發(fā)電多少千瓦時？6 菜農(nóng)的西紅柿大豐收，收下全部的時，裝滿了4筐還多50千克

30、，收完其余部分時，又剛還裝滿8筐，求共收西紅柿多少千克？7 某校共有五，六年級學生210人，五年級有21人參加了七一文藝演出，六年級有的學生參加了文藝演出，這是兩年級剩下的人數(shù)相等。五，六年級各有學生多少人？8 某種彩色電視機要讓利銷售，如果按銷售價打九折出售，還可盈利210元，如果按銷售價打八折出售，就要虧損120元，那么這種電視機的進價是到少元？9 有紅，黃兩種顏色的球，紅球的與黃球的合在一起是130顆，黃球的與紅球的合在一起是120顆，紅球和黃球各有多少個？10 甲，乙兩個倉庫存有若干噸玉米，如果從甲艙運24噸到乙倉，則甲倉的玉米比乙倉少，如果從乙艙運24噸到甲倉，則乙倉的玉米比甲倉少，

31、甲乙兩倉共存玉米多少噸？第六講 分數(shù)百分數(shù)應用題（二）學習提示 在解答分數(shù)，百分數(shù)應用題時，確定單位“1” 是關鍵，但題目中常常出現(xiàn)幾個不同的單位“1”，這時需要將它們轉化為統(tǒng)一的單位“1”，以便于比較和發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系。轉化時應注意認真審題，首先明辨題目中有哪幾個單位“1”，以其中一個量為單位“1”，以這個單位“1”為標準，看一看其他幾個量相當于單位“1”的幾分之幾（或幾倍）。基本訓練：甲乙兩數(shù)是不相等的兩個自然數(shù)，甲數(shù)的與乙數(shù)的相等，甲乙兩數(shù)哪個大？ 為什么？分析： 方法1， 以分數(shù)的意義來理解由于，可知：甲數(shù)較多的部分與乙數(shù)較少的部分相等，所以乙數(shù)大于甲數(shù)。 方法2， 圖解法從圖中很容易看出

32、，黑色部分是相等的部分，而乙數(shù)大于甲數(shù)。如果把相等的部分都平均分成12份，使每一份的大小都相等，則甲數(shù)平均分為15份，乙數(shù)平均分為16份，乙數(shù)大于甲數(shù)。還可以得出甲乙兩數(shù)之間的關系：甲數(shù)占乙數(shù)的，乙數(shù)是甲數(shù)的倍。方法3， 用具體數(shù)字舉例 假設甲數(shù)是30，則乙數(shù)=，乙數(shù)大于甲數(shù)。方法4， 代數(shù)法根據(jù)已知條件可以得到下面這個等式：甲數(shù)=乙數(shù)，等式兩邊同時乘以4和5的最小公倍數(shù)20可得：甲數(shù)=乙數(shù)，寫成比例式：甲數(shù)：乙數(shù)=15：16，于是可得甲乙兩數(shù)之間的關系：甲數(shù)占乙數(shù)的，乙數(shù)是甲數(shù)的倍。 我們不難總結出一個規(guī)律而得到甲乙兩數(shù)的關系： 以甲為單位“1”：乙數(shù)是甲數(shù)的 以乙為單位“1”：甲數(shù)是乙數(shù)的

33、。典型題解例1哥哥和弟弟共有人民幣19.8元，哥哥用去自己錢數(shù)的75%，弟弟用去自己錢數(shù)的80%，兩人所剩的錢正好相等，哥哥原來有多少錢？分析：由題意可知，弟弟錢數(shù)的（1-75%）與弟弟錢數(shù)的（1-80%）相等，通過基本訓練中掌握的方法可以找到兄弟二人錢數(shù)之間的關系，哥哥的錢數(shù)是弟弟的（1-80%）（1-75%）=，與19.8對應的分率是兄弟二人分率之和。因此，弟弟錢數(shù)為（元），哥哥的錢數(shù)是（元）。解法一：（元） （元）解法二：（元）（想一想，單位“1”代表那種量）答：哥哥原來有8.8元。試一試，還有不同的解法嗎？例2甲、乙兩個班共有120人，甲班人數(shù)的比乙班人數(shù)的少10人，兩個班各有多少人？

34、分析 已知條件中的兩個分率對應的是不同的單位“1”。由甲班人數(shù)的比乙班人數(shù)的少10人已知：給甲的每個都添上人，即給甲的人數(shù)添上人，這時總人數(shù)為120+25人，可使得甲班人數(shù)的與乙班人數(shù)的相等，乙班人數(shù)占甲班人數(shù)的，兩班人數(shù)的和占甲班人數(shù)的，這與120+25相對應，用除法計算可得單位“1”甲班的人數(shù)，但不要忘記減去后添上的25人。解答 =75（人） （人） （人）答：甲班原有50人，乙班原有70人。例3柳蔭街小學的校園里，原來柳樹的棵樹是全校樹木總棵樹的。今年又種了50棵柳樹。這樣，柳樹的棵樹就占全校樹木總棵樹的。柳蔭街小學原來一共有多少棵樹？分析 題目中兩個分數(shù)的單位“1”是不同的，需要統(tǒng)一單

35、位“1”。由已知條件可知：其它樹木的數(shù)量是不變的，說明原來樹木的1-與現(xiàn)在樹木的1-相等。以原來樹木的棵樹為單位“1”，即現(xiàn)在樹木的棵樹占原來的；以現(xiàn)在樹木的數(shù)量為單位“1”，即原來樹木的棵樹占現(xiàn)在的。解法1 以原來樹木的棵樹為單位“1”（棵）解法2 以現(xiàn)在樹木的數(shù)量為單位“1”（棵）550-50=500（棵）解法3 以不變量其它樹木的棵樹為單位“1”（棵）（棵）答：柳蔭樹小學原有500棵樹。例4水果店運進一批桔子，第一天賣出全部的，第二天賣了24千克，第三天賣的是前兩天總數(shù)的150%，這時還剩下全部的，水果店運進的這批桔子共有多少千克？分析 題目中有兩個不同的單位“1”，需要統(tǒng)一成以水果店運

36、進的這批桔子的總數(shù)為單位“1”。第三天賣出全部的及（）千克。解答 （千克）答：水果店運進的這批桔子共有180千克。例5有一種商品，甲店進貨價（成本）比乙店進貨價便宜10%，甲店按20%的利潤率來定價，乙店按15%的利潤來定價，結果甲店的定價比乙店的便宜11.2元。問甲店的進貨價是多少元？分析：設乙店的進貨價為單位“1”，則甲店的進貨價就是（1-10%），甲店的定價為，乙店的定價為，與11.2對應的分率就是1.15與1.08的差。解答：（元）（元）答：甲店的進貨價為144元。說明：以上例題所給出的全部是算術解法，許多題目用方程來解也很方便，方程解法也是一個十分重要的解題思路，由于在五年級教材中及

37、后面的章節(jié)中都已講到，在此沒有給出方程的解法，就留給同學們思考吧，一題多解可是提高解題能力的一條重要途徑喲！例6某商店原來將一批蘋果按100%的利潤價出售，由于定價過高，無人購買，不得不按38%的利潤重新定價，這樣售出了40%。此時因害怕果腐爛變質(zhì)，又再次降價，售出了剩下的全部水果。結果，實際獲得的總利潤是原來利潤的30.2%，那么第二次降價后的價格是原來的百分之幾？解答：設第二次降價是按x%的利潤定價的，有總利潤的方程： 所以第二次降價后的價格是原定價的（1+25%）÷2=62.5%答：第二次降價后的價格是原定價的62.5%課后自測：1修路隊修一條公路，第一天修了全長的，第二天修的

38、長度與第一天的比是4：3，這時還剩下800米沒修，這條公路全長多少米？2某服裝廠有三個車間，其中二車間人數(shù)占全廠人數(shù)的25%，三車間比二車間少，一車間人數(shù)比三車間多，一車間有130人，這個服裝廠共有多少人？3姐妹共養(yǎng)兔子180只。已知姐姐養(yǎng)的只數(shù)的與妹妹的相等，姐妹各養(yǎng)多少只兔子？4在學校閱覽室里，女生占全部人數(shù)的，后來又進來兩名女生，這是女生占全部總人數(shù)的，閱覽室原來有多少人？5某校有學生465人，其中女生的比男生的少20人，那么男生比女生少多少人？6甲乙兩人共做了84個零件，其中甲做的與乙做的共58個，甲乙兩人各做了多少個零件？7兄弟四人合買一臺電視機，老大出的錢數(shù)是另外三人總數(shù)的一半，老

39、二出了另外三人總數(shù)的，老三出了另外三人總數(shù)的，老四出了910元，這臺電視機共多少元？8有一桶汽油，第一次用了12升，第二次用了剩下的，第三次用了全桶油的一半，正好用完，第二次用了多少升？9把100人分成四隊，一隊人數(shù)是二隊人數(shù)的倍，一隊人數(shù)是三隊人數(shù)的倍，那么四隊有多少人？10某校四年級有兩個班，現(xiàn)在要重新編為三個班，將原一班人數(shù)的與原二班人數(shù)的組成新一班，將原一班的與原二班的組成新二班，余下的30人組成新三班。如果新一班的人數(shù)比新二班的人數(shù)多10%，那么原一班有多少人？第七講 生活中的經(jīng)濟問題學習提示：經(jīng)濟與數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系，在我們的日常生活中，數(shù)學已不再是單純的用作計數(shù)或統(tǒng)計，還常用

40、于對經(jīng)濟活動中的一些復雜現(xiàn)象進行分析，例如：物價與工資、銀行儲蓄、購房與買車、股票與債券、保險等等，利用數(shù)學的知識與方法進行分析，將有助于我們理解這些經(jīng)濟活動，找出其中的規(guī)律，做出決策。典型題解例1 問題：有關商場打折 一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的80%）優(yōu)惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？探索解決問題的方法設每件服裝的成本價為x元，按照題意，有：每件服裝的標價為： ；每件服裝的實際售價為： ；每件服裝的利潤為： ；由此，列出方程為： ；解方程，得x= 。因此每件服裝的成本價是 元。鞏固練習（1）某種以八折的優(yōu)惠價買一套服裝省了25元

41、，那么買這套服裝實際用了（ ）。（A）31.25元 （B）60元 （C）125元 （D）100元（2）某家具的標價為132元，若降價以九折出售，仍可獲利10%，則該家具的進價是（ ）。（A）105 （B）106 （C）108 （D）118（3）某種商品按原價的8折出售仍可獲利20%，若按原價出售，則可獲（ ）。（A）30% （B）40% （C）50% (D )60%例2 問題探究 若將某商品先漲價10%后再降價10%,所得的價格與原先的價格相比有無變化?不少同學會不假思索脫口而出：那還用問嗎？肯定不變。果真如此嗎？某種奶粉原價10元/kg，先后兩次降價，降價方案有三種：方案甲：第一次降價2%，

42、第二次降價4%；方案乙：第一次降價4%，第二次降價2%；方案丙：每次降價3%；按哪種方案降價后，現(xiàn)價最便宜？例3 有一種商品，甲店進貨價（成本價）比乙店進貨價便宜10%，甲店按20%的利潤率來定價，乙店按15%的利潤來定價，結果甲店的定價比乙店的便宜11.2元，問：甲店的進貨價是多少元？分析：設乙店的進貨價為單位“1”，則甲店的進貨價就是（1-10%），甲店的定價為，乙店的定價是，與11.2對應的分率就是1.15與1.08的差。解答：答：甲店的進貨價為144元。說明：以上例題所給出的全部是算術解法，許多題目用方程來解也很方便，方程解法也是一個十分重要的解題思路，由于在五年級教材中及后面的章節(jié)中

43、都已講到，在此沒有給出方程的解法，就留給同學們思考吧，一題多解可是提高解題能力的一條重要途徑喲!例4 某商店原來將一批蘋果按100%的利潤價出售，由于定價過高，無人購買，不得不按照38%的利潤重新定價，這樣售出了40%。此時因害怕水果腐爛變質(zhì)，又再次降價，售出了剩余的全部水果。結果，實際獲得的總利潤是原定利潤的30.2%，那么第二次降價后的價格是原價格的百分之幾？ 解答：設第二次降價是按x%的利潤來定價的，由總利潤列方程：答：第二次降價后的價格是原定價格的62.5%。例5 設年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后獲得的利息是多少？知識要點：儲蓄問題中涉及的公式，利息=本金利率例6

44、 我國1998年3月銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表存期1年2年3年5年年利率（%）5.225.586.216.66老師有20 000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪一種方案獲利最多？（我國銀行實行單利法）例7 小華是獨生子，他的父母為了給他支付將來上大學的學費，從小華5歲上學前一年，就開始到銀行存了一筆錢，設大學學費每年為4000元，四年大學共需16000元，設銀行在此期間存款利率不變，為了使小華到18歲時上大學本和利能有16000元，他們開始到銀行存入了多少錢？（設1年、3年、5年整存整取，定期儲蓄的年利率分別為5.22%、6.21%、6.66%）課后作業(yè)：1， 一件商品按

45、成本價提高20%后標價，又以9折銷售，售價為270元，這種商品的成本價是多少？2， 某商場的電視機原價為2500元，現(xiàn)以8折銷售，如果想使降價前后的銷售額都為10萬元，那么銷售量應增加多少？3， 某商品的進價是3000元，標價為4500元，商店要求以利潤不低于5%的售價打折出售，最低可以打幾折售此商品？4， 按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本金和利息各是多少？（設1年、3年、5年整存整取，定期儲蓄的年利率分別為5.22%、6.21%、6.66%）（1） 定期1年，每年滿一年，將本利和自動轉存下一年，共續(xù)存10年；（2） 先連續(xù)存三個3年期，9年后將本和利轉存一年期，合計共存10年

46、；（3） 連續(xù)存兩個5年期。第八講 工程問題學習提示：在本講中，我們要討論的工程問題的主要特點是：工作總量不給出具體數(shù)量，通常把工作總量看作單位“1”，工作效率表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之一或者幾分之幾，然后依據(jù)工作效率，工作時間和工作總量之間的相互關系解答應用題。 工程問題的基本數(shù)量關系是： 工作效率工作時間=工作總量 工作總量工作效率=工作時間工作總量工作時間=工作效率甲的工作效率+乙的工作效率=甲乙效率和。典型題解：例1 打印一份稿件，小丁一人打印需要14分鐘，若和小麗合作打印需要10分鐘完成，如果小麗單獨打印這份稿件需要多少分鐘？分析 把一份稿件的總量看作“1”，兩人合作每分鐘打

47、印這份稿件的，減去小丁每分鐘打印的，剩下的是小麗每分鐘打印的這份稿件的。最后看單位“1”里面包含著多少個，就可以求出小麗的工作時間。解答： （分鐘）答：小麗單獨打印這份稿件需要35分鐘。例2 一項工程，甲單獨做12天可以完成，如果甲單獨做3天，余下的由乙去做，乙再用6天可以做完。問若甲單獨做6天，余下的工作乙要做幾天？分析：要求“余下的工作乙要做幾天”，就要求出剩余的工作量和乙的工作效率。解答：（天）例3 客車與貨車同時從甲、乙兩站相對開出，經(jīng)2小時24分鐘相遇，相遇時客車比貨車多行9.6千米。已知客車從甲站到乙站行4小時30分鐘，求客車與貨車的速度各是多少？分析：客車與或貨車“2小時24分鐘

48、相遇”，兩輛車共同行完全程需要小時，每小時行駛全程的。客車行完全程需4小時30分鐘，每小時行全程的，由此可以求出貨車每小時行全程的幾分之幾。再找到與“客車比貨車多行9.6千米”相對應的分率，即可求出兩車的速度。解答：（千米）（千米）（千米）答：客車每小時行32千米，火車每小時行28千米。例4 一件工程，甲，乙合作需6天完成，乙，丙合作需9天完成，甲，丙合作需15天完成，現(xiàn)在甲，乙，丙三人合作需要多少天完成？分析：設這件工程總量為“1”，甲，乙的工作效率之和是，乙，丙的工作效率之和是，甲，丙的工作效率之和是，所以甲，乙，丙三人的工作效率之和是。根據(jù)三量之間的關系就可以求出三人合作需要的工作時間。

49、解答：（天）答：甲，乙，丙三人合作需要天完成。例5 甲乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行，走完全程甲需分鐘，乙需分鐘。出發(fā)分鐘后，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：“出發(fā)分鐘后，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了分鐘”相當于甲比乙晚出發(fā)分鐘。我們將題目改一下：完成一項工作，甲需要分鐘，以需要分鐘，乙先工作分鐘后甲、乙合作，還需要多長時間？怎么樣，這到從表面上看是行程問題的應用題實際上應該用工程問題的解法來解答。解答：（分） 答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。課后自測：1 做一批兒童玩具，甲組單獨所10天完成，乙組單獨作12天完成，丙組每天可生產(chǎn)64

50、件，如果讓甲乙兩組合作4天，則還有256件每完成。現(xiàn)在決定三個組合作這批玩具，需要多少天完成？2 一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著作20天可以完成；如果甲先做20天，乙接著做8天可完成。如果甲乙合作多少天可以完成？3 一條公路，甲乙兩隊合修30天完成，甲隊單獨修了24天，乙隊才加入，兩隊又合修了12天，這時甲隊調(diào)走，乙隊又繼續(xù)修了15天才完成，甲隊單獨修這條路要多少天？4 一項工程，8人作要15天完成，現(xiàn)有18人作了3天，余下的由另一部分人作了3天，共完成這項工程的，問后3天有多少人參加？（每個人的工作效率相同）5 一件工程，甲5小時完成，乙6小時完成剩下的一半，余下的部分由甲乙合作，還需

51、要多少小時才能完成？6 一項工程，甲乙兩隊合作需要6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天然后甲隊作4天共完成這項工程的，如果把余下的工程交給乙隊單獨做，那么還要多少天才能完成？7 單獨完成某項工作，甲需6時，乙需2時，如果按照甲、乙、甲、乙。的順序輪流工作，每次1小時，那么完成這項工作需要多長時間？第九講 圓的周長與面積學習提示：圓是一種由封閉的曲線圍成的平面圖形，在日常生活中隨處可見。它的魅力、它的獨特的性質(zhì)使得它在人們生活和生產(chǎn)中的位置是其他形狀所無法取代的。我們每人都經(jīng)常遇見這樣的問題：為一個圓形桌布繡上花邊要買多長的花邊；修一個圓形花圃要購買多少草皮；如何用現(xiàn)有的柵欄圍成一個盡可能大的菜地等。這些都涉及到圓的周長和面積。圓的周長公式是求圓的周長和面積的必備條件是圓的半徑或直徑，但有時并不能求出半徑，可以把做為一個條件來求解。圓是軸對稱圖形，在計算周長和面積時，還可以運用割補、旋轉、平移等方法進行轉化。典型題解 例題1 如圖，求陰影部分的周長（單位：米）。分析 如右圖，陰影部分的周長分為三部分：弧AC、線段CB、圓O周長的一半ADB。DOB是一個等腰直角三角形、角OBD的度數(shù)是45度，所以弧AC的所在圓的半徑為20厘米，其長度是這個圓的周長的。線段CB的長與線段AB的長相等，都是20厘米。圓O的直徑也是20厘米，其周長的一半可求。將三部分的長度相加即為陰影部分的周長。解答：（