1、第2章：整式的乘除與因式分解一、根底知識1. 同底數幕的乘法：aan amn , m,n都是正整數，即同底數幕相乘，底數 不變，指數相加。2. 幕的乘方：(am)n amn , m,n都是正整數，即幕的乘方，底數不變，指數相 乘。3. 積的乘方：(ab)n anbn，: n為正整數，即積的乘方，等于把積的每一個因式 分別乘方，再把所 得的幕相乘。4. 整式的乘法：1單項式的乘法法那么：一般地，單項式相乘，把它們的系數、相同字母的 幕分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，那么連同它的指數作為積的一 個因式.2單項式乘多項式法那么：單項式與多項式相乘，就是根據乘法分配律，用 單項式乘多項式的每

2、一項，再把所得的積相加.可用下式表示：n(a+b+c)=ms+ml+mqa、b、c都表示單項式)3多項式的乘法法那么：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.5. 乘法公式：1平方差公式：平方差公式可以用語言表達為“兩個數的和與這兩個的差 積等于這兩個數的平方差，即用字母表示為：(a+b)( a b)=a2-b2；其結構特 征是：公式的左邊是兩個一次二項式的乘積，并且這兩個二項式中有一項為哪一項完 全相同的，另一項那么是互為相反數，右邊是乘式中兩項的平方差2完全平方公式：完全平方公式可以用語言表達為“兩個數和或差的 平方，等于第一數的平方加上或減去第

3、一數與第二數乘積的2倍，加上第二數的平方，即用字母表示為：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a b)2=a2 2ab+b2；其結 構特征是：左邊是“兩個數的和或差的平方，右邊是三項，首末兩項是平方 項，且符號相同，中間項是2ab，且符號由左邊的“和或“差來確定.在完 全平方公式中，字母a、b都具有廣泛意義，它們既可以分別取具體的數，也可 以取一個單項式、一個多項式或代數式如(3x+y 2)2= (3x+y)2 2X (3x+y) x2+22= 9x2+6xy 12x+y2 4y+4，或者(3x+y 2)2= (3x)2+2X 3x ( y 2)+ ( y 2)2 =9x2+6xy 12x+

4、y2 4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的 a，2看成是 b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a， y 2看成是b.3添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號；如果括 號前面是負號，括到括號里的各項都變號。乘法公式的幾種常見的恒等變形有：1. a+b= (a+b)2 2ab= (a b)2+2ab.1 2221222. ab = (a+b) a +b = (a+b) (a b) =42 2a b a b3. (a+b)2+(a b)2= 2a2+2b2.4. (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等變形，我們可以迅速地解決有關看似

5、與乘法公式無關的問題，并且還會收到事半功倍的效果.6. 整式的除法：am an amn，: a 0，m n都是正整數，并且m n，即同 底數幕相除，底數不變，指數相減。1a0 1(a 0)，任何不等于0的數的0次幕都等于1.2單項式相除，把系數與同底數幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式 里含有的字母，那么連同它的指數作為商的一個因式。3多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得 的商相加。7. 因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這就叫做把這個 多項式因式分解，也可稱為將這個多項式分解因式，它與整式乘法互為逆運算。8. 常用的因式分解方法：1提公因式法

6、：把ma mb mc，分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因 式是各項的公因式m,另一個因式(a b c)是ma mb mc除以m所得的商，像 這種分解因式的方法叫做提公因式法。i 多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。ii 公因式的構成：系數：各項系數的最大公約數； 字母：各項都含有的相同字母； 指數：相同字母的最低次幕。2公式法:1常用公式平方差：a2 b2 (a b)(a b)完全平方：a2 2ab b2 (a b)22常見的兩個二項式幕的變號規律：(a b)2n (b a)2n :(a b)2n 1(b a)2n 1 . n 為正整數3十字相乘法2i二次項系數為1的二次

7、三項式x px q中，如果能把常數項q分解成兩個因式a，b的積，并且a b等于一次項系數中P，那么它就可以分解成x2 px q x2a b x ab x a x b2ii二次項系數不為1的二次三項式ax bx c中，如果能把二次項系數a分解成兩個因數 a1,a2 的積，把常數項c 分解成兩個因數c1,c2 的積，并且a1c2a2c1 等 于 一次項系數b ，那么它就可以分解成：2 axbx c a1a2x2a1c2 a2c1 x c1c2a1x a a2x c2 。 4分組分解法i 定義：分組分解法，適用于四項以上的多項式，例如a2 b2ab 沒有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果將前

8、兩項和后兩項分別結合，把原多項式分成兩組。再提公因式，即可到達分解因式的目的。例如：a2 b2 a b=(a2 b2) (a b) (a b)(a b) (a b) (a b)(a b 1)， 這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。i 原那么：分組后可直接提取公因式或可直接運用公式，但必須使各組之間 能繼續分解。iii有些多項式在用分組分解法時，分解方法并不唯一，無論怎樣分組，只 要能將多項式正確分解即可。二、經典例題第一局部 整式的乘除【例 1】例題以下運算正確的選項是 八551055104520 小廠4、59A. a +a =a B. a a = a C . a a =a D.a =a

9、【思路點撥】選支A是整式的加法運算，合并得2a5；選支B正確；選支C為同底數 幕運算應指數相加，而不是相乘，故為a4 a5=a9 ；選支D為幕的乘方運算，應底 數不變，指數相乘，為 a4 5=a20.【解析】此題應選E.【規律總結】同底數冪的乘法是學習整式乘法的根底，一定要學好，學習它時 注意體會從特殊到一般、從具體到抽象，有層次的進行概括抽象，歸納原理.【例 2】以下運算正確的選項是C . 4x2 (2x)2 2x2D. (2x2)3 8x6【思路點撥】選支A錯在把指數相乘，實際應相加(x) 2?x3=x2 x3=x5 ；選支B錯 在符號不對，負的偶次幕為正，負的奇次幕為負，(x)3 ( x

10、)2= x3 x2= x5 ;選 支C中積的乘方運算出現漏乘項錯誤， 4x2 (2x)2 =4x2 22x2 = 4x2 4x2 0 ;選 支D運算正確.【解析】此題應選D.【規律總結】幕的乘方與積的乘方，是學習整式乘法的根底.導出幕的乘方的 根據是乘方的意義和同底數幕的乘法的性質.同學們要真正理解幕的乘方法的 性質，這樣才不致混淆性質而運算出錯.【例3】以下運算在正確的選項是A. x5 x5 2x10B. ( x)3 ( x)5x8C. ( 2x2y) 4x 324x3y3111 2 2D. ( x 3y) ( x 3y) x 9y224答案B錯因透視對整式運算法那么理解不深入才會出現錯誤，

11、55531112x x 2x， ( 2)8，Hx 3y) ( x 3y)( x 3y)2 2 2【例 4】計算:-2x2y2 (-3 xy)【思路點撥】靈活運用幕的運算性質、乘法交換律等進行運算.【解析】原式=4x4y2 (-3 xy)(據積的乘方)=4 x (-3)( x4 x)( y2 y)(據乘法交換律、結合律)=-12x5y3(據有理數的乘法、同底數幕的乘法)【規律總結】因為單項式是數字與字母的積，所以，幕的運算性質，乘法交換律、結合律，可作為單項式乘法的依據.單項式乘法法那么對于三個以上的單項式相乘同樣適用，如：2 22a b (- 3 ab) 5abc=2 x (-3) x 5 (

12、a2 a a) (b b2 b) c=-30a4b4c【例 5】12xy(5xy2+3xy-1) 2(a2-2bc) (-2 ab)2【思路點撥】1小題單項式為2xy，多項式里含三項為：5xy2、3xy、-1，乘積 仍為三項；(2)小題應先算(-3 ab)2，再用乘法交換律后的計算方法是相同的.2【解析】1原式=2xy 5xy +2xy 3xy+2xy (-1)2 3 2 2=10 x y +6x y -2xy2原式=(a2-2bc) 4a2b2=4a2b2 a2+4a2b2 (-2 bc)=4a4 b2-8 a2b3c【規律總結】在解答單項式與多項式相乘問題時，易犯如下錯誤：出現漏乘， 而導

13、致缺項；出現符號錯誤；運算順序出錯，造成計算有錯.【例 6】計算： (1)(3 x-2y)(2 a+3b)(2)(x-y)( x2+xy+y2)【思路點撥】第1題，先用x分別與2a、3b相乘，再用-2y分別與2a、3b相乘， 然后把所得的積相加；第2題，可先用二項式x-y中的x分別與三項式中 的各項相乘，再用-y分別與三項式中的各項相乘，然后把所得的積相加.【解析】 原式=3x 2a+3x 3b+(-2 y) 2a+(-2 y) 3b=6 ax+9bx-4 ay-6 by(2) 原式=x x2+x xy+x y2+(- y) x2+(- y) xy+(- y) y23 2 2 2 2 3= x

14、 +x y+xy -x y-xy -y33= x-y【規律總結】1利用多項式乘法法那么時，既不要漏乘，又要注意確定各項的 符號2乘積中有同類項，要合并同類項【例 7】計算 (1)(3 x2+2y2)(-3 x2+2y3)【思路點撥】仔細觀察題目特點，凡兩因式中相同項當作公式中的a,另一項(必 須是互為相反數)當作公式中的b方可應用平方差公式，而有的，必須經過變形 才能運用平方差公式【解析】原式 =(2y3)2-(3 x2)2=4y6-9x4也可表示單項式或多項式，只要x+2y)2(3)(-m-2n)2思路點撥】此題可利用完全平方公式計算，第 1題是兩數和的平方，應選【規律總結】公式中的字母可表

15、示具體的數， 符合平方差公式的結構特征，就可運用 【例 8】化簡： (1)(2 a+3b) 2 (2)(-用“和的完全平方公式，其中2a是公式中的a, 3b是公式中的b；第(2)題(3) 題(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以應選用“差的完全平方公式簡捷；第(-m2n)2=-( m+2n) 2=( n+2n)2應選用“和的完全平方公式簡捷.【解析】 (1)(2 a+3b)2=(2a)2+22a3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2(-x+2y) 2=(2y- x) 2=(2y) 2-2 2y x+x2=422y -4xy+x(3)(-m-2n)2=-( m+2n) 2=(m

16、+2n)2=m2+4mn+4n2規律總結】1這三題其實都可以用“和的完全平方公式或“差的完 全平方公式計算，只不過根據題目特點靈活采用變形可簡化計算過程，其中(-x+2y) 2轉化為(2y-x)2或(x-2 y)2是一個常用技巧.2完全平方公式(a± b)2=a2±2ab+b2，展開式可記成“首(a)平方、尾(b) 平方，首(a)尾(b)乘積的2倍加減在中央.【例9】計算：y10 y3十y4(-ab)5十(-ab)3【思路點撥】先觀察題目，確定運算順序及可運用的公式，再進行計算題目 2中被除數與除數的底數相同，故可先進行同底數冪的除法，再運用積的乘 方的公式將計算進行到最后

17、【解析】(1) y10 十 y3 十 y4=y10-3-4=y3(2)(- ab)5- (- ab) 3=(- ab) 2=a2b2【規律總結】像 2這種題目，一定要計算到最后一步【例10】計算：xn+2- xn-2(x4)3 x4* x16 3用小數或分數表示：5.2 X 10-3【思路點撥】 1在運用“同底數冪的除法公式時，指數假設是多項式，指 數相減一定要打括號 (2) 中先乘方運算再做乘除法； 3先將負指數的冪化為 小數，再進行乘法運算，得到最后結果【解析】宀X“2=X(n+2)"2)=X4(X4)3 X4 十 X1641612+4-16-X 十 X =X0 =X =13 1

18、(3)5.2X 10- =5.2 X 二=5.2 X 0.00仁0.005210【規律總結】這里要特別注意“aJan=amn(aM0, m n均為正整數，并且m>n) 括號內的條件.【例 11】計算：(1)( a2n+2b3c) - (2 anb2) ； (2)(3 xy2)2 (2xy) - (6 X3y3)【思路點撥】1中被除式的系數是1,可按照單項式相除法那么計算；2是 混合運算，先弄清運算順序，再根據相應的法那么進行計算此題先進行乘方， 再自左至右進行乘除法.【解析】解：(1)( a2n+2b3c) - (2 anb2)=(1 十 2) (a2n+2十 an) (b3十 b2)

19、c=1 an+2bc2(2)(3 xy2)2 (2xy)十(6x3y3)=(9x2y4) (2xy) - (6 x3y3)3 533、=(18xy )十(6x y)=3y2【規律總結】單項式相除，首先分清兩工的系數、相同字母、被除式獨有的字 母，再進行運算，結合演算重述法那么，使法那么熟悉，并會用它們熟練進行計算.【例 12】計算：(1)(6 x3y4z-4x2y3z+2xy3) - (2xy3) ； (2) (x+y) 2-( x-y)2- (xy)【思路點撥】對于混合運算，先算乘方，再算乘除，最后算加減有括號的， 先算括號里的.【解析】(1)(6 x3y4z-4x2y3z+2xy3)十(2

20、 xy3)=(6x3y4z) - (2 xy3)-(4 x2y3z) - (2xy3)+(2 xy3) - (2xy3)=3x2yz-2 xz+1這一項易漏！(2)(x+y)2-(x-y)2寧(xy)=x2+2xy+y2-( x2-2 xy+y2)十(xy)=4xy * xy=4【規律總結】把多項式除以單項式“轉化為單項式除以單項式，在這個轉化 過程中，要注意符號問題第二局部：因式分解例 1 】將以下各式分解因式：12a36a3 36a _*>24 a1*>32 ab2a b *>44a2b22b 1 _。 答案 1 2a(a 6)(a 3) 2 (a2 1)(a 1)(a

21、1) 3 (a b)(a b 1) 4 (2a b 1)(2a b 1) 錯因透視 因式分解是中考中的熱點內容，有關因式分解的問題應防止出現一下常見錯誤：公因式沒有全部提出，如2a3 6a3 36a a(2a2 6a 36) a(a 6)(2a 6); 因 式 分 解 不 徹 底 ，如 a41 (a21)(a21)4a2 b2 2b 1例 2】連一連：a 2 1a26a92a 4a4a2 b2 a b (a b)(a b) ； 分 組 不 合 理 ， 導 致 分 解 錯 誤 ， 如(4a2 1) (b2 2b) (2a 1)(2a 1) b(b 2) ，無法再分解下去(a1)(a 1)(3a

22、1)(3a 1) a(a b)9a 2 1(a+ 3) 2a 2 ab(a 2) 2思路點撥】由于因式分解是整式乘法的逆運算，我們可以先運用整式乘法法那么計算出第二列中各整式相乘的結果，看跟第一列中的哪個多項式相等，然后 用線連接起來 .2 2 2【解析】(a + 1)(a 1) = a -1, (3a + 1)(3a 1) = 9a 1, a(a b) = a - ab, (a + 3)2 = a2 + 6a+ 9, (a 2)2= a2 4a+ 4.【規律總結】整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，根據題目的需要，有時 多項式要通過因式分解才能轉化為幾個整式積的形式，有時幾個多項式的積要 通

23、過整式乘法化成多項式的形式 .【例 3】分解因式：15x 5y + 5z 23a2 9ab 32a(x y)2 4b(y x)【思路點撥】觀察上面的各個多項式，我們可以發現每個多項式的各項都含有 公因式，我們可以運用提公因式的方法來做這道題目 . 第3小題分解因式的 關鍵是尋找公因式，此題的公因式可以看作 2a(x y) ，也可以看作 2a(y x)【解析】1原式=5x y + z2原式=3a(a 3b)3方法一：原式=2a(x y)2 4b(x y) = 2a(x y)a(x y) 2b= 2a(x y)(ax ay 2b)方法二：原式=2a(y x) 4b(y x) = 2a(y x)a(

24、y x) 2b=2a( y x)(ay ax 2b)【規律總結】運用提公因式分解因式時,找對公因式是關鍵,提公因式后的各 項中不能再含有其它公因式 . 有些外表沒有公因式的多項式,利用其互為相反數 的條件,轉化為含有公因式的式子來完成因式分解其一般原那么： 1首項一 般不化成含負號的形式； 2對同時含有奇次項和偶次項的多項式,一般將偶 次項的底數化成它的相反數的形式,這樣可使各項符號不變【例4】把以下各式因式分解：14m2 25n22 169(a b)2 121(a b)2【思路點撥】此題中兩項都可以表示成平方的形式，多項式是二項式且前面的 符號相反，應考慮用平方差公式來分解【解析】1 4m=

25、 (2a 3b)221(6 2m n) 2 8n(2m n) n2= (4 2m n) 2 2 n 4(2m n) n2= (4 2m n) n 2= 8m + 3n 2【規律總結】第 2小題中的 2mn 應看作一個整體，而不要利用整式乘法進 行計算，否那么分解比擬困難，多項式各項沒有公因式且是三項式，應考慮用完 25n2= ( 2m)2 (5n)2 = (2m 5n)(2m 5n)2169(a b)2 121(a b) 2=1(3 a b) 2 11(a b) 2=1(3 a b) 11(a b) 1(3 a b) 11(a b)= 24a + 2b (2a + 24b)=4(12a + b

26、)(a + 12b)【規律總結】第 2小題中的 24a + 2b (2a + 24b) ，將括號內提取公因式 “2后，應把兩個 2相乘，而不要當成提公因式，誤寫成 2(12a + b)(a + 12b) 【例 5】把以下各式分解因式：1 4a2 12ab 9b22 1(6 2m n)2 8n(2m n) n2【思路點撥】此題中多項式的各項沒有公因式且都是三項式，應考慮用完全平 方公式【解析】1 4a 2 12ab 9b222= (2a)2 2 2a 3b (3b)2全平方公式【例 6】因式分解：1(x2 4y2)2 16x2y22(a2 1)2 4(a2 1) 4【思路點撥】只要1把x2 4y

27、2和4xy ,2(a2 1)把看作整體就不難套用平方差公式和完全平方公式來分解這個多項式的第一步，但此題中的兩小題都能繼續因式分解,因此要特別注意分解要徹底【解析】1 (x2 4y2)216x2y2=(x2 4y2)2 (4xy)2=(x2 4y2)2 (4xy)2=(x2 4y2 4xy)(x2 4y2 4xy)22= (x 2y)2(x 2y)22 (a21)24(a21)4= (a212) 222= (a21)222= (a 1)2(a 1)2【規律總結】因式分解是否分解結束的標志是看分解后的各因式時候還含有可繼續因式分解的多項式。中考考點解讀：整式的乘除是初中數學的根底 ,是中考的一個

28、重點內容 .其考點主要涉及以下幾個方面： 考點 1 、冪的有關運算例 12022 年湘西在以下運算中,計算正確的選項是A a3 a2 a6B(a2)3 a5C a8 a2 a4D (ab2)2 a2b4分析 :冪的運算包括同底數冪的乘法運算、冪的乘方、積的乘方和同底數冪的除法運算 冪的運算是整式乘除運算的根底 ,準確解決冪的有關運算的關鍵是熟練理解各種運算的法那么解：根據同底數幕的乘法運算法那么知a例5. (2022年寧夏)：a b , ab 1，化簡(a 2)(b 2)的結果是. a2 a3 2 a3 解：(a 2)(b 2) = ab 2a 2b 4= ab 2(a b) 4 = 12-4

29、2，所以A錯；根據幕的乘方運算法那么知(a2)3 a2分析:此題主要考查多項式與多項式的乘法運算首先按照法那么進行計算，然后靈活變形，使其出現a b丨與ab，以便求值. 3 a2 考點4、利用整式運算求代數式的值例6. 2022年長沙先化簡，再求值：(a b)(a b) (a b)2 2a2 ,其中 a 3, b 1.，所以B丨錯；根據同底數幕的除法法那么知a3 a2 a8 2 a6，所以C錯；應選D.例2.2022年齊齊哈爾10m 2，10n 3，那么103m 2n .分析：此題主要考查幕的 運算性質的靈活 應用，可先逆用同底數幕的乘法法那么 am an amn,將指數相加化為幕相乘的形式

30、，再逆用幕的乘方的法那么 (am)n amn,將指數 相乘轉化為幕的乘方的形式，然后代入求值即可3m 2n3m2nm、3n、232解：101010(10 ) (10 )2 372.考點2、整式的乘法運算例3.2022年賀州計算：(2a)a31) =.分析:此題主要考查單項式與多項式的乘法運算計算時，按照法那么將其轉化為單項式與單項式的乘法運算，注意符號的變化.111解：(2a) ( a3 1) = ( 2a)a3 ( 2a) 1 =a4 2a.442考點3、乘法公式2例4. (2022年山西省)計算：x 3 x 1 x 2分析:運用多項式的乘法法那么以及乘法公式進行運算，然后合并同類項2 2 2解：x 3 x 1 x 2 =x2 6x 9 (x2 2x x 2)22=x 6x 9