1、電磁學計算方法的比較| <<>>摘 要：介紹了電磁學計算方法的研究進展和狀態，對幾種富有 代表性的算法做了介紹，并比較了各自的優勢和不足，包括矩量法、 有限元法、時域有限差分方法以及復射線方法等。關鍵詞：矩量法；有限元法；時域有限差分方法；復射線方法1引言1864年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第 定律和自由磁極不存在）和實驗的基礎上建立了統一的電磁場理論， 并用數學模型揭示了自然界一切 宏觀電磁現象所遵循的普遍規律， 這就是著名的Maxwell方程。在11種可分離變量坐標系求解Maxwel l方程組或者其退化形式，最后得到解析解。這 種方法可以得

2、到問 題的準確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有 規則邊界的簡單問題。對于不規則形狀或者任意形狀邊界則需要比較 高的數學 技巧，甚至無法求得解析解。20世紀60年代以來，隨著 電子計算機技術的發展，一些電磁場的數值計算方法發展起來，并得 到廣泛地應用，相對于經典電磁理論 而言，數值方法受邊界形狀的 約束大為減少，可以解決各種類型的復雜問題。但各種數值計算方法 都有優缺點，一個復雜的問題往往難以依靠一種單一方法解決，常需 要 將多種方法結合起來，互相取長補短，因此混和方法日益受到人們的重視。本文綜述了國內外計算電磁學的發展狀況，對常用的電磁計算方法做了分類。2 電磁場數值方法的

3、分類電磁學問題的數值求解方法可分為時域和頻域2大類。頻域技術主要有矩量法、有限差分方法等，頻域技術發展得比較早，也比較成熟。時域法主要有時域差分技 術。時域法的引入是基于計算效率的 考慮，某些問題在時域中討論起來計算量要小。例如求解目標對沖激脈 沖 的 早 期 響 應 時 ，頻 域 法 必 須 在 很 大 的 帶 寬 內 進 行 多 次 采 樣 計 算 ， 然后做傅里葉反變換才能求得解答，計算精度受到采樣點的影響。若有非線性部分隨時間變化，采用時域法更加直接。另外還有一些高頻方法，如GTD, UTD和射線理論。從求解 方 程的形式看 ，可 以 分 為 積 分 方 程 法( IE )和 微分方程

4、 法(DE) 。IE和DE相比，有如下特點：IE法的求解區域維數比DE法 少 一 維，誤 差 限于求解區 域 的 邊 界 ，故 精 度 高 ； IE 法適 合求無限 域問題，DE法此時會遇到網格截斷問題；IE法產生的矩陣是滿的，階 數小，DE法所產生的是稀疏矩陣，但階數大；IE法難以處理非均勻、 非線性和時變媒質問題，DE法可直接用于這類問題1。3 幾 種 典 型 方 法 的 介 紹有限 元 方 法是在20 世紀 40 年代 被 提 出 ， 在 50年 代 用 于 飛 機 設計。后來這種方法得到發展并被非常廣泛地應用于結構分析問題中。 目 前 ，作為 廣 泛應用于 工程 和 數 學問 題 的

5、一 種 通 用 方法 ，有 限 元 法 已非常著名。有限元法是以變分原理為基礎的一種數值計算方法。其定解問題為：應用變分原理，把所要求解的邊值問題轉化為相應的變分問題， 利用對區 域 D 的 剖分、插 值 ，離 散化變分 問 題為普通多元函數的極值問題，進 而 得 到 一組多元 的 代數 方程組，求 解代數方程組就可以得到所求邊值問題的數值解。(1)時域有限差分方法時域有限差分(FDTD)是電磁場的一種時域計算方法。傳統上電 磁場的計算主要是在頻域上進行的，這些年以來，時域計算方法也越來越受到重視。他已在很多 方面顯示出獨特的優越性，尤其是在解 決有關非均勻介質、任意形狀和復雜結構的散射體以及

6、輻射系統的電磁問題中更加突出。FDTD法直接求解依賴時間變量的麥克斯韋旋度 方程，利用 二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉換為差分形式，這樣達到在一定體積內和一段時間上對連續電磁場的數據取樣壓 縮。電場和磁場分量在空間被交叉放置，這樣保證在介質邊 界處切向場分 量的連續條 件自然得到滿 足 。在 笛卡 兒坐 標 系 電場和磁 場分量在網格 單元中的位 置是每一磁 場 分 量 由4個電 場 分 量包圍著，反之亦然。這種電磁場的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然 幾何結構。因此FDTD算法是計算機在數據存儲空間中對連續的實際 電磁波的傳播過程在時間進程上 進行數字模擬。而在

7、每一個網格點 上各場分量的新值均僅依賴于該點在同一時間步的值及在該點周圍 鄰近點其他場前半個時間步的值。這正是電磁場的感應原理。這 些 關系構成FDTD法的基本算式，通過逐個時間步對模擬區域各網格點 的計算，在執行到適當的時間步數后，即可獲得所需要的結果。在上述算法中，時間增量A t和空間增量Ax, A y和A z不是 相互獨立的，他們的取值必須滿足一定的關系，以避免數值不穩定。 這種不穩定表現為在解顯式 差分方程時隨著時間步的繼續計算結果 也 將 無 限 制 的 67 增 加 。 為 了 保 證 數 值 穩 定 性 必 須 滿 足 數 值 穩 定 條 件 ：用差分方法對麥克斯韋方程的數值計算

8、還會在網格中引起所模 擬波模的色散，即在FDTD網格中數字波模的傳播速度將隨波長、在 網格中的傳播方向以及離散化的 情況而改變。這種色散將導致非物 理 原 因 引 起 的 脈 沖 波 形 的 畸 變 、為 的 各 向 異 性 及 虛 擬 的 繞 射 等 ，因 此 必須考慮數值色散問題。如果在模擬空間中采用大小不同的 網格或包 含 不 同 的 介 質 區 域 ，這 時 網 格 尺 寸 與 波 長 之 比 將 是 位 置 的 函 數 ，在 不同網格或介質的交界面處將出現非物理的繞 射和 反射現 象，對此也應該進行定量的研究，以保證正確估計FDTD算法的精度。在開放問 題中電磁場將占據無限大空間，而

9、由于計算機內存總是有限的，只能模擬有限空間，因此差分網格在某處必將截 斷，這就要求在網格截 斷處不引起波的明顯反射，使對外傳播的波就像在無限大空間中傳播一樣。這就是在截斷處設置吸收邊界條件，使傳播到截斷處的波被邊界吸 收而不產生反射，當然不可能達到完全沒有反射，目前已創立 的一些吸收邊界條件可達到精度上的要求，如Mur所導出的吸收邊界 條件。(2 )復射線方法復射線是用于求解波場傳播和散射問題的一種高頻近似 方法 。他根 據 幾何 光學理論和幾何繞射理論的分析方法和計算公式，在解 析 延拓的復空間中求解復射線軌跡和 場的振幅和相位，從而直接得出局 部 不 均 勻 波( 凋 落 波 )的 傳 播

10、 和 散 射 規 律 。復 射 線 方 法 是 包 括 復 射 線 追蹤、復射線近軸近似、復射線展開以及復繞射線等處 理技術在內 的 一 系列 處 理方法的統稱。其共同 特點在于：通過將射線參考點坐標延拓到復空間而建立了一個簡單而統一的實空間中波束/射線束(B undleofrays)分析模型；通過費 馬原理及其延拓，由基于復射線追蹤 或 復射 線 近軸近似的處理技術，構造了射線光學架構下有效的鞍點場描述方法等。例如，復射 線追蹤法將射線光學中使用的射線追蹤 方法和場強計算公式直接地解析延拓到復空間，利用 延 拓 后 的 復 費 馬原理進行復射線搜索，從而求出復射線軌跡和復射線場。 這一方法

11、的特點在于可以基于射線光學方法有效地描述空 間中 波 束 的 傳 播 ，因此 ，提 供 了 一 類 分 析 波 束 傳 播 的 簡 便 方 法 。其 不 足 之 處 是 對 每 一 個 給 定的觀察點必須進 行一次二維或四維的復射線軌跡搜索，這是一個 十分花費時間的計算機迭代過程。4 幾 種 方 法 的 比 較 和 進 展將有限元法移植到電磁工程領域還是二十世紀六七十年代的事情 ，他 比 較 新 穎 。有 限 元 法 的 優 點 是 適 用 于 具 有 復 雜 邊 界 形 狀 或 邊 界 條件、含有復雜媒質的定解問題。 這種方法的各個環節可以實現標 準 化 ，得 到 通 用 的 計 算 程 序

12、 ，而 且 有 較 高 的 計 算 精 度 。但 是 這 種 方 法 的計算程序復雜冗長，由于他是區域性解法，分割的元素數和節 點 數較多，導致需要的初始數據復雜繁多，最終得到的方程組的元數很大，這使得計算時間長，而且對計算機本身的存儲也提出了要求。對電磁學中的許多問題，有 限元產生的是帶狀（如果適當地給節點編號的話）、稀疏陣（許多矩陣元素是0）。但是單獨采用有限元法只能解決開域問題。用有限元法進行數值分析的第一步是 對目標的離 散 ，多 年 來 人 們 一 直 在 研 究 這 個 問 題 ，試 圖 找 到 一 種 有 效 、方 便 的 離 散 方 法 ，但 由 于 電 磁 場 領 域 的 特

13、 殊 性 ，這 個 問 題 一 直 沒 有 得 到 很 好 的 解決。問題的關 鍵在于一方面對復雜的結構，一般的剖分方法難于適用；另一方面，由于剖分的疏 密與最終所形 成 的 系 數 矩 陣 的 存 貯 量密切相關，因而人們采用了許多 方法來減少存 儲 量 ，如 多 重 網 格 法 ，但這些方法的實現較為困難6。網格剖分與加密是有限元方法發展的瓶頸之一，采用自適應網格剖分和加 密技術相對來說可以較好地解決這一問題。自適應網格剖分根據對場量分布求解后的結果對 網格進行增加剖分密度的調整，在 網格密集 區采用高階插值函數，以進一步提高精度，在場域分布變化劇烈區域，進行多次加密。這些年有限元方法的發

14、展日益加快，與其他理論相結合方面也有了新的進 展，并取得了相當應用范圍的成 果，如自適應網格剖分、三維場建模求解、耦合問題、開域 問題、高磁性材料及具有磁滯飽和 非線性特 性介質的處理等，還包括一些尚 處于探索階段的工作，如擬問題、人工智能和專家系統在電磁裝置優化設計中的應用、邊 基有 限元法等，這些都使得有限元方法的發展有了質的飛躍。矩量法將連續方程離散化為代數方程組，既適用于求解微分方 程，又 適用于求 解積 分方 程 。他 的求解過程簡 單 ，求 解步驟統一，應用 起 來 比 較 方 便 。 然 而 77 他 需 要 一 定 的 數 學 技 巧 ， 如 離 散 化 的 程 度 、 基函

15、數 與權函數 的選 取，矩 陣求 解過程等。另 外 必須 指出的是，矩 量法可以達到所需要的精確度，解析部分簡單，可 計算量很大，即使 用 高 速 大 容 量 計 算 機 ，計 算 任 務 也 很 繁 重 。矩 量 法 在 天 線 分 析 和 電 磁 場散射問題中有比較廣泛地應用，已成功用于天線和天線陣的輻射、 散射問 題、微帶和有耗結構分析、非均勻地球上的傳播及人體中電 磁吸收等。FDTD 用 有 限 差 分 式 替 代 時 域 麥 克 斯 韋 旋 度 方 程 中 的 微 分 式 ， 得 到 關 于 場 分 量 的 有 限 差 分 式 ，針 對 不 同 的 研 究 對 象 ，可 在 不 同

16、的 坐 標 系中建模，因而具有這幾個優 點，容易對復雜媒體建模，通過一次 時域分析計算，借助傅里葉變換可以得到整個同帶范圍內的頻率響 應；能夠實時在現場的空間分布，精確模擬各種輻射體和散射 體的 輻射特性和散射特性；計算時間短。但是FDTD分析方法由于受到計 算機存儲容量的限制，其網格空間不能無限制的增加，造成FDTD方 法 不 能 適 用 于 較 大 尺 寸 ，也 不 能 適 用 于 細 薄 結 構 的 媒 質 。因 為 這 種 細 薄結構的最小尺寸比FDTD網格尺寸小很多，若用網格擬和這類細薄 結構只能減小 網格尺寸，而這必然導致計算機存儲容量的加大。因 此需要將FDTD與其他技術相結合，

17、目前這種技術正蓬勃發展，如時 域積分方程/ FDTD方法，FDTD/ MOM。FDTD的應用范圍也很廣闊， 諸如手持機輻射、天線、不同建筑物結構室內的電磁干擾特性研究、 微帶線等7 。復射線技術具有物理模型簡單、數學處理方便、計算效率高等特點，在復雜目標散射特性分析等應用領域中有重要的 研 究價值。典型的處理方式是首先將入射平面波 離散化為一組波束指向平行的復源 點場，通過特定目標情形下的射線追蹤、場強計算和 疊 加各射線場的貢獻，可以得到特定觀察位置處散射場的高頻漸進解。目前已 運用復射線分析方法對飛行器天線和天線罩（雷達艙）、（加吸波涂層） 翼 身 結 合 部 和 進氣 道 以 及 涂 層 的 金 屬 平 板 、角 形 反 射 器 等 典 型 目 標 散 射特性進行了成功的分 析。盡管復射線技術的計算誤差可以通過參 數 調整 得到 控制 ，但 其 本 身 是 一 種 高 頻 近似 計 算 方 法，由 于 入射 波場的離散和只引入鞍點貢獻，帶來了不可避免的計算誤 差。總的來說 復 射線 方法 在目 標電 磁 散 射 領 域 還 是 具 有獨 特 的 優 勢，尤 其 是對 復雜目標的處理。5 結 語電 磁 學 的 數 值 計 算 方 法 遠 遠 不 止 以 上 所 舉 ，還 有 邊