1、2012年高三診斷考試卷數 學注意事項:1.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分題號后標注“理科”的試題為理科考生解答，標注“文科”的試題為文科考生解答，未作標注的試題文、理科考生均解答2.本試卷滿分150分，考試用時120分鐘。3答題全部在答題紙上完成，試卷上答題無效。第卷 (選擇題，共60分)一、本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的）1 （理科）已知復數滿足（為虛數單位），則= （ ）(文科)集合，則2.函數的反函數為3設等比數列的前項和為，若，則 （ ）4已知點（），則“且”是“點在圓”外的（ ）5（理科）已知向量與互相垂

2、直，且為銳角，則函數的一條對稱軸是 （ ）(文科)已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在邊上，則的周長是 （ ）6曲線 在點處的切線與直線和所圍成的區域內（包括邊界）有一動點，若，則的取值范圍是 （ ）7（理科）已知函數是奇函數，當時，則不等式 的解集是 （ ） （文科）已知向量與互相垂直，且為銳角，則函數的一條對稱軸是 ( ）8（理科）在三棱柱中，各側面均為正方形，側面的對角線相交于點，則與平面所成的角的大小是 （ ）（文科）已知函數是奇函數，當時，則不等式 的解集是 （ ） 9（理科）若函數，且的最小值等于 ，則正數的值為 （ ） （文科）在三棱柱中，各側面均為正方

3、形，側面的對角線相交于點，則與平面所成的角的大小是 （ ）10（理科）過點的直線與橢圓交于，線段的中點為設直線 的斜率為（，直線（為坐標原點）的斜率為，則等于 （ ） （文科）若函數，且的最小值等于 ，則正數的值為 （ ） 11正棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線若一個正棱柱有10條對角線，那么（ ）12已知為雙曲線（）的右焦點，為雙曲線右支上一點，且位于軸上方，為直線上一點，為坐標原點，已知且，則雙曲線的離心率為 （ ）第卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13 。14三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為，則三棱錐外接

4、球的表面積是 。15（理科）若則 。 （文科）展開式中，不含項的系數之和為，則 。16雙曲線一條漸近線的傾斜角為，離心率為，則的最小值為 . 三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分10分） （理科）的三內角的所對的邊分別為，且（為銳角），（）求的大小（）若且,求的面積(文科)設等差數列的前項和為,若求:（）； （）的最小值.18（本小題滿分12分） （理科）某城市為了推動全民健身運動在全市的廣泛開展，該市電視臺開辦了健身競技類欄目健身大闖關，規定參賽者單人闖關，參賽者之間相互沒有影響，通過關卡者即可獲獎。現有甲、乙、丙3人參加當天闖關比賽

5、，已知甲獲獎的概率為，乙獲獎的概率為，丙獲獎而甲沒有獲獎的概率為 （）求三人中恰有一人獲獎的概率； （）記三人中獲獎的人數為，求的數學期望.（文科）的三內角的所對的邊分別為，且（為銳角），（）求的大小（）若且,求的面積19（本小題滿分12分） （理科）如圖，三棱柱中，底面正三角形，側面 是的菱形，且側面底面，為中點（）求證： （）若點為上的一點，當時，求二面角的正切值 （文科）某城市為了推動全民健身運動在全市的廣泛開展，該市電視臺開辦了健身競技類欄目健身大闖關，規定參賽者單人闖關，參賽者這間相互沒有影響，通過關卡者即可獲獎。現有甲、乙、丙3人參加當天闖關比賽，已知甲獲獎的概率為，乙獲獎的概率為

6、，丙獲獎而甲沒有獲獎的概率為 （）求三人中恰有一人獲獎的概率； （）記三人中獲獎的人數為，求的數學期望.20（本小題滿分12分） （理科）已知數列中，（）求數列的通項公式.（）已知的前項和為，且對任意正整數，都有成立求證：（文科）如圖，三棱柱中，底面正三角形，側面 是的菱形，且側面底面，為中點（）求證： （）若點為上的一點，當時，求二面角的正切值 21（本小題滿分12分） （理科）已知點是直線上的動點，為定點，過點且垂直于直線的直線和線段的垂直平分線相于點（）求點的軌跡方程（）經過點且與軸不垂直的直線與點的軌跡有兩個不同的交點，若在軸上存在點，使得為正三形，求實數的取值范圍（文科）已知函數的導

7、數滿足，其中常數（）判斷函數的單調性并指出相應的單調區間；（）若方程有三個不相等的實根，且函數在上的最小值為，求實數的值.22（本小題滿分12分） （理科）已知函數，為自然對數的底數（）若時，恒有成立，求實數的取值范圍（）若，證明：（文科）已知點是直線上的動點，為定點，過點且垂直于直線的直線和線段的垂直平分線相于點（）求點的軌跡方程（）經過點且與軸不垂直的直線與點的軌跡有兩個不同的交點，若在軸上存在點，使得為正三形，求實數的取值范圍參考答案和評分參考一、選擇題（12小題，每小題5分，共60分）（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D（7）D （8）C （9）C （10）B （

8、11）B （12）A二、填空題（4小題，每小題5分，共20分）（13） （14） （15） （16）三、解答題(6小題，共70分)（17）解：（）設該數列的公差為 4分 5分（）當時，取得最小值 10分（18）解：（） 6分（），且解得：，所以 故 12分解法二：因為，且由余弦定理，得：解得：，所以 12分（19）解：設甲獲獎為事件，乙獲獎為事件，丙獲獎為事件，丙獲獎的概率為，則即 解得 3分（）三人中恰有一人獲獎的概率： 6分（）三人中至少有2人獲獎的概率為： 12分（20）解法一：()證明： 為的中點為正三角形 平面 而平面平面平面6分() 點為的中點 平面 7分過點做，垂足為，連接則，所以為二面角的一個平面角9分 設，則 12分解法二：依題意有，兩兩垂直且相交于點，故建立如圖所示的空間直角坐標系，設則：，（）， 平面 而平面平面平面 6分() 點為的中點 平面為平面的一個法向量設為平面的一個法向量，則有，即 令則， 而 二面角的正切值 12分（21）解：（）因，故，依題意有 解得 3分所以，由得或，由得所以函數在與上單調遞增，在上單調遞減6分（）由（）知，函數當時取得極大值，當時取得極小值所以當方程有三個不相等的實根時， 8分當時，解得