1、江蘇省無錫市2015屆高三上學期期末考試數學試題一、填空題1.已知復數滿足,則的模為 .2.已知集合,則 .3.已知角的終邊經過點,且,則的值為 .4.根據如圖所示的流程圖，則輸出的結果為 . 5.將本不同的數學書和本語文書在書架上隨機排成一行，則本數學書相鄰的概率為 .6.若一組樣本數據的平均數為，則該組樣本數據的方差為 .7.已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為 .8.三棱錐中，分別為的中點，記三棱錐的體積為，的體積為，則 .9.將函數的圖像向左平移個單位長度后，所得的圖像關于軸對稱，則的最小值是 .10.已知菱形的邊長為，,點分別在邊上，.若，則 .11.已知正實數

2、滿足，則的最大值為 .12.已知數列的首項，前項和為，且滿足，則滿足的的最大值為 .13.已知點位圓外一點，圓上存在點使得，則實數的取值范圍是 . 14.已知函數是定義域為的偶函數，當時，若關于的方程有且僅有個不同實數根，則實數的取值范圍是 .二、解答題15.（本小題滿分14分）已知向量.(1)當時，求的值；(2)設函數，當時，求的值域.16. （本小題滿分14分）如圖，過四棱柱形木塊上底面內的一點和下底面的對角線將木塊鋸開，得到截面.(1)請在木塊的上表面作出過的鋸線，并說明理由；(2)若該四棱柱的底面為菱形，四邊形時矩形，試證明：平面平面.17. （本小題滿分14分）某公司生產的某批產品的

3、銷售量萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用萬元滿足（其中為正常數）.已知生產該批產品還要投入成本萬元（不包含促銷費用），產品的銷售價格定為元/件.(1)將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；(2)當促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？18. （本小題滿分16分）已知橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，設直線的斜率分別為.(1)若時，求的值；(2)若時，證明直線過定點.19. （本小題滿分16分）在數列中，已知，數列的前項和為，數列的前項和為，且滿足，其中為正整數.(1)求數列的通項公式；(2)問是否存在正整數，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序實數對，若不存在，請說明理由.20.

4、 （本小題滿分16分）設函數在點處的切線方程為.(1)求實數及的值；(2)求證：對任意實數，函數有且僅有兩個零點.附加題21、A（10分）選修4-1幾何證明選講如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CBCE。（1）證明：DE;（2）設AD不是圓O的直徑，AD的中點為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形。21、B（10分）選修4-2，矩陣與變換已知矩陣M，試求（I）矩陣M的逆矩陣M1；（II）直線y2x在矩陣M1對應的變換作用下的曲線方程。21、C（10分）選修4-4，坐標系與參數方程已知半圓C的參數方程為（I）在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，

5、x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求半圓C的極坐標方程；(II)在（I）的條件下，設T是半圓C上的一點，且OT，試寫出T點的極坐標。21、D（10分）選修4-5，不等式選講已知函數f（x）x1xa、（I）當a2時，解不等式f（x）4；（II）若不等式f（x）a恒成立，求實數a的取值范圍。22、如圖，拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（2,1），均在拋物線上。（I）求拋物線的方程；（II）若APB的平分線垂直于y軸，證明直線AB的斜率為定值。23、已知整數，集合的所有含有3個元素的子集記為設中所有元素之和為解析版1已知復數滿足,則的模為 【答案】1【解析】試題分析：考點：復數的模2已知

6、集合,則 【答案】【解析】試題分析：因為為奇數集，所以考點：集合的交集3已知角的終邊經過點,且,則的值為 【答案】10【解析】試題分析：考點：三角函數定義4根據如圖所示的流程圖，則輸出的結果為 【答案】7【解析】試題分析：第一次循環：，第二次循環：，第三次循環：，第四次循環：，第五次循環：，第六次循環：，第七次循環：，結束循環輸出考點：循環根據流程圖5將本不同的數學書和本語文書在書架上隨機排成一行，則本數學書相鄰的概率為 【答案】【解析】試題分析：將本不同的數學書和本語文書在書架上隨機排成一行，共有種基本事件，其中本數學書相鄰包含種基本事件，所以概率為考點：古典概型概率6若一組樣本數據的平均數

7、為，則該組樣本數據的方差為 【答案】2【解析】試題分析：由題意得，該組樣本數據的方差為考點：方差7已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為 【答案】【解析】試題分析：由題意得考點：雙曲線的離心率8三棱錐中，分別為的中點，記三棱錐的體積為，的體積為，則 【答案】【解析】試題分析：考點：三棱錐體積9將函數的圖像向左平移個單位長度后，所得的圖像關于軸對稱，則的最小值是 【答案】【解析】試題分析：，所以向左平移個單位長度后變換為，由題意得因此的最小值是考點：三角函數圖像與性質10已知菱形的邊長為，,點分別在邊上，.若，則 【答案】【解析】試題分析：，因為，所以考點：向量數量積11已知

8、正實數滿足，則的最大值為 【答案】【解析】試題分析：，當且僅當時，取等號考點：基本不等式求最值12已知數列的首項，前項和為，且滿足，則滿足的的最大值為 【答案】9【解析】試題分析：由，得，兩式相減得，又，所以數列為首項，公比為的等比數列，的最大值為9考點：等比數列13已知點為圓外一點，圓M上存在點T使得則實數的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：由題意得，所以考點：直線與圓位置關系14已知函數是定義域為的偶函數，當時，若關于的方程有且僅有個不同實數根，則實數的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：當時， 所以而函數是定義域為的偶函數，所以因此方程在上有兩個不同的實根即，解得實數的取值范圍考點

9、：函數圖像，一元二次方程實根分布15已知向量.(1)當時，求的值；(2)設函數，當時，求的值域.【答案】(1)-7， (2) 【解析】試題分析：(1)由向量共線得到等量關系，求出角的正切值，再利用兩角差正切公式求解： (2)先根據向量數量積，利用二倍角公式及配角公式得到三角函數關系式，再從角出發研究基本三角函數范圍：試題解析：(1), 3分 6分(2) 8分 11分，的值域為 14分考點：向量平行坐標表示，三角函數性質16如圖，過四棱柱形木塊上底面內的一點和下底面的對角線將木塊鋸開，得到截面.(1)請在木塊的上表面作出過的鋸線，并說明理由；(2)若該四棱柱的底面為菱形，四邊形時矩形，試證明：平

10、面平面.【答案】(1)如圖 (2)詳見解析【解析】試題分析：(1)本題實質為確定截面與上底面的交線，這利用面面平行性質定理，可得交線相互平行:即由平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，得EF/BD,又 B1B/D1D,從而EF/ B1D1 (2)證明面面垂直，一般利用其判定定理，即證線面垂直：由BDA1A，BDAC得到BD平面A1C1CA，從而平面BDFE平面A1C1CA試題解析：(1)在上底面內過點P作B1D1的平行線分別交A1D1,A1B1于F,E兩點，則EF為所作的鋸線. 2分在四棱柱中，側棱B1B/D1D,B1B=D

11、1D，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，B1D1/BD 4分又平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，所以EF/BD,從而EF/ B1D1 7分 (2) 證明：由于四邊形BB1D1D是矩形，所以BDB1B，又A1A/B1B所以BDA1A 9分又四棱柱的底面為菱形，所以BDAC因為ACA1A=A，AC平面A1C1CA, A1A 平面A1C1CA所以BD平面A1C1CA 12分因為BD平面BDFE所以平面BDFE平面A1C1CA 14分考點：面面平行性質定理，面面垂直判定定理17某公司生產的某批產品的銷售量萬件（生產量與銷售量相

12、等）與促銷費用萬元滿足（其中為正常數）.已知生產該批產品還要投入成本萬元（不包含促銷費用），產品的銷售價格定為元/件.(1)將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；(2)當促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？【答案】(1) (2)當時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大；當時，促銷費用投入萬元時，該公司的利潤最大【解析】試題分析：(1)根據利潤等于銷售額減去促銷費用及投入成本，列出函數關系式： 再將代入化簡得 (2)利用基本不等式求最值，要注意其等號取法，本題需結合定義域進行討論：當且僅當時，取等號.當時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大；當時，函數在上單調遞增，促銷費用投

13、入萬元時，該公司的利潤最大試題解析：(1)由題意得： 3分將代入化簡得 5分(2) 當且僅當時，取等號 8分當時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大 9分當時，此時函數在上單調遞增所以當時，函數在上單調遞增 11分所以時，函數有最大值，即促銷費用投入萬元時，該公司的利潤最大 12分綜上，當時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大；當時，促銷費用投入萬元時，該公司的利潤最大 14分考點：函數實際應用，利用基本不等式及導數求最值18已知橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，設直線的斜率分別為.(1)若時，求的值；(2)若時，證明直線過定點.【答案】(1) (2)詳見解析【解析】試題分析：(1)求

14、斜率關系，通法為從坐標出發：將直線方程代入橢圓方程得：解出 從而因此(2)動直線過定點，關鍵研究出動直線方程中不變的量：由直線特殊情況分析可得m必為常數：由知即因此利用韋達定理代入化簡：所以所以直線過定點試題解析：(1)將直線方程代入橢圓方程得： 2分解得 4分所以 6分所以 8分(2) 設將直線方程代入橢圓方程得： 10分則由知 12分化簡得將代入化簡得所以 14分所以直線過定點 16分考點：直線與橢圓位置關系19在數列中，已知，數列的前項和為，數列的前項和為，且滿足，其中為正整數.(1)求數列的通項公式；(2)問是否存在正整數，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序實數對，若不存在，請說明

15、理由.【答案】(1) ， (2) 【解析】試題分析：(1) 由和項與通項的關系，化簡得到數列的遞推關系：當時， ，兩式相減得，從而得到數列為隔項成等差，又，可解得 ，同理因為，所以所以數列成公比為的等比數列，所以 (2)先根據等比數列和項公式得：，代入化簡繁分數并部分分離得：，取倒數要明確數的性質：即，從而可解得試題解析：(1) 因為 ，所以當時，兩式相減得，又 也適合， 2分當時，兩式相減得， 4分所以數列的奇數項成公差為2的等差，偶數項也成公差為2的等差又，可解得 6分因為，所以又，所以數列成公比為的等比數列所以 8分(2) 因為，所以 10分由得 12分化簡得： 14分故，符合條件的有序實數對為 16分考點：由數列和項求通項，數列綜合應用20設函數在點處的切線方程為.(1)求實數及的值；(2)求證：對任意實數，函數有且僅有兩個零點.【答案】(1) (2)詳見解析【解析】試題分析：(1) 由導數幾何意義得： ， ，又 ，解得 (2)先