1、華東理工大學概率論答案作者:日期:華東理工大學概率論與數理統計學院專業班級學號姓名任課教師第十九次作業一.填空題：1.在一批墊圈中隨機抽取 10 個,測得它們的厚度單位：mm如下：1.23,1.24,1.26,1.29,1.20,1.32,1.23,1.23,1.29,1.28用矩估計法得到這批墊圈的數學期望的估計值?=x1.257,標準差的估計值？=&10.037.2.將適宜的數字填入空格,其中：1總體矩,2樣本矩,3中央極限定理,4大數定理.矩估計的做法是用2,代替1,其依據是4o3 .總體XN,2,其中未知參數和的極大似然估計分別為X和Sn1,那么概率 PX2的極大似然估計為 2

2、X.Sn1二.計算題：11.設總的分布律為 PXk-,k01,2,N1,其中N未知,XI,Xn為來自該總體的樣本,試分別求 N 的矩估計N?M和極大似然估計N?L解：1矩估計 11總體均值：EX01NNn樣本平均值：X-Xi,ni1設XI,X2,Xn的一組觀測值為X1,X2,Xn,N1令EXX,即-一1X,得N2(2)極大似然2X1,即 N 的矩估計為N?M2X1似然函數L(N)P(XXi),顯然 N 越小,似然函數值越大.iiNnN?LX(n)1,即 N 的極大似然估計為N?LX(n)12.設總體 X 服從幾何分布：P(Xx)p(1p)x1,x1,2,其中 p 未知設(X1,X2,Xn)為

3、X 的樣本,試求 p 的矩法估計和極大似然估計.11解：(1)由于Ge(p),因此E,由矩法原那么可知EX,故？pX(2)設樣本(X1,X2,L,Xn)的一組觀測值為(x1,x2,L,xn),由于總體為離散型nn因此似然函數L(p)P(Xixi)pn(1p):i1取對數,得lnL(p)nlnp；山nln(1p),n上式兩端關于 p 求導,令d1nL(p)口i1xin0,dpp1p解上式,得1口0?p1pX未知參數,(XI,X2,Xn)是來自總體的樣本,分別用矩估計法和極大似然法求的估計量.解：總體 X 的數學期望為 EXxf(x)dx(1)x1dx、1n1設X1Xi為樣本均值,那么應有：X1,

4、ni12解得的矩法估計量為:由0 x(i)XnN1,得Nxn1,那么 N 的極大似然估計值為3.設總體總體 X 的密度函數為 f(x)(1)x,0 x1,其中0,其他設(x1,x2,Xn)是樣本(X1,X2,Xn)的觀察值,那么似然函數為:L()f(Xi)(1)Xi1)n(X1X2Xn),00,Xi1,i1,2,其他,nXi1(i1,2,n)時,L(0,InL(nln(1)nlnxi,i1令dlnL()nlnxi0故的極大似然估計量為:4.設總體 X 的分布律為其中(0,解得的極大似然估計值:nnlnxii1nnlnXiX0123P22(1)212現有一樣本:11)TH 未知參數.i13,1,

5、3,0,3,1,2,3求的矩估計值?和極大似然估計值?L.解：(1)由矩法原那么可知：EX0212(1)223(12)31303由樣本得：X82,故的矩估計值？M(2)注意該總體為離散型,且分布律不能由解析式表示.彳以然函數L()PXI3PX23PX33PX40PX53PX61PX72PX83(2)2(2(1)2(12)446(1)2(12)4,取對數,得lnL()ln46ln2ln(1)4ln(12),令dlnL()6_2_24286c0,(1)(12)第二十次作業一.選擇題：1.設總體 X 的數學期望為,(Xi,X2,Xn)是取自總體的樣本,那么以下命題中正確的選項是(A)A.Xi是的無偏

6、估計量；B.Xi是的極大似然估計量；C.Xi是的一致(相合)估計量；D.Xi不是估計量.2 .設(Xi,X2,Xn)為總體XN(,2)()的一個樣本,X為樣本均值,那么總體方差2的以下估計量中,為無偏估計量的是(C).二.計算證實題：i.設總體N(,i),(Xi,X2,X3)是的樣本,都是的無偏估計(2)i,2,3這三個估計中,哪一個估計最有效?證實:解得7K13,由于12Y3；不合題意,故舍去.因此,的極大似然估計值為？L得.A.1nnii2(XiX)；cinC.l(Xinii)2；1ni-2B.(XiX);niii1n2D.(Xi)2;niiii(i)證實：i-Xi21X23Xi2X3_X

7、i4X23X2?2；X3XixE?E?2E?31X21X32X51X41X32X5所以,？1,?2,Z都是1X41X31X51EX241EX23-EX251EX341EX3331EX353121325141325141315的無偏估計.(2)由于樣本X1,X2,L,Xn獨立同分布,那么D?D?2D?31X21X32X5-X41X32X5D?32.設從均值為1X41X31X51DX141DX19DX125-DX2161DX294-DX161DX9DX22525DX3925D2,故？2最有效.,方差為20的總體中,分別抽取容量為1和山的兩個獨立樣本,X1和X2分布是這兩個樣本的均值.試證：對于任意

8、常數a,b(ab1),YaX1bX2是的無偏估計,并確定常數a,b,使得 DY 到達最小.證實:由于EYE(aX1bX2)aEX1bEX2(ab)故對于任意常數a,b(ab1),YaX1bX2都是的無偏估計.由于兩個樣本獨立,因此X1,X2相互獨立,那么由定理 6.2.1,可知DYE(aX1bX2)2h22b,將 b1a 代入,得%22DYani(1a)2引/2n1a叫2,求其最小值,nin22(nn2)a2n1aR22(nn2)a2nn2rmX1,X2,Xn是來自于 X 的一個樣本,X 是樣本均值,X(1)minX1,X2,Xn.?一11nE?E(X9)所以？X1是無偏估計量.2再證？2是無

9、偏估計量,先求X(1)的概率分布,1,X 的密度函數 p(x)F(x)o1)11n1n1n11 也是無偏估計重.n1b1a,即當ann24bnn2時,DY 最小.nn23.設隨機變量 X 服從區間(,1)上的均勻分布,其中為未知參數,證實：？x2 和？2X(1)1都是無偏估計重(nn11).證實：由于 X 服從區間(,1)上的均勻分布,所以 EXjEXX 的分布函數F(x)PXx0,x1,1,1Xi,X2,Xn與 X 獨立且同分布,故X(i)的分布函數為:%(x)PX(i)x11F(x)n,f(x)F(1)(x)n1F(x)n1p(x)n(1x)0,x其它于是,EX(n1xf(x)dxnx(1

10、nx)1dx1(1x)(1x)n1dxn(11(1x)n1dxE(X(1).1 一4.設總體 X 服從參數為1的指數分布,XI,X2,Xn是總體 X 的一個樣本,證實：1X和 nminXj 都是的無偏估計；2問 X,nminXj 中哪個1:更有效?minXi概率密度函數為1inPminXi(x)1in0,nn2edxnxennx2xedx2證實：1由 X 服從參數為1的指數分布,得到EXi,i1,2,.,n,于是-1EXE(-nn1nXi)EXi為了計算 EnminXi1in先給出 X 的分布函數為:xF(x)1e0,0,0,于是有 minXi的分布函數1inin_xFminX.)111inF(x)n10,0,0,0,0,故E(nminXi)n1innxdx2同樣由于 X 服從參數為工的指數分布,得到DXi,i1,2,.,n,于是_1n1DXD(