1、g3.1067 空間角 .空間距離綜合一 :高考真題 :1.如圖 9 1，在正三角形ABC 中， D， E，F(xiàn) 分別為各邊的中點，G， H， I， J 分別為 AF， AD， BE， DE 的中點 .將 ABC 沿 DE， EF ， DF 折成三棱錐以后，GH 與 IJ 所成角的度數(shù)為（）A.90 °B .60°C.45°D.0 °2.正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1 E1F1 的底面邊長為1，側(cè)棱長為2 ，則這個棱柱的側(cè)面對角線 E1D 與 BC1 所成的角是（）圖 91A.90 °B.60°C.45°D.30&#

2、176;3.一間民房的屋頂有如圖94 三種不同的蓋法：單向傾斜；雙向傾斜；四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為 P1、P2、 P3.圖 94若屋頂斜面與水平面所成的角都是 ，則（）A. P3 P2 P1B.P3 P2 P1C.P3 P2 P1D.P3 P2 P14.在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 AB 2BB1，則 AB1 與 C1B 所成的角的大小為（）A.60 °B.90°C.105°D.75°5.如圖 9 5， OA 是圓錐底面中心O 到母線的垂線， OA 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（）A. 31

3、B.12211C.2D.4 26.如圖 9 7， ABCD A1B1C1D 1 是正方體， B1E1 D1F 1 A1 B1 ，則 BE1 與 DF 1 所成角的余弦值是（）4151A.B.17283C.D.1727.若正三棱錐底面邊長為4，體積為 1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示） .8.正方形 ABCD 的邊長是2， E、 F 分別是 AB 和 CD 的中點，將正方形沿EF 折成直二面角（如圖911 所示） .M為矩形 AEFD 內(nèi)一點，如果 MBE= MBC ，MB 和平面 BCF 所成角的正切值為1 ，那么點 M 到直線 EF 的距離為.29.若正四棱錐的底

4、面邊長為23 cm，體積為 4 cm3，則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是10.如圖 9 13， BAD 90°的等腰直角三角形 ABD 與正三角形 CBD 所在平面互相垂直， E 是 BC 的中點，則 AE 與平面 BCD 所成角的大小為 _.11.如圖 9 19，ABCD A1B1C1D 1 是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E 是棱 BC 的中點 .（）求三棱錐 D1 DBC 的體積；（）證明 BD1 平面 C1DE；（）求面 C1DE 與面 CDE 所成二面角的正切值 .圖 913圖 919圖 92012.如圖 9 20，正四棱柱ABCD A1B1C1D 1 中，底面邊

5、長為22 ，側(cè)棱長為4.E， F 分別為棱AB， BC 的中點，EF BD =G.（）求證：平面B1EF 平面 BDD 1B1；（）求點D 1 到平面 B1EF 的距離 d；（）求三棱錐B1EFD 1 的體積 V.13.在三棱錐S ABC 中， SAB= SAC= ACB=90°，且 AC=BC=5， SB=5 5 .（如圖 9 21）（）證明：SCBC；圖 921（）求側(cè)面SBC 與底面 ABC 所成二面角的大?。唬ǎ┣笕忮F的體積 VSABC.14.（ 2002 全國理， 18）如圖 9 26，正方形 ABCD 、ABEF 的邊長都是1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直

6、.點 M在 AC 上移動，點 N 在 BF 上移動，若 CM=BN=a（ 0a2 ） .（）求 MN 的長；（）當 a 為何值時， MN 的長最小；（）當MN 長最小時，求面MNA 與面 MNB 所成的二面角 的大小 .圖 9 26圖 92715.如圖 9 27，已知 VC 是 ABC 所在平面的一條斜線， 點 N 是 V 在平面 ABC 上的射影，且在 ABC 的高 CD 上 .AB a，VC 與 AB 之間的距離為 h，點 M VC.（）證明 MDC 是二面角 M ABC 的平面角；（）當 MDC CVN 時，證明 VC平面 AMB；（）若 MDC CVN （ 0 ，求四面體MABC 的體

7、積 .2答案解析1.答案： B解析：將三角形折成三棱錐如圖9 43 所示 .HG 與 IJ 為一對異面直線.過點 D 分別作 HG 與IJ 的平行線，即DF 與 AD .所以 ADF 即為所求 .因此， HG 與 IJ 所成角為60°.評述：本題通過對折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關(guān)系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵.通過識圖、 想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向.2.答案： B解析：連結(jié)FE 1、FD ，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)得FE 1 BC1.在 EFD 中， EF=ED =1，

8、 FED =120 °， FD =3 .在 Rt EFE 1 和 Rt EE1D 中，易得E1 F=E1D=3 . E1FD 是等邊三角形 . FE1D =60° . BC 1 與 DE 1 所成的角為 60° .評述：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法.3.答案： D解析：由S 底 S 側(cè) cos 可得 P1P2而 P3 2( S1S2)2(S1 S2 )sincoscos又 2（ S1 S2） S 底P1P2 P34.答案： B解析：如圖 9 48， D1、 D 分別為 B1C1、 BC 中點，連結(jié) AD 、 D1C，設 BB11，則 AB 2

9、 ，則 AD 為 AB1 在平面 BC1 上的射影，又 BE3 ,BD2 ,cosC1 BCBC232BC13 DE 2BE2 BD 2 2BE·BD · cosC1BC 1123221323236而 BE 2DE 2111236 BD2 BED 90° AB1 與 C1B 垂直5.答案： D解析：如圖9 50，由題意知，1 r2h1R2h，3 6 r R 又 ABO CAO，2rOA22 r · RR ,OAR ， OAOAR24 2 cos OA1 圖 943圖 948圖 950 圖 949R4 26.答案： A解析：這是兩條異面直線所成角的問題，如

10、圖9 51 將 DF 1 平移至 AG1，A1G1 A1 B1 ，再將 AG1 平移至 EE1，其4中 AE AB ， B1E1 A1 B1， BE1 E 即是異面直線BE1 與 DF 1 所成的角 .24設正方體棱長為l ，可求得 EE1 BE11117，164EB1 ，在 BEE1 中由余弦定理得2圖 951171712EE121516164BE1BE 2cosBE1E1717172BE1 EE1244故應選 A.評述：利用直線平移， 將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決.“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學思想，這種思想在近幾年的試題里明顯地、有意識地進行了考

11、查.37.答案： arctan8解析：設棱錐的高為h，如圖 9 53，則 V= 1 ·4× 4×sin60°·h=1，33 h=.圖 9534D 為 BC 中點， OD=1AD =1·3· 4=2 3 .3323易證 PDO 為側(cè)面與底面所成二面角的平面角PO3334tan =2.故 =arctanOD8833評述：本題考查三棱錐中的基本數(shù)量關(guān)系，考查二面角的概念及計算.28.答案：2解析：過 M 作 MO EF，交 EF 于 O，則 MO平面 BCFE .如圖 9 54，作 ON BC，設 OM=x，又 tanMBO=1圖

12、 954，2 BO=2x11又 S MBE=BE· MB·sinMBE= BE· ME2211S MBC =BC· MB· sinMBC =BC· MN22 ME =MN ，而 ME=5x21 ，MN =x2 1 ，解得 x= 2 .29.答案： 30°解析：如圖9 60，作 BC 邊中點 M ， VM BC過 V 作 VO底面 ABCD VO MO， MO BC， VMO 為其側(cè)面與底面所成二面角的平面角V 錐=1SABCD ·VO31·（23 ）2·VO ， VO=1 4=3233 ， VO

13、 MO， VMO=30°又 OM=2側(cè)面與底面所成的二面角為30° .10.答案： 45°aa解析：過點A 作 AF BD 于 F ，則 AF 面 BCD ， AEF 為所求的角設BD a，則 AF ， EF，在 Rt22 AEF 中， AEF 45°11.（）解： VD1 DBC112=2· 2·2· 1= .33（）證明：記D1C 與 DC 1的交點為 O，連結(jié) OE. O 是 CD1 的中點， E 是 BC 的中點， EO BD1， BD 1 平面 C1DE， EO 平面 C1DE.BD1 平面 C1DE .（）解：過

14、C 作 CHDE 于 H，連結(jié) C1H.在正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中， C1C平面 ABCD ， C1H DE ， C1HC 是面 C1DE 與面 CDE 所成二面角的平面角.CD CE212 DC =2， CC1=1， CE=1. CH =22125DEC1C55 tanC1HC=.即面 C1DE 與面 CDE 所成二面角的正切值為.CH22評述：本題考查正四棱柱的基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.12.（）證法一：連接AC.正四棱柱ABCD A1 B1C1D1 的底面是正方形. AC BD，又 AC D1D，故 AC平面 BDD 1B1 E， F 分別為 AB

15、，BC 的中點，故 EF AC， EF 平面 BDD 1B1平面 B1EF平面 BDD 1B1 .證法二： BE=BF ， EBD = FBD =45°， EF BD.平面 B1EF平面 BDD 1B1 .（）解：在對角面 BDD 1B1 中，作 D1H B1G，垂足為 H 平面 B1EF平面 BDD 1B1 ，且平面 B1EF 平面 BDD 1B1=B1G， D 1H平面 B1EF ，且垂足為 H ，點 D1 到平面 B1EF 的距離 d=D 1H .解法一：在 Rt D1HB 1 中， D1H=D1B1· sinD 1B1H， D 1B1= 2 A1B1=4.sinD1

16、B1H =sinB1GB= B1B4124 ，GB14217 d=D 1H=4· 416 17.1717D1HD1 B1解法二：D 1HB B1BG，B1BB1G2 d=D1H = B1 B1617 .B1G17解法三：如圖即 1 B1G·D1H= 1229 64，連接D1G，則三角形D1GB 1 的面積等于正方形DBB 1D1 面積的一半 .BB12.1617 .圖 964 d=17（） VVBEFD1VD1B EF1 · d· S B1EF11612 1716.11331723評述：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系.要求對圖形必須具備一定

17、的洞察力.并進行一定的邏輯推理 .在研究本題時，要注意摘出平面圖形，便于計算.13.（）證明：SAB= SAC=90 °， SA AB， SA AC.又 AB AC=A， SA平面 ABC.由于 ACB=90°，即 BC AC，由三垂線定理，得SC BC.（）解：BC AC， SC BC SCA 是側(cè)面 SCB 與底面 ABC 所成二面角的平面角.在 Rt SCB 中， BC=5， SB=55 .得 SC= SB2BC 2=10在 Rt SAC 中 AC=5， SC=10 ， cosSCA=AC51SC102 SCA=60 °，即側(cè)面 SBC 與底面 ABC 所成

18、的二面角的大小為 60° .（）解：在Rt SAC 中， SA= SC2AC 21025275 .1 · AC· BC=1 ×5× 5= 25.S ABC=22212575125 3. VS ABC= ·SACB· SA= 1332614.解：（）作MP AB 交 BC 于點 P， NQAB 交 BE 于點 Q，連結(jié) PQ，依題意可得 MP NQ，且 MP =NQ，即 MNQP 是平行四邊形，如圖 9 70 MN =PQ.由已知， CM=BN=a， CB=AB=BE=1，AC=BF =2 ，CPa , BQa.1212即 C

19、P=BQ=a.2 MN =PQ=(1CP)2BQ2(1a )2( a )222(a2 )21 （ 0 a 2 ） .22（）由（） ， MN= (a2) 21，22所以，當 a=2 時， MN=2.22即 M、 N 分別移動到AC、 BF 的中點時， MN 的長最小，最小值為（）取MN 的中點 G，連結(jié) AG、 BG，如圖 9 71 AM =AN， BM =BN，G 為 MN 的中點 AG MN ， BGMN ， AGB 即為二面角 的平面角，圖 9702.26又 AG=BG=，所以，由余弦定理有4( 6)2(6 )21圖 971cos =44166.2344故所求二面角 =arccos（ 1

20、 ） .3評述：該題考點多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理和幾何計算交錯為一體；以兩個垂直的正方形為背景，加強空間想象能力的考查.體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證和計算為重點，轉(zhuǎn)到既考查空間概念，又考查幾何論證和計算 .但有所側(cè)重， 融論證于難度適中的計算之中.反映教育改革趨勢，體現(xiàn)時代發(fā)展潮流.此外解答過程中，必須引入適當?shù)妮o助線，不僅考查識圖，還考查了基本的作圖技能.充分體現(xiàn)了 “注重學科之間的內(nèi)在聯(lián)系”，較為深入和全面考查各種數(shù)學能力 .15.（）證明： CD AB， VN平面 ABC，AB平面 ABC， VN AB.又 CD VN N 平面 VNC AB又 MD平面 VNC M

21、DAB MDC 為二面角 M MAB C 的平面角 .如圖 9 72（）證明： VC 平面 VCN ， AB VC又在 VCN 和 CDM 中， CVN MDC ， VCN VCN圖 972 DMC VNC 90° . DM VC又 AB DM D， AB、DM平面 AMB VC 平面 AMB （）解：MD AB 且 MD VC， MD 為 VC 與 AB 的距離為h.過M作MECD于E VMABC 1AB· CD× ME·11ah2tan236圖 973四、作業(yè)同步練習 g3.1067 空間角距離綜合1、已知半徑是 B 的球面上有 A、 B、 C三點，

22、 AB=6 ,BC=8, AC=10; 則球心 O到截面 ABC 的距離為（）A、12B、 8C、6D、 52、已知三棱錐 P-ABC ， PA平面 ABC ，ABC 90, ACB30 ,AB=1,D 、 E分別是 PC、 BC 的中點，則異面直線DE與 AB 的距離是（）33A 、 3B、2C、3D 、與 PA的長有關(guān)3、設兩平行直線 a、 b間的距離為 2m，平面與 a、b都平行且與 a、 b的距離都為 m，這樣的平面有（）A、1個B、 2個C、 3個D、 4個4、一個二面角的兩個面分別與另一個二面角的兩個面垂直，則這兩個二面角（）A、相等B、互補C、相等或互補D、不確定5、平面平面CD

23、， P 為這兩個平面外一點， PA于 A，PB于 B，若 PA=2,PB=1AB= 7 則二面角CD的大小為（）A、 150B、120C、 90D、 606、 P 是平面 ABC外一點，若 PA=PB=PC,且APBBPCCPA60 則二面角 P-AB-C 的余弦值為.7、正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面面積之比為2：3，則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為。8、已知AOB90 ,過 O 點引 AOB 所在平面的斜線OC 與 OA 、OB 分別成 45 、 60 角，則以 OC 為棱的二面角A-OC-B 的余弦值為。上，且 tan ABO 3, tanACO19、平面的一條垂線段 OA （

24、 O為垂足）的長為 6，點 B 、 C在平面2 ,那么B、C兩點間距離的范圍是。10、正方體 ABCDA1B1C1 D1 的棱長為 a，點 P 在棱 A1B1 上運動，那么過 P、 B、D 1三點的截面面積的最小值是11、直三棱柱 ABCA1 B1C1 中，ACB 90 ,AC=AA 1=a，則點 A 到截面 A 1BC 的距離是12、湖南）如圖1，已知 ABCD 是上、下底邊長分別為2 和 6，高為3 的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1 折成直二（ 05面角，如圖2。（）證明： AC BO1；（）求二面角OAC O1 的大小。O1CDO1CDOBAOBA13、（ 05 湖北）如圖所示的多面體是由

25、底面為ABCD的長方體被截面AEC 1F 所截面而得到的， 其中AB=4 ，BC=2 ，CC1=3，BE=1.（）求BF 的長；（）求點C 到平面AEC 1F 的距離.參考答案ABCDD160310,146a22a332212、解法一（ I ）證明由題設知OA OO 1， OB OO 1.所以 AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OA OB. 故可以 O 為原點， OA 、OB、 OO1所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系，如圖 3，則相關(guān)各點的坐標是A （ 3， 0， 0），B（0， 3，0）， C（0，1， 3 ）O1（ 0， 0，3 ） .圖 3從而 AC( 3

26、,1,3), BO1(0,3,3), ACBO133 30.所以 AC BO1.（ II ）解：因為 BO1 OC3330, 所以 BO 1OC，由（ I ） AC BO1 ，所以 BO 1平面 OAC ， BO1是平面 OAC 的一個法向量 .設 n( x, y, z) 是 0 平面 O1AC 的一個法向量，由 nAC03x y3 z0,取z3,得 n(1,0,3) .n O1C0y0.設二面角OAC O1 的大小為，由 n 、 BO1 的方向可知n ， BO1 >，所以 coscosn ， BO1 >=nBO13 .| n |BO1|4OC1即二面角 O AC O1 的大小是

27、arccos 3 .D4解法二（ I ）證明 由題設知 OA OO 1， OB OO 1，所以 AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OA OB. 從而 AO 平面 OBCO 1， OC 是 AC 在面 OBCO 1 內(nèi)的射影 .OBA圖 4因為 tan OO1 BOB3t an O1OCO1C3 ，OO 1OO13所以 OO 1B=60 °， O1OC=30°，從而OC BO1由三垂線定理得AC BO1.（ II）解 由（ I） AC BO 1， OCBO1 ，知 BO 1平面 AOC.設 OC O1B=E ，過點 E 作 EF AC 于 F，連結(jié) O1F（如圖 4），則 EF 是 O1F 在平面 AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F AC.所以 O1 FE 是二面角O AC O1 的平面角 .由題設知 OA=3 ， OO1=3 ， O1C=1，所以 O1 AOA2OO122 3,ACO1A2O1C 213 ，從而 O1FO1 A O1C2 3，又 O1E=OO 1·sin30° =3 ，AC132所以 sinO1 FEO1 E13 .即二面角 OAC O1