1、勾股定理 總結與提升一、知識要點：S2/1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c,那么a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2, b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a, b, c,且滿足a2+b2=c2,那么三角形ABC是直角三角 形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應用時，要注意處理好如下幾個要點：已知的條件：某三角形的三條邊的長度.滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.得到的結論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.如果不滿足條件，就說明這個

2、三角形不是直角三角形。3、勾股數滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數。注意：勾股數必須是正整數，不能是分數或小數。一組勾股數擴大相同的正整數倍后，仍是勾股數。常見勾股數有：(3, 4, 5?) (5, 12, 13?)(?6 , 8, 10?)?(?7 , 24, 25?)?(?8 , 15, 17?)(9 , 12, 15?)?4、最短距離問題：主要運用的依據是 兩點之間線段最短。二、考點剖析考點一：利用勾股定理求面積陰影部分是半圓.1、求陰影部分面積：(1)陰影部分是正方形；(2)陰影部分是長方形；(3) 2.如圖，以RtABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓， 試探索三個半圓 的面

3、積之間的關系.別是S、S2、S3,則它們之間的關系是()3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分A.S -S=S3B.S+S=S3C.S+Sj1）,那么它的斜邊長是（）A、2nB、n+1C、n2-1D n2 17、在RtABC中，a,b,c為三邊長，則下列關系中正確的是（）A. a2 +b2 =c2B. a2 +c2 =b2C. c2 +b2 =a2D.以上都有可能8、已知 RtABC中，/C=90 ,若 a+b=14cm C=10cm 貝U RtABC的面積是（）2222A、24cmB、36 cmC、48 cm D 60 cm9、已知x、y為正數，且| x2-4 I

4、+ （y2-3） 2=0,如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A、5B、25C、7D 15考點三：應用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高及面積例、如圖1所示，等腰山;C中，*二RC ,也是底邊上的高，若= SC = 6cm ,A求AD的長；A ABC的面積.A考點四：勾股數的應用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數據中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是（）A.4, 5, 6B.2, 3, 4C.11, 12, 13D.8, 15, 172、若線段a, b, c組成直角三角形，則它們的比為（）A 2

5、 ： 3 ： 4 B 3-4-6 C、5 ： 12 ： 13 D 4 ： 6 ： 73、下面的三角形中：ABC, / C=/ A / B; ABC中，/ A: / B: / C=1: 2: 3;ABC, a： b: c=3: 4: 5;AABC中，三邊長分別為 8, 15, 17.其中是直角三角形的個數有（）.A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個4、若三角形的三邊之比為也：12 :應則這個三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形 5、已知a, b, c為ABCE邊，且滿足（a2b2）（a 2+b2 c2） = 0,則它的形狀為（A.直角三角形B.等腰三

6、角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數，得到的三角形是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 7、若4ABC的三邊長 a,b,c 滿足 a2+b2+c2 +200 =12a+16b+20c,試判斷 ABC的形狀。8、AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數，且a+b+C是3的倍數，則c應為，此三角形為。例3:求（1）若三角形三條邊的長分別是7,24,25 ,則這個三角形的最大內角是度。（2）已知三角形三邊的比為1: 73: 2,則其最小角為。點五：應用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題圖？某樓梯的側面視圖如圖3所示，其中乂8

7、 = 4米，N8AC二狗,/C二90。，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在 ab段樓梯所鋪地毯的長度應為?怵考點六、利用列方程求線段的長（方程思想）1、小強想知道學校旗桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多米，當他把繩子的下端拉開5米后，發現下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？2、一架長2.5 m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離 墻底0.7 m （如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4 m ,那么梯 .一子底端將向左滑動米3、如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端 的滑動距離1米，（填“大于”，“等于，或“小于”

8、）4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m處的 池塘A處；？另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A處，距離以直線計算， 如果兩只猴子所經過的距離相等，試問這棵樹有多高？5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據圖中標出尺寸（單位：mrm計算兩圓孔中心 A和B的距離為.6、如圖：有兩棵樹，一棵高 8米，另一棵高2米，兩樹相距 小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米.7、如圖18-15所示，某人到一個荒島上去探寶，在 A處登陸 后，往東走8km又往北走2km,遇到障礙后又往西走3km, 再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km?就找到了寶藏， 問：登陸點（

9、A處）到寶藏埋藏點（B處）的直線距離是多少？考點七：折疊問題圖 18-15A. 25B. 22C.7D.41、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 BC=8將ABCW疊，使點B與點A重合, 折痕為DE則CD等于（）2、如圖所示，已知 ABC中，Z C=9(0 , AB的垂直平分線交BC?于M交AB于N,若AC=4CMB=2MC求AB的長.3、折疊矩形ABCD勺一邊AD,點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8CM,BC=10CMt CF和 EG4、如圖，在長方形 ABCEfr, DC=5在DC邊上存在一點E,沿直線AE 把4ABC折疊，使點D恰好在BC邊上，設此點為F,若4ABF的面積為

10、30,求折疊的 AED勺面積5、如圖，矩形紙片ABCD勺長AD=9cm,寬AB=3cm ,將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長是多少？6、如圖，在長方形 ABCDK 將AABCS AC對折至AAEC位置，CE與AD交 于點F。(1)試說明：AF=FC (2)如果AB=3, BC=4求AF的長7、如圖2所示，將長方形ABCDS直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F 點處，已知CE=3cm AB=8cm則圖中陰影部分面積為 .8、如圖2-3,把矩形ABCDS直線BD向上折疊，使點C落在C的位置上,已知AB=? 3, BC=7重合部分 EBD的面積為.9、如圖5,將正方形ABCDff疊，使

11、頂點A與CD4上白t點M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點 G如果M為CD邊的中點，求證：DE DM EM=3 4: 5。10、如圖2-5,長方形ABCEfr, AB=3, BC=4若將該矩形折疊，使C點與A點重合，？則折2-5D重合)，在AD上適疊后痕跡EF的長為()A. 3.74B. 3.75C, 3.76D, 3.7711、如圖1-3-11 ,有一塊塑料矩形模板 ABCD長為10cm,寬為4cm, 將你手中足夠大的直角三角板 PHF的直角頂點P落在AD邊上(不與A當移動三角板頂點P：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點 B與點C?若能，請彳求出這時AP的長；若不

12、能，請說明理由.再次移動三角板位置，使三角板頂點 P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B,另一 直角邊PF與DC的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cm若能，請你求出這時APCA的長；若不能，請你說明理由.12、如圖所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB AC邊上的點，且 DEL DF,若BE=12 CF=5.求線段EF的長13、如圖，公路MNF口公路PQ&點P處交匯，且/QPN= 30，點A處有一所中學，AP= 160ml假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN?汁PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請

13、說明理由，如果受影響，已知 拖拉機的速度為18km/h,那么學校受影響的時間為多少秒？考點八：應用勾股定理解決勾股樹問題1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5,則正方形A, B, C, D的面積的和為 2、已知 ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以 RtzXABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰RtAACID再以RtzXACD勺斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 RtAADfE，依此類推，第 n個等腰直角三角形的斜邊長是./A=45 , AC=, AB=+1,則邊 BC 的考點九、圖形問題1、如圖1,求該四邊形的面積2、如圖2,已知，在 ABC

14、中,3、某公司的大門如圖所示，其中四邊形A B CD是長方形，上部是以A D為 直徑的半圓，其中A B =2.3 m, B C =2m ,現有一輛裝滿貨物的卡車，高為2.5 m ,寬為1.6 m ,問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由4、將一根長24 cm的筷子置于地面直徑為5 cm ,圖為12 cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為h cm,則h的取值范圍。5、如圖，鐵路上 A B兩點相距25km, C、D為兩村莊，DA?垂直AB于A, CB垂直AB于B, 已知AD=15km BC=10km現在要在鐵路 AB上建一個土特產品收購站 E,使得C D兩村到E 站的距離相等，則E站建

15、在距A站多少千米處？考點十：其他圖形與直角三角形 如圖是一塊地，已知 AD=8m CD=6m /D=90 , AB=26m BC=24m求這塊地的面積。考點十一：立體圖形上兩點之間最短距離（與展開圖有關的計算）1、如圖1,在棱長為1的正方體ABCD-A B C D的表面上，求從頂點 A到頂點C的最短距離.2、如圖2,一個圓柱，底圓周長6cm,高4cm, 一只螞蟻沿外壁爬行，要 從A點爬到B點，則最少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀，目前正在全國各地農村進行電網改造，某地有四個村莊 A、B、C、D,且正好位上路，他們設計了四種架設方案， 如圖實線部分.請你幫助計算一 下

16、，哪種架設方案最省電線.東于一個正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線：考點十二、航海問題1、一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航行，經過1.5小時后，它們相距 海里.2、如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從 A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60。的方向上。該貨船航行30分鐘到達B處，此時又測得該島在北偏東30的方向上，已知在C島周圍9海里的區域內有暗礁，若繼 續向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。3、如圖，某沿海開放城市 A接到臺風警報，在該市正南方向 260km 的B處有一臺風中心，沿 BC方向以15km/h的速度向D移動，已知 城市A到BC的距離AD=100km那么臺風中心經過多長時間從 B點 移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區域內都將有受到臺風的破壞的危險，正在 D點 休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？ 考點十三、網格問題1、如圖1,正方形網格中，每個小正方形的邊長為 1,則網格上的三角形ABC中，邊長為無 理