1、第一章極限和連續第一節極限復習考試要求1. 了解極限的概念（對極限定義 I等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。 會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求 極限。4. 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。第二節函數的連續性復習考試要求1. 理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關 系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2. 會

2、求函數的間斷點。3. 掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。4. 理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。第二章一元函數微分學第一節導數與微分復習考試要求1. 理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點 處的導數。2. 會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3. 熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。4. 掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。5. 了解高階導數的概念。會求簡單函數的高階導數。6. 理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導的關系，會求函數的一階微分。第二節導數的應用復習考

3、試要求1. 熟練掌握用洛必達法則求“0K”、“g”型未定式的極限的方法。2. 掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法。會利用函數的單 調性證明簡單的不等式。3. 理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法， 會解簡單的應用題。4. 會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。 5會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數積分學第一節不定積分復習考試要求1. 理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。2. 熟練掌握不定積分的基本公式。3. 熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。4. 熟練掌握不定積分

4、的分部積分法。5. 掌握簡單有理函數不定積分的計算。第二節定積分及其應用復習考試要求1. 理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數可積的條件2. 掌握定積分的基本性質3. 理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限積分求導數的方法。4. 熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。5. 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6. 理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。7. 掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成 的旋轉體的體積。第四章多元函數微分學復習考試要求1. 了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。2. 了解二元函數的極限與連續的概念。3.

5、 理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。 掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數的全微分的求法。4. 掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。5. 會求二元函數的無條件極值和條件極值。6. 會用二元函數的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。第五章概率論初步復習考試要求1. 了解隨機現象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。2. 掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容關系及對立關系。3. 理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規律。4. 理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。5.

6、會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。6. 了解隨機變量的概念及其分布函數。7. 理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8. 會求離散性隨機變量的數學期望、方差和標準差。第一章極限和連續第一節極限復習考試要求1. 了解極限的概念（對極限定義-等形式的描述不作要求）。會求函數在一點 處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。 會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求 極限。4.

7、 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。主要知識內容（一）數列的極限1. 數列定義按一定順序排列的無窮多個數稱為無窮數列，簡稱數列，記作Xn，數列中每一個數稱為數列的項，第 n項Xn為數 列的一般項或通項，例如（1）1 , 3 , 5，（2n-1 ）,（等差數列）（2）占卜4 （等比數列）（3）拆卜角（遞增數列）I *嚴（4）1 , 0, 1 , 0,丄，（震蕩數列） 都是數列。它們的一般項分別為n ”&曠（2n-1 ）,。對于每一個正整數n,都有一個Xn與之對應，所以說數列Xn可看作自變量n的函數xn=f （n）,它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1,2,3一切正整數時，對應的函數值就排

8、列成數列在幾何上，數列Xn可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點X1,X2,X3，Xn,。2. 數列的極限定義對于數列Xn，如果當n-K時，Xn無限地趨于一個確定的常數 A，則稱當n趨于 無窮大時，數列Xn以常數A為極限，或稱數列收斂于 A，記作 m呵 比如：用“4無限的趨向0；詩詒：無限的趨向1 否則，對于數列Xn,如果當n-K時，Xn不是無限地趨于一個確定的常數， 稱數列Xn 沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。比如：1 , 3, 5，(2n-1 ),i*( I?*數列極限的幾何意義：將常數 A及數列的項時喬依次用數軸上的點表示，若數列Xn 以A為極限，就表示當n趨于無窮大時

9、，點Xn可以無限靠近點A，即點Xn與點A之 間的距離|Xn-A|趨于0。比如：冷卜尹無限的趨向0 嚴遼無限的趨向1（二）數列極限的性質與運算法則1. 數列極限的性質定理1.1 （惟一性）若數列Xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2 （有界性）若數列Xn收斂，則它必定有界。注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如:ir* , 一1 , 0, 1 , 0， 有界：0 , 12. 數列極限的存在準則定理1.3 （兩面夾準則）若數列Xn,yn,Zn滿足以下條件：(1 )定理1.4若數列Xn單調有界，則它必有極限3. 數列極限的四則運算定理。定理1.5(3 )當時,(三) 函數極

10、限的概念1. 當Xixo時函數f (x)的極限(1 )當xtxo時f (x)的極限 定義對于函數y=f (x),如果當x無限地趨于xo時，函數f (x)無限地趨于一個常數A，則稱當xtxo時，函數f (x)的極限是A，記作或 f (x)T A (當 XTxo 時)例 y=f (x) =2x+1XT 1,f ( x ) Tx1x T 1(2) 左極限當xtxo時f (x)的左極限定義對于函數y=f (x)，如果當x從xo的左邊無限地趨于xo時，函數f (x)無限地趨于一個常數A，則稱當xtxo時，函數f (x)的左極限是A，記作或 f (xo-o ) =A(3) 右極限當XTxo時，f (x)的

11、右極限定義對于函數y=f (x)，如果當x從xo的右邊無限地趨于xo時，函數f (x)無限地趨于一個常數A，則稱當xtxo時，函數f (x)的右極限是A，記作或 f (xo+o ) =A例子：分段函數求 ，解:當x從o的左邊無限地趨于o時f (x)無限地趨于一個常數1。我們稱當xto時,f (x)的左極限是1，即有 當x從o的右邊無限地趨于o時，f (x)無限地趨于一個常數-1。我們稱當xTo時, f (x)的右極限是-1，即有顯然，函數的左極限右極限與函數的極限之間有以下關系：定理1.6當xTxo時，函數f (x)的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于 A，則必有 。X 1

12、時 f(x)x 1f(x) 2對于函數，當x 1時，f (x)的左極限是2,右極限也是2。2. 當xx時，函數f (x)的極限(1 )當xX時，函數f (x)的極限y=f(x)x xf(x)y=f(x)=1+xx f(x)=1 + 1定義對于函數y=f (x),如果當xx時，f(x)無限地趨于一個常數 A，則稱當x x時，函數f (x)的極限是A，記作區fg或 f (x) A (當 xx時)(2) 當x + x時，函數f (x)的極限定義對于函數y=f (x),如果當x + x時，f(x)無限地趨于一個常數 A，則稱當x + x時，函數f( x)的極限是A，記作陽：心這個定義與數列極限的定義基

13、本上一樣，數列極限的定義中n +x的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x + x,且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。 y=f(x)x + xf(x)x ?x + x, f(x)=2+ 2例：函數 f (x) =2+e -x，當 x + x時，f(x)?解：f (x) =2+e -x=2+ :,x + x, f (x) =2+ 2所以(3) 當x-x時，函數f (x)的極限定義對于函數y=f (x)，如果當x-x時，f(x)無限地趨于一個常數 A，則稱當x -x時，f (X)的極限是A，記作x oo f(x) ?則 f(x)=2+ (x v 0)x x,x + xf(x)=2+ 2例

14、：函數，當x - x時，f (x) ?解：當x f - X時，-x T + oo 心曲比宀2，即有 由上述x fo, x f + o, x f - o時，函數f （ x ）極限的定義，不難看出：Xfo時f （ x ） 的極限是A充分必要條件是當xf + o以及xf -o時，函數f（x）有相同的極限A。例如函數扌，當xf - o時，f （ x）無限地趨于常數1，當xf + o時，f （ X）也無限 地趨于同一個常數1，因此稱當xfo時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f（x）=1+ ?y=arcta nx曲沁：不存在。但是對函數y=arctanx 來講，因為有即雖然當xf-o時，f（x）的極

15、限存在，當xf + o時，f（x）的極限也存在，但這兩 個極限不相同，我們只能說，當 xfo時，y=arctanx的極限不存在。x）=1+ *y=arcta nx|gs不存在。但是對函數y=arctanx 來講，因為有即雖然當xf-o時，f（x）的極限存在，當xf + o時，f（x）的極限也存在，但這兩 個極限不相同，我們只能說，當 xfo時，y=arctanx的極限不存在。（四）函數極限的定理定理1.7 （惟一性定理）如果 存在，則極限值必定惟一。定理1.8 （兩面夾定理）設函數在點 的某個鄰域內（可除外）滿足條件：（1）|曲）4飛陰,（2） |!愛眇“!吹切“則有歹*。注意：上述定理1.7

16、及定理1.8對也成立F面我們給出函數極限的四則運算定理定理1.9如果險心供和T則(1)lifflU11)既巧 lim/(r)w 1B-“+弓r%Lin A) A 5如=一=昱 r Lie 曲)B=卄時,(2)(3)上述運算法則可推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情形，有以下推論:(2)tisn r?川jO廠 Ksn /(3)Li lAi疔=f 訕用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數的極限存 在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于 的情形也都成立。（五）無窮小量和無窮大量1. 無窮小量（簡稱無窮?。┒x對于函數，如果自變量x在某個

17、變化過程中，函數的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，來表示無窮小量。定理1.10函數 以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個無窮小量之和。注意：（1 ）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨 于為零。（2 ）要把無窮小量與很小的數嚴格區分開，一個很小的數，無論它多么小也不是無窮 小量。（3） 一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程 中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。例如：.、 I .：-：m:振蕩型發散 帥阿（4 ）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，叫就越變越

18、小，但它不是無窮小量。（5 ）無窮小量不是一個常數，但數“ 0 ”是無窮小量中惟一的一個數，這是因為 吧2. 無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或乂）時， 的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意：無窮大（乂）不是一個數值，“乂”是一個記號，絕不能寫成或 。3. 無窮小量與無窮大量的關系 無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果朋為無窮大量，則則為無窮小量；反之，如果 妙為 無窮小量，且畑二則氏為無窮大量。當無窮大叫刊無窮小當飼/為無窮小:匸廠無窮大4. 無窮小量的基本性質性質1有限個無窮小量的

19、代數和仍是無窮小量；性質2有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的 乘積是無窮小量。性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5. 無窮小量的比較定義設，是同一變化過程中的無窮小量，即=11-（1）如果 則稱是比較高階的無窮小量，記作 ；（2）如果 則稱與 為同階的無窮小量；（3） 如果少則稱“與莊為等價無窮小量，記為;（4）如果 則稱 是比較低價的無窮小量。當等價無窮小量代換定理：空盧a*1czn bin = bm 如果當時|2和2切，2均為無窮小量，又有列且:卅存在，則1。-均為無窮小又有:T這個性質常常使用在極

20、限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無 窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有：當 時，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;（六）兩個重要極限1重要極限I重要極限I是指下面的求極限公式令= : =這個公式很重要，應用它可以計算三角函數的型的極限問題。其結構式為：曲斜2. 重要極限H重要極限H是指下面的公式：其中e是個常數(銀行家常數)，叫自然對數的底，它的值為 其結構式為：重要極限I是屬于 型的未定型式，重要極限H是屬于“型的未定式時，這兩個重 要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。(七) 求極限的方法

21、：1. 利用極限的四則運算法則求極限；2. 利用兩個重要極限求極限；3. 利用無窮小量的性質求極限；4. 利用函數的連續性求極限；5. 利用洛必達法則求未定式的極限；6. 利用等價無窮小代換定理求極限。基本極限公式(2)撬(3 )(4 )I:. CigF t叫疔1寸電*心例1.無窮小量的有關概念(1) 9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是J 7+3 答CD.(2) 0202當 時，-與x比較是A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量答B解:當-，與x是極限的運算：0611瀉害二驚/警4勺:;疇21 z解：答案-1例2.型因式分解約分求極限L氣半1

22、1:c-2 i2-4答”0208(2)0621計算U-)Ije + 1I jj - A A 2-Jim hni解:淤R例3.型有理化約分求極限（1）0316計算皚:沖答枯解：. 圧石-3. 朋（2）9516山 6旋答4（辰Th輩辰石杓HTii嫡角軍:小_ Z皿J _ dJh匕+軌五”扛*適例4.當時求型的極限答（1）0308一般地，有例5.用重要極限I求極限（1）9603下列極限中，成立的是A.k乜民寧門C.輒于 D.吋:J 答B| iwxr|T1（2） 0006答角軍 :- 6 -獸 肚+圳r-Jj2Z-2t- J ar 二卻(石 占Jhm曲知+i43 ADr+$例6.用重要極限H求極限答（

23、1）0416計算解析解一：令卜“：解二：廨式i他a + -p|2 -曲m十占了 Fi-SD f1-5 it0306lin=門0601（2） 0118 角軍:匸t |： 例7.用函數的連續性求極限答0計算I濱瀘:|答K- f0407j-D/加.1,丄門=：-工.址例8.用等價無窮小代換定理求極限答0ZK1-(1) 0307則在的左極限答1解析yw幣如弋訃.t3+l ir0Tjf(T、JT + lta *月 _ I . r ， 忸廠則常數“，即 |+一 =*，得 .解析解法一：Ta0317解:當例9.求分段函數在分段點處的極限，解得-.角軍法_二：令 丹m.-：；：宀: 得 解法三：(洛必達法則)

24、+6 . 2j +i .一，一鳴 T；一*-即et 胡，得“一?.p + Jl + b(2 )若求a,b的值.解析型未定式. 當詁i|日寸dliEtofl1，得所以04020017，則k=.(答:In2 )解析叫前面我們講的內容: 極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的 概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。第二節函數的連續性復習考試要求1. 理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關 系，掌握判斷函數(含分段函數)在一點處連續性的方法。2會求函數的間斷點。3. 掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。4. 理

25、解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。主要知識內容(一)函數連續的概念1函數在點xo處連續定義1設函數y=f (x)在點xo的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量厶x (初值 為xo)趨近于0時，相應的函數的改變量厶y也趨近于0,即則稱函數y=f (x)在點xo處連續。函數y=f ( x)在點xo連續也可作如下定義：定義2設函數y=f (x)在點xo的某個鄰域內有定義，如果當Xixo時，函數y=f (x) 的極限值存在，且等于xo處的函數值f (xo) ,即卩定義3設函數y=f (x)，如果 -，則稱函數f (x)在點xo處左連續；如果1 -, 則稱函數f (x)在點xo

26、處右連續。由上述定義2可知如果函數y=f (x)在點xo處連 續，則f (x)在點xo處左連續也右連續。2. 函數在區間a , b上連續定義如果函數f (x)在閉區間a , b上的每一點x處都連續，則稱f (x)在閉區間a, b上連續，并稱f (x)為a , b上的連續函數。這里，f (x)在左端點a連續，是指滿足關系：，在右端點b連續，是指滿足關系：，-,即f (x)在左端點a處是右連續，在右端點b處是左連續。可以證明：初等函數在其定義的區間內都連續。3函數的間斷點定義如果函數f (x)在點xo處不連續則稱點xo為f (x) 一個間斷點。由函數在某點連續的定義可知，若 f (x)在點xo處有

27、下列三種情況之一：(1) 在點xo處，f (x)沒有定義；(2) 在點xo處，f (x)的極限不存在；(3) 雖然在點xo處f (x)有定義，且F門存在，但、， 則點xo是f (x) 一個間斷點。?-i,呷卜嗎至心，則f (X)在A.x=0,x=1 處都間斷B.x=0,x=1處都連續C. x=0處間斷，x=1處連續D. x=0處連續，x=1處間斷 解：x=0 處，f (0) =0vf (0-0 )占(0+0 ) x=0為f (x)的間斷點 x=1 處，f (1) =1 f (1-0 ) =f (1+0 ) =f (1)f (x)在x=1處連續答案C/(r -9703設A.0 B.C,D.2,在

28、x=0處連續，則k等于分析：f (0) =krttcIlTflT答案B例30209設. 在x=0處連續，則a=解：f (0) =e 0=1Tf (0) =f (0-0 ) =f (0+0 ).a=1答案1(二 )函數在一點處連續的性質由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續 函數的性質。定理1.12 (四則運算)設函數f (x) , g (x)在X。處均連續，則(1) f (x) g (x)在 xo 處連續(2) f (x) (x)在 xo 處連續(3) 若g (X。) M0,貝在X。處連續。定理1.13 (復合函數的連續性)設函數 u=g (x)在x=xo處

29、連續，y=f (u)在uo=g(xo)處連續，則復合函數y=fg (x)在x=xo處連續。在求復合函數的極限時，如果u=g (x),在xo處極限存在，又y=f (u)在對應的 處連續，則極限符號可以與函數符號交換。即定理1.14 (反函數的連續性)設函數y=f(x)在某區間上連續，且嚴格單調增加(或 嚴格單調減少)，則它的反函數x=f-1 (y)也在對應區間上連續，且嚴格單調增加(或 嚴格單調減少)。(三) 閉區間上連續函數的性質在閉區間a，b上連續的函數f (x)，有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。 定理1.15 (有界性定理)如果函數f (x)在閉區間a，b上連續，則f (x)必在a， b上有界。定理1.16 (最大值和最小值定理)如果函數 f (x)在閉區間a，b上連續，則在這個 區間上一定存在最大值和最小值。定理1.17 (介值定理)如果函數f (x)在閉區間a，b上連續，且其最大值和最小值 分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C,在a , b上至少存在一個E