1、三元數(shù)函數(shù)與解析從復平面到數(shù)空間 白爍星 （河北省武安市橋西路郵局037號信箱 郵碼:056300）韓江燕 （河北省武安市第八中學 郵碼:056300）摘 要 本文從復數(shù)理論出發(fā),通過推廣函數(shù)、解析等數(shù)學概念,逐步建立了三元數(shù)函數(shù)與解析的理論. 關鍵詞 數(shù)平面;數(shù)空間;平面解析;空間解析;泛解析;半解析;冪級數(shù)中圖分類號:0153.5 泛代數(shù)一、引言三元數(shù)、多元數(shù)的研究始于曲阜師大中學數(shù)學雜志發(fā)表的超越復數(shù)的三元數(shù)、復數(shù)的多元數(shù),后來東北師大數(shù)學學習與研究發(fā)表了代數(shù)基本定理在高維數(shù)空間之證明,多項式函數(shù)首先得到了深刻的研究.然而在數(shù)空間里是否存在優(yōu)美而和諧的函數(shù)與解析理論呢?本文從復數(shù)理論出發(fā)

2、,通過推廣函數(shù)、解析等數(shù)學概念,嘗試給出了一個有趣的解答.二、三元數(shù)基礎知識1、三元數(shù)的代數(shù)運算與三維數(shù)空間 形如(、)的數(shù)叫做三元數(shù),三元數(shù)通常用一個字母來表示,即,全體三元數(shù)構成的集合叫做三元數(shù)集,用字母來表示,定義(1)(2)則有:;說明:(1)三元數(shù)的加法滿足交換律、結合律,乘法滿足交換律及對加法的分配律;(2)除法是乘法的逆運算,兩個三元數(shù)作除法運算,可依三元數(shù)相等的定義及乘法公式求得. 建立了空間直角坐標系來表示三元數(shù)的空間叫做三維數(shù)空間,簡稱數(shù)空間,仍用來表示.于是:實數(shù)一一對應實軸上的點;復數(shù)一一對應復平面內(nèi)點;三元數(shù)一一對應數(shù)空間內(nèi)點2、三元數(shù)的幾何表示與重要性質三維數(shù)空間內(nèi)

3、的點可以表示三元數(shù),由于三元數(shù)集與三維數(shù)空間內(nèi)所有以原點為起點的向量所組成的集合一一對應（實數(shù)與零向量對應）,所以三元數(shù)也可以用起點在原點的向量來表示.稱為三元數(shù)的代數(shù)形式,稱為三元數(shù)的三角形式. 三元數(shù)的模 與三元數(shù)對應的向量的模（即有向線段的長度）叫做三元數(shù)的模（或絕對值）,記作或,易知三元數(shù)模的幾何意義是:三元數(shù)在數(shù)空間內(nèi)對應的點到原點的距離.三元數(shù)的輻角與傾角 數(shù)空間可看作復平面繞軸旋轉而成,軸與空間點可唯一確定一個平面,該平面與復平面的夾角稱三元數(shù)的傾角,平面稱傾角為的數(shù)平面,特別地,復平面是傾角為的數(shù)平面,無數(shù)個數(shù)平面形成了數(shù)空間.當點落在軸上時,傾角值不定,也就是說:實數(shù)的傾角值

4、不定.以軸的正半軸為始邊,向量所在的射線（起點是）為終邊的角,叫做三元數(shù)的輻角,記做.輻角的主值 在區(qū)間內(nèi)的輻角的值,叫做輻角的主值,記作,即.非三元數(shù)的輻角有無限多個值,但輻角的主值只有一個,三元數(shù)的輻角不定.說明:(1)三元數(shù)的代數(shù)形式是唯一的,但三角形式不唯一;(2)復平面是傾角為的數(shù)平面;(3)在復平面上成立的結論,在其它傾角的數(shù)平面上也成立;(4)代數(shù)形式與相對應的三角形式的互化公式:;,具體依下列規(guī)則進行先求:,再求:由點的所在象限及共同確定（一般取最小正角）最后求:一般地,取,時,;時,值不定例 (，)從更高的觀點來看,可以觀察到數(shù)學在更高層次上的統(tǒng)一,復數(shù)的代數(shù)形式與極坐標的統(tǒng)

5、一,三元數(shù)的代數(shù)形式與球坐標的統(tǒng)一,極坐標是球坐標的特例,復數(shù)是三元數(shù)的特例.三元數(shù)的加法滿足平行四邊形法則,減法滿足三角形法則.復數(shù)是實數(shù)的擴充,三元數(shù)是復數(shù)的擴充,要特別注意三元數(shù)與復數(shù)及實數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應,復數(shù)與復平面內(nèi)的點、復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應,三元數(shù)與數(shù)空間內(nèi)的點、數(shù)空間內(nèi)以原點為起點的向量一一對應.兩個實數(shù)可以比較大小,有關不等式的一些性質僅限于實數(shù)集中成立.三元數(shù)的模是實數(shù)及復數(shù)絕對值的擴充,實數(shù)與復數(shù)的絕對值是三元數(shù)模的特例,因此三元數(shù)模的所有性質對實數(shù)絕對值都成立,而實數(shù)絕對值的一些性質對三元數(shù)模則不一定成立.,在為實數(shù)時表示兩個點,在為

6、復數(shù)時表示單位圓,在為三元數(shù)時表示單位球面.實數(shù)集對加、減、乘、除、乘方運算封閉,復數(shù)集與三元數(shù)集對加、減、乘、除、乘方、開方運算封閉;一般地,一元次代數(shù)方程在復數(shù)集中有且僅有個根,在三元數(shù)集中可以有多于個的根,甚至有無窮多個根存在.3、三元數(shù)三角形式的運算在傾角為的數(shù)平面上,設，則有 ,顯然,同在一個數(shù)平面上的三個數(shù)相乘,其乘積的模為模的乘積,復數(shù)乘法是其特例. 三元數(shù)的三角形式可用來直觀描述一個星體在軌道傾角為的平面上繞中心天體的運行情況:,為該星體運行的圓形軌道的半徑.如軌道為橢圓,公式可改寫為:若軌道還需旋轉一個角度,公式可再改寫為: 其中、表示星體運行的橢圓軌道的長半軸與短半軸,表示

7、時間,表示星體運行的角速度, 表示該星體繞中心天體運行的周期.是三維數(shù)空間里的旋轉算子,該算子還可推廣至更高維數(shù)空間.(2)三元數(shù)的乘方 三元數(shù)的次冪的模等于這個三元數(shù)的模的次冪,它的輻角等于這個三元數(shù)的輻角的倍,而傾角不變.特別地,當時得:此即復平面上的Movire定理,在這里成了三元數(shù)乘方的一個特例.(3)三元數(shù)的開方 三元數(shù)的次方根是注意:(1)一般地（指不為實數(shù)時）,三元數(shù)總有固定的傾角,這時三元數(shù)的次方根是個三元數(shù),它們的模等于這個三元數(shù)的模的次算術根,它們的輻角分別等于這個三元數(shù)的輻角與的,倍的和的分之一,而傾角不變.(2)為實數(shù)時,傾角值不定,需解參數(shù)方程:易知的平方根是它的幾何

8、意義是數(shù)空間中以原點為圓心,垂直于復平面,在平面上的單位圓,其與復平面的交點恰好是與兩個點,在復平面上有且僅有兩個根,在數(shù)空間中卻有整整一個圓的根存在.這是給出定義,時所完全不曾預料的事情!需要指出的是:求一個三元數(shù)的次方根,當時,勉強可利用定義解代數(shù)方程求得,當較大時用三元數(shù)的三角形式求解較為簡單.三元數(shù)開方的幾何意義一般地,三元數(shù)（指不為實數(shù)時）開次方的個根在數(shù)空間內(nèi)所對應的個點均勻地分布在以原點為圓心,為半徑,與復平面的傾角為的數(shù)空間中的一個圓上.當然,當為實數(shù)時,其次方根的幾何意義依然可利用三元數(shù)的求方根公式進行討論,讀者不妨自行一試.4、三元數(shù)的重要定義、定理與推論4.1模律定理 兩

9、個三元數(shù),為常量,為變量,其積,當且僅當,即兩個三元數(shù)在同一個數(shù)平面上時，三元數(shù)積的模等于兩個三元數(shù)的模的積,得到最大值;當且僅當且時,得到最小值依高等幾何知識,本質上表示一個仿射變換,球面通過可逆線性變換繞球心（原點）旋轉、伸縮后被映射成一個橢球面,模律定理恰好揭示出了橢球面的最長半軸與最短半軸.特別地,如果,此時得到一個半徑的球面,球面的半徑是常量,當然最大值與最小值相等. 給定三元數(shù),一一對應一個矩陣,該矩陣的行列式 稱為數(shù)的基本值,限制的基本值,仿射變換成為可逆線性變換,商唯一可求.特別地,在復域中,復數(shù)的基本值,基本值的通項公式為.初等數(shù)學中一般規(guī)定不作除數(shù)正是的特例. 4.2 推論

10、（零因子定理）兩個三元數(shù),當且僅當,且時,其乘積4.3 除法定理 已知, ,求.將乘出,依三元數(shù)相等的定義,得三元一次方程組,當時,方程有唯一解, ,當,即與在同一個數(shù)平面上時,方程組有形式簡單的的解,如果,數(shù)平面的傾角為,即得出復域內(nèi)結果,顯然復數(shù)除法是三元數(shù)除法的特例.再來研究,時的情形,將乘出,得三元一次方程組, 方程組系數(shù)矩陣的行列式當,且時,得解:,當時無解.當,且時,得解: ,當時無解.當,且時,得解: ,當時無解.若在復域內(nèi)考慮,當時得解:,此時得出了唯一解,復域內(nèi)情形為三元數(shù)除法的特例.注意到在商有唯一解的公式中取,將,代入商有直線解的公式,將代入仍成立,可去間斷點必在連續(xù)直線

11、上.在三元數(shù)函數(shù)論中,為了研究問題的方便,定義可去間斷點為三元數(shù)商的主值,與商一樣仍用來表示,以實現(xiàn)商的單值連續(xù),在商多值時一般專指商的主值,復域內(nèi)情形為其特例,以后不再一一說明.利用數(shù)平面的概念,上述結果可簡述為(1) 時,方程組有唯一解,商唯一可求.(2) ,時,如果與在同一個數(shù)平面上,方程組有一條直線的解,商的主值唯一可求,復域內(nèi)解為其特例.(3) ,時,如果與不在同一個數(shù)平面上,方程組無解,商為空集.最后來研究時的情形,此時,如果,此時沒有任何三元數(shù)滿足,所以解集是空集;如果,此時任意一個三元數(shù)均滿足,所以解集為,意即所有的三元數(shù)均為所求.綜上所述,三元數(shù)的乘除法比加減法要更為微妙,從

12、函數(shù)的觀點來看,三元數(shù)乘法得到的積是單值函數(shù),三元數(shù)除法得到的商卻可以一值、多值(主值唯一)、甚至無解.其實即使在復域內(nèi)考慮,乘除法也并不完全可逆,就是個例外,初等數(shù)學中一般規(guī)定不作除數(shù),以保證除法運算所得到的商總是單值.在三元數(shù)函數(shù)論中,從更一般的觀點來看,三元數(shù)除法等價于三元一次方程組的求解,任意兩個三元數(shù)總可作除法,除法運算即解方程組的過程總可以進行,只是除法運算的結果（商）可能單值、多值、或無解罷了.4.4 推論（倒數(shù)定理）,時,稱為的倒數(shù),代入,得(1) 時,倒數(shù)唯一可求.,(2) ,時,得解:,方程組有一條直線的解(3) ,時,得解:,方程組有一條直線的解(4) ,時,得解:,方程

13、組有一條直線的解(5)任何數(shù)乘以都不等于,所以沒有倒數(shù),反之,任何非三元數(shù)總有至少一個倒數(shù)在復變函數(shù)論中,倒數(shù)函數(shù)將一個圓單值連續(xù)映照為另一個模為倒數(shù)的圓,在三元數(shù)函數(shù)論中,多值商取主值,后倒數(shù)函數(shù)將一個球面單值連續(xù)映照為另一個模為倒數(shù)的球面,復數(shù)倒數(shù)是三元數(shù)倒數(shù)的特例.4.5 乘除轉化定理 一般地,當且僅當時, 除以一個三元數(shù)等于乘以這個三元數(shù)的倒數(shù).實際上當、商為多值時乘除轉化定理仍成立,此時只需左邊商取多值或主值而右邊的倒數(shù)也取多值或主值乘出即可.利用數(shù)平面的概念, 乘除轉化定理可簡述為:一般地,當且僅當與在同一個數(shù)平面上時,除以一個三元數(shù)等于乘以這個三元數(shù)的倒數(shù),復域內(nèi)情形為其特例.4

14、.6結合律定理 三個三元數(shù)相乘,當且僅當為實數(shù)或者、在同一個數(shù)平面上時,結合律成立,由于實軸是所有數(shù)平面的公共軸,任意數(shù)平面均包含實數(shù),所以至少有一個數(shù)是實數(shù)的三個數(shù)相乘,其乘積滿足結合律.4.7 代數(shù)學基本定理 三維數(shù)空間里一般系數(shù)的一元次代數(shù)方程至少有一解（,）4.8 推論（實系數(shù)代數(shù)學基本定理）如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復平面上有個實根，, 、對虛根 ,那么該方程在數(shù)空間里有且僅有個實根,和個圓的非實數(shù)根4.9 推論(實根定理)如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復平面上有且僅有個實根,那么其在數(shù)空間里也有且僅有個實根4.10 推論(虛根定理) 如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復平面上有且僅有對虛根,那

15、么其在數(shù)空間里有且僅有個圓的非實數(shù)根 三、三元數(shù)函數(shù)通過引入定義現(xiàn)在已能對兩個三元數(shù)作加、減、乘、除等四則運算,對單個三元數(shù)可進行乘方、開方,還可以解出數(shù)空間里形如、的二項方程.這都屬于初等數(shù)學中代數(shù)運算的范疇,下面利用冪級數(shù)理論對三元數(shù)函數(shù)進行推廣3.1指數(shù)函數(shù)定義: (1)先研究的指數(shù)函數(shù),將代入并整理得 (2) 可以給出嚴格的證明,在整個數(shù)空間內(nèi)是收斂的.令,在中即可得到此即著名的Euler公式,這里可以從三元數(shù)理論中導出,從而是三元數(shù)理論中的特例。當時,代入得 (3)此即求任一三元數(shù)指數(shù)函數(shù)的公式,三元數(shù)還有指數(shù)形式3.2三角函數(shù)與雙曲函數(shù)三元數(shù),確定了三元數(shù)所在的數(shù)平面在數(shù)空間中的位

16、置,稱為三元數(shù)的代數(shù)傾角,簡稱傾角,相應特指三元數(shù)的幾何傾角.,3.3對數(shù)函數(shù),則,因無解,將以指數(shù)形式寫出：,并記,于是,所以: ,由于指數(shù)函數(shù)在傾角為的數(shù)平面上有周期,其反函數(shù)對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù). 現(xiàn)在研究映射,平面被映射成球面,設,依次取,映射將自變量數(shù)空間內(nèi)的中心圓柱體、無窮多的半圓環(huán)柱體依次映射成了函數(shù)數(shù)空間(不含原點),復變函數(shù)論中將直線映射成圓,自變量復平面帶形區(qū)域依次取被映射成了函數(shù)復平面（不含原點）,復域內(nèi)結論是三元數(shù)函數(shù)論中的特例,實質表述了數(shù)空間中一個剖面的情形.3.4反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)注意到對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)其實均來源于指數(shù)函數(shù),而指數(shù)函數(shù)實質為在整個數(shù)空

17、間收斂的實系數(shù)的冪級數(shù),任取一個數(shù)平面來研究,當自變量在傾角為的數(shù)平面上取值時,函數(shù)值亦在該數(shù)平面上變動,有,3.5冪函數(shù),其中與是三元數(shù),三元數(shù)基礎理論中已討論過的情形,分別為的乘方與開方,一般的開方根函數(shù)就已是多值函數(shù),在新的定義下得出的結論與以前的結果并無不同.當取一般的三元數(shù)時出現(xiàn)了新的情況,盡管三元數(shù)的冪函數(shù)也是通過指數(shù)函數(shù)來定義,但由于不一定在同一個數(shù)平面上,所以當自變量在傾角為的數(shù)平面上變動時,函數(shù)值不一定仍在這個數(shù)平面上變動.3.6多項式和有理函數(shù),其中均為多項式.多項式是有理函數(shù)的特例.顯然,在整個三維數(shù)空間內(nèi)多項式處處收斂.3.7整函數(shù)與分式函數(shù)在三維數(shù)空間內(nèi),可表示成處處

18、收斂的冪級數(shù)的和的三元數(shù)函數(shù)稱為整函數(shù),多項式是最簡單的整函數(shù),非多項式的整函數(shù)(無窮高次多項式)稱為超越整函數(shù),指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)都是超越整函數(shù).易知有界整函數(shù)是常數(shù).,(其中均為整函數(shù))稱為分式函數(shù).在復變函數(shù)論中研究了收斂的實系數(shù)、復系數(shù)的冪級數(shù),在三元數(shù)函數(shù)論中,還需進一步去研究收斂的一般三元數(shù)系數(shù)的冪級數(shù). 借助將三維數(shù)空間看作由傾角為的數(shù)平面（復平面）繞實軸（或軸）旋轉而成的幾何解釋,立即可以理解下列以點為中心的冪級數(shù)的收斂性:, 由于第一個冪級數(shù)在復平面上的單位圓內(nèi)收斂,而單位圓繞軸在三維數(shù)空間里旋轉得到單位球面,所以級數(shù)在三維數(shù)空間里的單位球內(nèi)收斂,其它幾個冪級數(shù)由于在整個復平

19、面內(nèi)收斂,所以它們在整個三維數(shù)空間里亦收斂.3.8一般的三元數(shù)函數(shù),其中、均為、的三元實函數(shù),從本質上講,復變函數(shù)理論就是一對二元實函數(shù)的理論,而三元數(shù)函數(shù)論就是三個三元實函數(shù)的理論.四、三元數(shù)函數(shù)的解析理論定義4.1設為定義在區(qū)域內(nèi)的單值函數(shù),自變量,將沿傾角為的數(shù)平面作正交分解：, 當時,自變量與函數(shù)值在同一個數(shù)平面上變化,原式化為,如果函數(shù)在處沿數(shù)平面可微,則稱函數(shù)在處可導.此時為常量,有,定義4.2如,將函數(shù)的定義域依數(shù)平面分開,如果函數(shù)在傾角為的數(shù)平面上的部分處處可微,則稱函數(shù)在內(nèi)上解析,簡稱平面解析;如果函數(shù)在內(nèi)所有數(shù)平面上處處可微,則稱函數(shù)在自變量區(qū)域內(nèi)解析,簡稱空間解析.從定義

20、可看出:對于三元數(shù)函數(shù),導數(shù)未采用比的極限的傳統(tǒng)定義,而是利用了可微即可導的原理,有,直接把函數(shù)的微分系數(shù)定義成了函數(shù)的導數(shù).不難得出函數(shù)可微或可導的充要條件為：, 在復域內(nèi)考慮,傾角,式就變成了傳統(tǒng)的C-R條件,復域內(nèi)結論是三元數(shù)函數(shù)論中的特例.定義4.3將函數(shù)沿傾角為的數(shù)平面作正交分解,如,在傾角為的數(shù)平面上的部分處處可微,則函數(shù)在內(nèi)可分成兩部分,解析,不解析,稱函數(shù)為半解析函數(shù).易知函數(shù)半解析的充要條件為: , ,例 4.1設函數(shù),試分析函數(shù)在三維數(shù)空間是否解析.解1 設,代入整理得: 解出:據(jù)廣義C-R條件,函數(shù)在三維數(shù)空間內(nèi)解析,且為空間解析. 解2 由得,直接求導得:,故函數(shù)在三維

21、數(shù)空間內(nèi)解析.定義4.4設函數(shù)為定義在區(qū)域內(nèi)的單值連續(xù)函數(shù),如果可表示成一個收斂的三元數(shù)系數(shù)的冪級數(shù),則稱函數(shù)為泛解析函數(shù).解析函數(shù)是泛解析函數(shù)的特例.定理4.1泛解析函數(shù)表示成處處收斂中心在原點的冪級數(shù)的充要條件是組成函數(shù)的三個實變函數(shù)自鄰域中心點分別作Taylor展開后的各項滿足,稱為泛解析Taylor條件. 將代入式展開,對比各式得到無窮個偏微分方程組,依次求之得、等.,復域內(nèi)復變函數(shù)在原點解析的條件是三元數(shù)函數(shù)在原點泛解析Taylor條件的特例.在三元數(shù)函數(shù)論中,函數(shù)可表示成收斂的冪級數(shù)與函數(shù)解析并不等價.五、三元數(shù)函數(shù)的積分理論三元數(shù)函數(shù)的積分主要是考慮沿數(shù)空間內(nèi)曲線的積分,曲線應為

22、簡單光滑或逐段光滑的有向曲線,定義,如果為閉曲線,積分方向又為曲線的正方向,則沿此閉曲線的積分又可記作:,一般地,上的連續(xù)函數(shù)在上可積.定理5.1(圍道積分公式)設三元數(shù)函數(shù)在三維數(shù)空間的一個單連通區(qū)域內(nèi)空間解析,是內(nèi)的任意一點,則,其中閉路為圍住點的簡單光滑或逐段光滑的閉曲線,在內(nèi)傾角為的數(shù)平面上,、.證 當點不在實軸上時,在傾角為的數(shù)平面上作圍道,據(jù)Cauchy積分公式定理得證,如果點恰好位于實軸上,此時通過任意一個數(shù)平面作圍道積分后亦可證得,故定理成立.復域內(nèi)情形是時的特例.特別地,如取,則有,時即得注意:如點不在實軸上,傾角,此時點能且只能位于唯一的一個數(shù)平面上,只有在這個數(shù)平面上作圍

23、道積分才能求得,若點恰在實軸上,則通過任意一個數(shù)平面作圍道積分均可求得.定理5.2（積分為定理）設是區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù),如對于內(nèi)任意一條簡單光滑閉曲線都有,則有,證據(jù)Green公式與Stokes公式展開后,定理得證.在復域內(nèi)此定理即成為Morera定理, Morera定理是此定理的特例.但在三維數(shù)空間,一般地,積分為與函數(shù)解析并不等價.單連通區(qū)域內(nèi)沿閉路積分為的連續(xù)函數(shù)的積分完全由它的上下限決定,而與所沿的路徑無關,固定一點,另一點在內(nèi)變動,則變上限積分所確定的函數(shù)與路徑無關,因而是的一個單值函數(shù).六、三元數(shù)函數(shù)的級數(shù)理論6.1三元數(shù)項級數(shù)與三元數(shù)函數(shù)項級數(shù) 定理6.1.1給定一個三元數(shù)序列,其

24、中,則當且僅當,(各系數(shù)均為實數(shù)). 定理6.1.2三元數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是實數(shù)項級數(shù)、同時收斂.定理6.1.3三元數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件是.定理6.1.4絕對收斂的三元數(shù)項級數(shù)其本身一定收斂.定理6.1.5 若三元數(shù)函數(shù)均定義在集合上,并且有不等式,正項級數(shù)收斂,則函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.定理6.1.6若在區(qū)域內(nèi)連續(xù),級數(shù)在內(nèi)一致收斂于和函數(shù),則在內(nèi)處處連續(xù).定理6.1.7若均在光滑或逐段光滑的曲線上連續(xù),級數(shù)在上一致收斂于函數(shù),則在上可積,并且有.定理6.1.8若均在區(qū)域內(nèi)解析,并且在內(nèi)一致收斂于和函數(shù),則在內(nèi)解析,并且有6.2冪級數(shù)實系數(shù)處處收斂的冪級數(shù)在所有的數(shù)平面上解析,屬于空間

25、解析,非實數(shù)的復系數(shù)的處處收斂的冪級數(shù)僅在復平面上解析,屬于平面解析,當然還存在一般三元數(shù)系數(shù)的處處收斂的冪級數(shù),屬于泛解析.定理6.2.給定冪級數(shù),如果極限,則當時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)發(fā)散. 證 據(jù)三元數(shù)的模律定理,由于時,級數(shù)的各項取絕對值后所構成的冪級數(shù)收斂,所以級數(shù)也收斂;當時,級數(shù)的一般項不趨于,故級數(shù)發(fā)散. (在三元數(shù)理論中,由于一般地,所以僅根據(jù)冪級數(shù)在（）點收斂,并不能判定級數(shù)在以原點為中心、為半徑的球內(nèi)收斂,此時仍需根據(jù)定理6.2來判定級數(shù)的收斂區(qū)域.當然也可能級數(shù)的一般項只有成立,此時一般就只能判定級數(shù)在時收斂.6.3Laurent級數(shù)定義6.3在球帶區(qū)域內(nèi)處處收斂的雙向

26、冪級數(shù)稱為Laurent級數(shù).,令把分成兩部分,前一級數(shù)時收斂,后一級數(shù)時收斂,如恰好成立,則兩級數(shù)就有公共的收斂范圍,為一球帶,Laurent級數(shù)在球帶內(nèi)絕對收斂.可以為無窮,可以為(),冪級數(shù)是Laurent級數(shù)的特例.七、四個定義、兩個猜想與結論定義:7.1如果泛解析三元數(shù)函數(shù)在點的值不存在,則稱為函數(shù)的奇點.定義:7.2如果在點的某一空心鄰域內(nèi)有界,則稱為函數(shù)的可去奇點.定義:7.3如果在點的某一空心鄰域內(nèi)當自變量趨于點時,趨于無窮,則稱為函數(shù)的極點.定義:7.4如果在點的某一空心鄰域內(nèi)可趨于任意三元數(shù)(包括無窮),則稱為函數(shù)的本性奇點.猜想7.1(單位球猜想)對于三維數(shù)空間內(nèi)任一邊界

27、不止一點的單連通區(qū)域,必存在收斂的冪級數(shù)將其一對一映照到單位球內(nèi)部.猜想7.2(例外值猜想)超越整函數(shù)至多有一個點或半個圓的例外值(點是半個圓半徑趨于時的極限),否則方程在三維數(shù)空間總有無窮多個根.,時,在復變函數(shù)論中,單連通域內(nèi)連續(xù)函數(shù)沿閉路積分為與函數(shù)解析等價,函數(shù)在圓盤區(qū)域內(nèi)或圓環(huán)區(qū)域內(nèi)存在處處收斂的冪級數(shù)表示與函數(shù)解析等價,然而在三元數(shù)函數(shù)論中,函數(shù)存在冪級數(shù)表示不一定解析,解析只是函數(shù)存在冪級數(shù)表示的特例.Weierstrass通過冪級數(shù)來構建函數(shù)論的方法某種意義上更為基本,這種形而上學的形式化定義既適用于結合代數(shù),也適用于非結合代數(shù),即使在傳統(tǒng)解析與積分理論不再成立的地方,冪級數(shù)理

28、論仍然適用.新的三元數(shù)函數(shù)論也提供了很多有趣的問題,比如在三維數(shù)空間解析函數(shù)的零點與奇點就不一定孤立,像就有一個圓的零點,但如果固定值將數(shù)空間依數(shù)平面分開,則每一個數(shù)平面上函數(shù)有且僅有兩個孤立的零點.又如在復變函數(shù)中經(jīng)常提到的在單位圓內(nèi)收斂的冪級數(shù),一般教材都是告訴讀者因為在單位圓的圓周上出現(xiàn)了兩個極點與,函數(shù)在這兩點變?yōu)闊o窮,因而導致了函數(shù)的收斂域只能在單位圓內(nèi),不過如果從三元數(shù)函數(shù)論的觀點來看,導致函數(shù)收斂區(qū)域只能在單位球內(nèi)的更深刻原因其實是因為在三維數(shù)空間內(nèi)函數(shù)有一個整圓的奇點擋住了冪級數(shù)繼續(xù)延拓的進程.必須指出:一篇小短文遠不足以闡明三元數(shù)函數(shù)論中的所有問題與研究方向,由于新的理論更多

29、是從連續(xù)函數(shù)的性質出發(fā)而得出了諸多更一般的結論,因而與拓撲學和幾何學存在著天然緊密的聯(lián)系.同時出于解方程的需要,三元數(shù)函數(shù)論與非線性代數(shù)方程組、微分積分方程理論等也密不可分.在過去幾十年中,復變函數(shù)論中的一些重要結論逐漸被用拓撲學的方法給出了更為深刻的證明,考慮到連續(xù)函數(shù)是解析函數(shù)的更一般情形,相信隨著三元數(shù)函數(shù)論與數(shù)學中其他分支聯(lián)系的日益加深,新的理論必然會隨著更多新鮮養(yǎng)分的注入而茁壯成長、日臻成熟.最后指出,只需將三元數(shù)的傾角換成高維數(shù)空間中的傾角、,球坐標三元數(shù)理論可自然推廣至維數(shù)空間乃至無窮維數(shù)空間而形成廣義球坐標多元數(shù)理論.新的理論具備自我發(fā)展、自我完善的能力充分證明:好的數(shù)學對象自

30、有其不朽的生命與靈魂.一方面Cauchy是幸運的,因為只有一種復變函數(shù)理論,恰巧被Cauchy發(fā)現(xiàn)了;另一方面我們則更加幸運,因為Cauchy的發(fā)現(xiàn)并非全部,在復變函數(shù)理論之上,實際還存在著更為優(yōu)美而和諧的三元數(shù)函數(shù)論以及多元數(shù)函數(shù)論.科學研究需要敢于創(chuàng)新,創(chuàng)新是科學的本質與靈魂.只有不斷突破前人勇于創(chuàng)新,科學才能不斷進步和發(fā)展.前人的理論固然偉大,但后人的成就終將會超越前人,立德立言、求美求真,在探索科學的道路上,總有更偉大的理論在等待著后人.八、致謝2006年超越復數(shù)的三元數(shù)在武漢湖北大學全國第六屆初等數(shù)學學術交流會上公開宣讀獲二等獎，由于曲阜師大李吉寶教授慧眼識珠,球坐標三元數(shù)理論2009年首先在中學數(shù)學雜志公開發(fā)表,2010年哈爾濱工業(yè)大學韓彥偉博士在獲得國家自然科學基金資助的論文一種三元數(shù)的新定義中首先引用了超越復數(shù)的三元數(shù), 2011年北京航空航天大學全國大學生數(shù)學競賽的獲獎者蔣正好將球坐標三元數(shù)編入了