1、5-37 .質數與合數（一）.題庫7教師版page 4 of5-3-1 .質數與合數（一）1.掌握質數與合數的定義2 .能夠用特殊的偶質數2與質數5解題3 .能夠利用質數個位數的特點解題4 .質數、合數綜合運用部3至一、質數與合數一個數除了 1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）.一個數除了 1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。要特別記住：0和1不是質數，也不是合數。 常用的 100 以內的質數:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97,共計25個：除了 2其余的質數都

2、是奇數：除了 2 和5,其余的質數個位數字只能是1, 3, 7或9.考點：（1）值得注意的是很多題都會以質數2的特殊性為考點.（2）除了 2和5,其余質數個位數字只能是1, 3, 7或9.這也是很多，題解題思路，需 要大家注意.二、判斷一個數是否為質數的方法根據定義如果能夠找到一個小于P的質數q（均為整數），使得q能夠整除R那么就 不是質數，所以我們只要拿所有小于P的質數去除P就可以了；但是這樣的計算最很大，對 于不太大的P，我們可以先找一個大于且接近的平方數K：再列出所有不大于的質數,用這些質數去除夕，如沒有能夠除盡的那么夕就為質數.例如：149很接近144 =12x12，根 據整除的性質1

3、49不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數.模塊一、判斷質數合數例1下面是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華朋會友，幼長相親 同切磋；杯賽聯誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握; 聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌.請你將詩中56個字第1行左邊第一字起逐行 逐字編為156號，再將號碼中的質數由小到大找出來，將它們對應的字依次排 成一行，組成一句話，請寫出這句話.【考點】判斷質數合數 【難度】1星【題型】滇空【解析】按要求編號排序，并畫出質數號碼：美少年華朋友,幼長相親同切磋1234567891011121314杯賽聯誼歡聲響，念 笑慰來者多;151G17

4、1819202122232425262728九天九雷志凌Z；.九七共慶T-相握;2930313233343536373839404142聚起 華夏中 興力，同唱移 山壯麗 歌.43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56將質數對應的漢字依次寫出就是：少年朋友親切聯歡；一九九七相聚中山.【答案】少年朋友親切聯歡：一九九七相聚中山例2著名的哥德巴赫猜想是：“任意一個大于4的偶數都可以表示為兩個質數的和”. 如6=3+3, 12=5+7,等.那么，自然數100可以寫成多少種兩個不同質數的和的形 式？請分別寫出來（100=3+97和100=97+3算作同一種形式）

5、。【考點】判斷質數合數 【難度】2星【即型】滇空【關鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第13題，15分【解析】逐一試驗，可知：100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83=29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 為所有 符合條件的情況，所以共6種。【答案】6【例3】在19、197、2009這三個數中，質數的個數是（）.（。 1 （O 23 3【考點】判斷質數合數 【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽初賽第4題【解析】19是常見的質數，197容易檢驗知也是質數，本題主要是考查2009這個數是否是 質數。實際上，2009=7X41,是個合數，所以在19, 197,

6、 2009這三個數中有2 個質數。正確答案為Q【答案】C【例4大約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之，計算出兀的值在3. 1415926和 3. 1415927之間，成為世界上第一個把兀的值精確到7位小數的人.現代人利用計 算機已經將兀的值計算到了小數點后515億位以上.這些數排列既無序又無規 律.但是細心的同學發現：由左起的第一位3是質數，31也是質數，但314不是 質數，那么在 3141, 31415 , 314159, 3141592 , 31415926, 31415927 中，哪些是 質數？,【考點】判斷質數合數 【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】祖沖之杯【解析】注意到 3141,

7、 31415, 3141592, 31415926, 31415927 依次能被 3, 5, 2, 2, 31 整除，所以，質數是314159.【答案】質數是314159【例5】用2表示所有被3除余1的全體正整數.如果心中的數（1不算）除1及它本身以 外，不能被L的任何數整除，稱此數為“一質數”.問：第8個 “一質數”是 什么？【考點】判斷質數合數 【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】保良局亞洲區城市小學數學邀請賽【解析】“£ 數”為 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, , “£一質數”應 為上列數中去掉 1, 16, 2

8、8,即為 4, 7, 10, 13, 19, 22, 25, 31, 34,所 以，第8個“£一質數”是31.【答案】31例6 9個連續的自然數，每個數都大于80,那么其中最多有多少個質數？請列舉和最 小的一組【考點】判斷質數合數 【難度】2星【題型】解答【解析】我們知道任意連續9個自然數中最多力F個質數，本題考察對100以外的質數的熟 練情況，有101，103, 107, 109是4個質數。【答案】101, 103, 107, 109是4個質數【例7】從20以內的質數中選出6個，然后把這6個數分別寫在正方體木塊的6個面上， 并且使得相對兩個面的數的和都相等.將這樣的三個木塊擲在地上

9、，向上的三個面 的三個數之和可能有多少種不同的值？【考點】判斷質數合數【難度】2星【題型】解答【解析】小于 20 的質數有 2, 3, 5, 7 , 11, 13, 17, 19,其中 5 + 19 = 7+17 =11+13 . 每個木塊擲在地上后向上的數可能是六個數中的任何一個，三個數的和最小是 5 + 5 + 5 = 15,最大是19 + 19 + 19 = 57 ,經試驗，三個數的和可以是從15到57的 所有奇數，所有可能的不同值共有22個。【答案】22【例8】自然數N是一個兩位數，它是一個質數，而且N的個位數字與十位數字都是質數, 這樣的自然數有多少個？【考點】判斷質數合數【難度】2

10、星【題型】解答【關鍵詞】全國小學奧林兀克【解析】這樣的自然數有4個：23, 37, 53, 73.【答案】4例9小晶最近遷居了，小晶驚奇地發現他們強的門牌號碼是四位數,同時，她感到 這個號碼很容易記住，因為它的形式為礪，其中awb,而且ab和ba都是質數 （a和b是兩個數字）.具有這種形式的數共有多少個？【考點】判斷質數合數【難度】2星【題型】解答【解析】若兩位數而、曲均為質數，則a、b均為奇數且不為5,故有1331, 3113, 1771, 7117, 7337, 3773, 9779, 7997 共 8 個數.【答案】8【例10炎黃驕子 菲爾茲獎被譽為“數學界的諾貝爾獎”，只獎勵40歲以下

11、的數學 家.華人數學家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎.我們知道正整 數中有無窮多個質數（素數），陶哲軒等證明了這樣一個關于質數分布的奇妙定理: 對任何正整數k,存在無窮多組含有k個等間隔質數（素數）的數組.例如，k = 3時, 3, 5, 7是間隔為2的3個質數；5, 11, 17是間隔為6的3個質數： 而，, 是間隔為12的3個質數（由小到大排列，只寫一 組3個質數即可）.【考點】判斷質數合數【難度】3星【題型】滇空【關鍵詞】南京市青少年“科學小博士”思維訓練【解析】最小的質數從2開始，現要求每兩個質數間隔12,所以2不能在所要求的數組中.而 且由于個位是5的質數只有一個

12、5,所以個位是3的質數不能作為第一個質數和第 二個質數，可參照下表：笫一個質數第二個質皴第三個質數滿足要求打51729Z71931V172941V193143294153374961475971【答案】5、17、29答案不唯一【例11】圖中圓圈內依次寫出了前25個質數；甲順次計算相鄰二質數之和填在上行方格 中；乙順次計算相鄰二質數之積填在下行方格中.6-3T .質數與合數（一）.題庫教師版page 5 of7問：甲填的數中有多少個與乙填的數相同?為什么？【考點】判斷質數合數【難度】3星 【題型】解答【關健詞】華杯賽，口試【解析】質數中只有一個偶數2,其余的質數均為奇數.所以甲填的“和數”中除第

13、一個是 奇數5外，其余的均為不小于8的偶數.乙填的“積數”中除第一個是偶數6夕卜, 其余所填的全是不小于15的奇數.所以甲填的數與乙填的數都不相同.【答案】質數中只有一個偶數2,其余的質數均為奇數.所以甲填的和數”中除第一個是 奇數5外，其余的均為不小于8的偶數.乙填的“積數”中除第一個是偶數6外, 其余所填的全是不小于15的奇數.所以甲填的數與乙填的數都不相同.【例12】從19中選出8個數排成一個圓圈，使得相鄰的兩數之和都是質數.排好后可 以從任意兩個數字之間切開，按順時針方向讀這些八位數，其中可以讀到的最大 的數是多少？【考點】判斷質數合數 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】全國小學數學

14、奧林匹克【解析】由于質數除了2以外都是奇數，所以數字在順時針排列時應是奇偶相間排列.切開 后的數仍然具有“相鄰兩數之和是質數”，并且最高位與最低位之和也是質數，考 慮到“最大”的限制條件，最高位選9,第二位選8,第三位最大可以選7,但7 與8之和不是質數，再改選5, 8與5之和是質數，符合要求.第四位可選剩余的 最大數字6,如此類推十位可選3,個位選2.所以，可以讀到的最大數是 98567432.數字排列如下圖.【答案】98567432例13九九重陽節，一批老人決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去參觀兵馬俑.如 果打算每輛車坐22個人，就會有1個人沒有座位；如果少開一輛車，那么，這批 老人剛

15、好平均分乘余下的大巴.那么有多少個老人？原有多少輛大巴？【考點】判斷質數合數【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】祖沖之杯【解析】仍按每車坐22人計算，少開一輛車將有23人無座位，這些人剛好平均分乘余卜的 車，23是質數，所以余下23輛車，原有24輛車，原有老人22x23 + 23=232 = 529 （個）.【答案】24輛車，529位老人【例14】一個兩位數，數字和是質數.而且，這個兩位數分別乘以3, 5,7之后，得 到的數的數字和都仍為質數,滿足條件的兩位數為【考點】判斷質數合數【難度】4星 【題型】滇空【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第4題，8分【解析】兩位數乘以3之后，數字和一定被3整除

16、。又因為是質數，所以只能是3。有102,111, 120, 201,210這五種情況。依次分析.3倍原數數字和5倍數字和7倍數字和102347 （質）1708 （合）1113710 （合）120404 （合）2016713 （質）33511 （質）46919 （質）210707 （質）3508 （合）所以，滿足條件的兩位數為67【答案】67【例15】三位數A滿足：它的所有質因數之和是26.這樣的三位數A有 個。【考點】判斷質數合數【難度】4星 【題型】滇空【關鍵詞】學而思杯，6年級，1試，第6題【解析】26以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23,所以這樣的三位數有13 個。【

17、答案】13模塊二、質數個位性質例16哥德巴赫猜想是說：“每個大于2的偶數都可以袤示成兩個質數之和”。問：168 是哪兩個兩位數的質數之和，并且其中的一個的個位數宇是1?【考點】偶質數2【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】華杯賽初賽第8題【解析】個位數字是1的兩位質數有:11, 31, 41, 61, 71,其中16811=157, 16831 = 137,168-41=127 168-61 = 107,都不是兩位數，只有16871 = 97是兩位數.而 且是質數.所以168=71 + 97是唯一的解【答案】71與97【例17】有些三位數，它的各位數字之積為質數，這樣的三位數最小是,最大是【考點】

18、判斷質數合數【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽，第7題【解析】數要最小，首先位數高的要盡可能的小，則最小的為112,最大的為711.【關鍵詞】最小的為112,最大的為711例181萬尼亞想了一個三位質數，各位數字都不相同.如果個位數字等于前兩個數字的 和，那么這個數是幾？【考點】質數個位性質【難度】2星【即型】解答【關鍵詞】俄羅斯數學奧林匹克【解析】因為是質數所以個位數不可能為偶數0, 2, 4, 6, 8也不可能是奇數5.如果末位 數字是3或9,那么數字和就將是3或9的兩倍，因而能被它們整除，這就不是質 數了.所以個位數只能是7.這個三位質數可以是167, 257, 34

19、7, 527或617中 間的任一個.【答案】可以是167, 257, 347, 527或617中間的任一個例19從小到大寫出5個質數，使后面數都比前面的數大12.這樣的數有幾組？【考點】質數個位性質【難度】2星【即型】解答【解析】考慮到質數中除了 2以外其余都是奇數，因此這5個質數中不可能有2：又質數中 除了 2和5,其余質數的個位數字只能是1、3、7、9.若這5個質數中最小的數其 個位數字為1,則比它大24的數個位即為5,不可能是質數：若最小的數其個位數 字為3,則比它大12的數個位即為5,也不可能為質數；由此可知最小的數其個位 數字也不可能是7和9,因此最小的數只能是5,這5個數依次是5,

20、 17, 29, 41, 53.這樣的數只有一組.【答案】1組例20若A、運、灰都是質數，則人= （II是指十位數字為1,個位數字 為A的兩位數）【考點】質數個位性質【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第2題【解析】A是質數，只能為2、3、5、7,但是12、15、27都不是質數，所以A=3【答案】3【例21已知n, n + 6 , n + 84, n + 102 , n + 218都是質數，那么n=.【考點】質數個位性質【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，6年級【解析】由于6, 84 , 102, 218除以5的余數分別為1，4, 2. 3所以n, n + 6,

21、 n+84, n + 102, n + 218這5個數除以5的余數互不相同，那么其中必然有除以5余。的， 也就是有5的倍數，而這5個數都是質數，那么只能是5。由于n + 6, n+84, n + 102, n + 218都比5大，所以n為5。【答案】5例22某質數加6或減6得到的數仍是質數，在50以內你能找出幾個這樣的質數？把 它們寫出來【考點】質數個位性加【難度】2星 【即型】解答【解析】有六個這樣的數，分別是11, 13, 17, 23, 37, 47.【答案】6 個，11, 13, 17, 23, 37, 47.【例23有三張卡片，它們上面各寫著數字1, 2, 3,從中抽出一張、二張、三

22、張，按任 意次序排列出來，可以得到不同的一位數、二位數、三位數，請你將其中的質數 都寫出來.【考點】質數個位性質【難度】3星 【題型】解答【解析】抽一張卡片，可寫出一位數L 2, 3：抽兩張卡片，可寫出兩位數12, 13, 21, 23, 31, 32:抽三張K片，可寫出三位數123, 132, 213, 231, 312, 321,其中三位 數的數字和均為6,都能被3整除，所以都是合數.這些數中，是質數的有：2, 3, 13, 23, 31.【答案】2, 3, 13, 23, 31【例24用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到并 且只能用

23、一次，那么這9個數字最多能組成多少個質數.【考點】質數個位性質【難度】3星 【題型】解答【解析】要使質數個數最買，我們盡量組成一位的質數，仃2、3、5、7均為一位質數，這 樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質數的數字未用,有1、4、8、9可以組成質 數41、89,而6可以與7組合成質數67.所以這9個數字最多可以組成6個質數。【答案】61鞏固】用0-9這10個數字組成若干個質數，每個數字都恰好用一次，這些質數的和最小 是.【考點】質數個位性質【難度】3星 【題型】滇空【關犍詞】走美杯，6年級，決賽，第4題，10分【解析】2+3+5+67+89+401=567.【答案】567【例25用。9這1

24、0個數字組成若干個合數，每個數字都恰好用一次，那么這些合數之 和的最小值是.【考點】質數個位性質【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，六年級，初試，第5題）【解析】根據題意，這些合數之和要盡量的小，首先要選擇這些合數中是本身是合數的，有 4、68、9,還剩下0、1、2、3、5、7這六個數構成兩位數為合數，讓十位上的數 盡量的小，則為1、2、3,個位上的數有0、5、7,根據超意，10、27、35或15、 27、30均為合數，所以合數的最小值為：4+6+8+9+10+27+35=99。【答案】99【例26用數字卡片1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 9 （不允許把6倒過來當 作9,也不許把9倒過來當作6）組成七個不同的兩位質數，這七個質數之和等于【考點】質數個位性質【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,5年級，第2題【解析】23,29： 53,59 ： 41,47； 61 和為23 + 29+53 + 59+41+47 +61 =313【答案】313【例