1、高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀1.5 電磁場邊值關系電磁場邊值關系Boundary Conditions of Electromagnetic Field高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀復習:,0,.DBEtBDHJt MrrHB1 ,0errED1 ,0EJ在導電物質中在導電物質中稱為電導率稱為電導率高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀1.5 電磁場邊值關系電磁場邊值關系Boundary Conditions of Electromagnetic Field 在電動力學中，我們關心的場量 、 是一個矢量，要想確

2、定區域V中的 和 ，必須知道V中每一點 、 的散度和旋度，以及在邊界面上的法線分量 、 。本節主要是討論兩種不同介質的分界面上Maxwells equations 的形式，亦即電磁場邊值關系。BEBEBEnBnE高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 大家知道, 由于在外場作用下，介質分界面上一般出現一層束縛電荷和電流分布，這些電荷、電流的存在又使得界面兩側場量發生躍變，這種場量躍變是面電荷、面電流激發附加的電磁場產生的，描述在兩介質分界面上，兩側場量與界面上電荷、電流的關系，是本節的主要討論內容。高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 然而，微分形

3、式的Maxwells equations不能應用到兩介質的界面上, 這是因為Maxwells equations對場量而言, 是連續、可微的。只有積分形式的Maxwells equations 才能應用到兩介質的分界面上，這是因為積分形式的Maxwells equations對任意不連續的場量適合。因此研究邊值關系的基礎是積分形式的Maxwells equations：高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀dddd0ddfSLSSfLSDSQdElBSdtBSdHlIDSdt ,0,.DBEtBDHJt 高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀1、法向

4、分量的躍變、法向分量的躍變（discontinuity of normal component) 1D介質1介質22D2n1n2ds1ds2ds1dsdsfSQsdDD 如圖所示，在分界面處作一個小扁平匣，匣的上下底面 ， 分別位于界面的兩側， ， ， 三個面元平行，大小相等，ds為界面上被截出的面元，匣的高度h0，用 求矢量 通過匣表面的通量。高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀121122ddddSSSSDSDSDSDS側側側D由于匣的高度h0，所以通過側面的 的通量也可以忽略不計，因此1122d()dSDSD nDnS1D介質1介質22D2n1n高等教育出版社郭碩

5、鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀1D介質1介質22D2n1n12 , nnnn 12()ddfD nDnSSfnnDD12其中 是界面上的自由電荷 面密度， 及 分別為界面兩側的電位移矢量 在面法線上的分量， 的方向由介質1指向介質2。nD1fnD2Dn1122d()dSDSD nDnSn21()fnDD高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀12PPnPn為分界面上由介質1指向介質2的法線極化矢量的躍變與束縛電荷面密度相關，Dn的躍變與自由電荷面密度相關，En的躍變與總電荷面密度相關。PnnPP12fnnDD12nnnnnnPEDPED22021101,Pfnn

6、EE120利用實際上主要應用關于Dn的邊值關系式高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀fnnEE1122212112, , nnnnDDEE連續無躍變不連續有躍變fnnDD120f討論討論：a) 對于兩種電介質的分界面 ，則得0fDE b) 只有導體與介質交界面上，存在 。這時 、 在法線上都不連續，有躍變。DE 根據 的關系，不難得到高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 c) 對于磁場 ，把 應用到邊界上的扁平匣區域上，同理得到0sdBSBn2dSh1B介質1介質22B2n1n1dSdSn121122ddddSSSSBSBSBSBS側側側21()

7、0nBB無躍變連續 ,12nnBB2211nnHHBH2112 ,nnHH不連續 有躍變高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 由于存在面電流，在界面兩側的磁場強度發生躍變。2 切向分量的躍變SLfSdDdtdIl dH在狹長形回路上應用麥氏方程t1H2H如圖，在界面兩旁取一狹長形回路，回路的一長邊在介質1中，另一長邊在介質2中。長邊l與面電流正交。高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 取回路上下邊深入到足夠多分子層內部，使面電流完全通過回路內部。從宏觀來說回路短邊的長度仍可看作趨于零,因而有lHHl dHLtt12 其中t表示沿l的切向分量。通過

8、回路內的總自由電流為lIffSLfSdDdtdIl dHt1H2H高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀由于回路所圍面積趨于零，而D/t為有限量，因而0SdDdtd21ttfHHfLSdH dlID dSdtlHHl dHLtt12lIfft1H2H高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀上式可以用矢量形式表示。設l為界面上任一線元， t為l方向上的單位矢量。 流過了l的自由電流為fffInlnl對于狹長形回路用21ffLH dlHHlInl 得SLfSdDdtdIl dH21ttfHHfntl高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解

9、讀上式再用n矢乘, 注意到磁場切向分量的邊值關系21fHHn21fnHHnn0fnfHHn1221ffLH dlHHlInl ffn nn n mntl21ttfHH高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀磁化強度法向分量的躍變：磁化強度法向分量的躍變：lmntdmLMlI21dttLMlMMl現在來看兩介質交界面上的磁化電流分布情況。如圖所示的回路中，有nmt2M1M介質2介質1lmmIl21ttmMM21()mnMM高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀此式表示界面兩側E的切向分量連續。012EEn可得電場切向分量的邊值關系：SLSdBdtdl d

10、E,同理，應用高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀以后在公式中出現的和, 除特別聲明者外，都代表自由電荷面密度和自由電流線密度，不再寫出角標f。總括我們得到的邊值關系為這組方程和麥氏方程積分式一一對應。邊值關系表示界面兩側的場以及界面上電荷電流的制約關系，它們實質上是邊界上的場方程。212121210,0.nEEnHHnDDnBBSSfSLfSLSdBQSdDSdDdtdIl dHSdBdtdl dE. 0,高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀例題（課本P37） 無窮大平行板電容器內有兩層介質(如圖)，極板上面電荷密度f，求電場和束縛電荷分布。解

11、:由對稱性可知電場沿垂直于平板的方向，把邊值關系應用于下板與介質1界面上，因導體內場強為零，故得同樣，把邊值關系應用到上板與介質2界面上得fD1fD2. 0, 012221212BBnDDnHHnEEn+ f- f2E1E高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀由這兩式得2211,ffEE束縛電荷分布于介質表面上。在兩介質界面處， f=0由得PfnnEE120fPEE1020120+ f- f2E1E高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀在介質1與下板分界處在介質2與上板分界處容易驗證10101ffPE 20201ffPE0 PPP由得PfnnEE12

12、0介質整體是電中性的+ f- f2E1E高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀1.6 電磁場的能量和能流電磁場的能量和能流Energy and Energy Flow of Electromagnetic Field 電磁場是一種物質，它具有內部運動。電磁場的運動和其他物質運動形式相比有它的特殊性一面，但同時也有普遍性的一面。即電磁場運動和其他物質運動形式之間能夠互相轉化。 高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀1. 場和電荷系統的能量守恒定律(Law of Conservation and Transform of Energy of Electr

13、omagnetic Field) 能量是按一定的形式分布于場內的,而由于場在運動,場能量不是固定的分布于空間中,而是隨著場 在空間中傳播 因此，我們需要引入兩個物理量來描述。高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀場的能量密度w(x,t), 它是場內單位體積的能量。場的能流密度S， S在數值上等于單位時間垂直流過單位橫截面的能量其方向代表能力傳輸方向.高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀能量守恒的積分形式:VtVvfSddddd通過界面 流入V內的能量場對電荷系統所作的功率V內場的能量增加率 場和電荷之間,場的一區域與另一區域之間,都有可能發生能量轉

14、移.在轉移過程中總能量是守恒的.高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀相應的微分形式:vftwS當V 時VwtVvfdddd結論: 場對電荷所做的總功率等于場的總能量減小率,因此場和電荷的總能量守恒.VtVvfSddddd高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀2. 電磁場能量密度和能流密度表達式Energy Flux Density of Electromagnetic FieldEJBvvEvvBvEvf)()(由洛倫茲力公式得:tDHJ()DJ EEHEt ,BEt ()()DEHHEEt ()()DEHHEEt VtVvfSdddddvftwS

15、()DBEHEHtt 高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀得HEStBHtDEtwvftwStBHtDEHEEJvf)(比較高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀分兩種情況討論(1)真空中電荷分布情況 BH01ED0因此BES01)(2121200BEw這時相互作用的物質是電磁場和自由電荷, 能量在兩者之間傳播. 在真空中HEStBHtDEtw高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 場對自由電荷所作的功率密度為JE，它或者變為電荷的 動能，或者變為焦耳熱。場對介質中束縛電荷所作的功轉化為極化能和磁化能而儲備在介質中，也可能有一

16、部分轉化為分子熱運動（介質損耗）。當外場變化時，極化能和磁化能亦發生變化，如果不計及介質損耗，則這種變化是可逆的。 (2)介質內的電磁能量和能流 這時相互作用的系統包括三個方面： 電磁場、自由電荷、介質。高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀一般介質中場能量的改變量BHDEw線性介質EDHB積分得:)(21BHDEw介質的極化和磁化狀態由介質電磁性質方程確定，一定的宏觀電磁場對應于一定的介質極化和磁化狀態，因此我們把極化能和磁化能歸入場能中一起考慮，成為介質中的總電磁能量。高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 3. 電磁能量的傳輸Propagati

17、on of energy of electromagnetic field在恒定電流或低頻交流電情況下，電磁能量在場中傳播。在電路中，物理系統的能量包括導線內部電子運動的動能和導線周圍空間中的電磁場能量。導線內的電流密度為:vneveJ高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀導體內自由電子的平均漂移速度是很小的，相應的動能也很小，而在恒定的情況下，整個回路上，電流都有相同的值，因此，電子運動的能量并不是供給負載上消耗的能量。在傳輸過程中，一部分能量進入導線內部變為焦耳熱損耗；在負載電阻上,電磁能量從場中流人電阻內，供給負載所消耗的能量。高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電

18、磁場的邊值關系完全解讀例題（P43） 同軸傳輸線內導線半徑為a，外導線半徑為b，兩導線間為均勻絕緣介質(如圖)。導線載有電流I，兩導線間的電壓為U。(1) 忽略導線的電阻，計算介質中的能流S和傳輸功率;(2)計及內導線的有限電導率,計算通過內導線表面進入導線內的能流,證明它對于導線的損耗功率.高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀 解： (1)以距對稱軸為r的半徑作一圓周(arb),應用安培環路定律,由對稱性得rIH2導線表面上一般帶有電荷，設內導線單位長度的電荷(電荷線密度)為高斯定理 對稱性rrE2rEr2IrH 2高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀式中ez為沿導線軸向單位矢量兩導線間的電壓baIndrEUbar2zzrerIeHEHES224因而zaberUIS21ln能流密度高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀把S對兩導線間圓環狀截面積積分得傳輸功率UIdrrUIrdrSPbabaab1ln2 UI即為通常在電路問題中的傳輸功率表達式，這功率是在場中傳輸的高等教育出版社郭碩鴻版電動力學第5節電磁場的邊值關系完全解讀(2)設導線的電導率為，由歐姆定律,在導線內有zeaIJE2由于電場切向分量是