1、精選優質文檔-傾情為你奉上導數壓軸題題型1. 高考命題回顧例1已知函數f(x)exln(xm)（2013全國新課標卷）(1)設x0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m2時，證明f(x)>0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定義域為x|x>1，f(x)ex，顯然f(x)在(1,0上單調遞減，在0，)上單調遞增(2)證明g(x)exln(x2)，則g(x)ex(x>2)h(x)g(x)ex(x>2)h(x)ex>0，所以h(x)是增函數，h(x)0至多只有一個實數根，又g()<0，g(0)1>0，所以

2、h(x)g(x)0的唯一實根在區間內，設g(x)0的根為t，則有g(t)et0，所以，ett2et，當x(2，t)時，g(x)<g(t)0，g(x)單調遞減；當x(t，)時，g(x)>g(t)0，g(x)單調遞增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t>0，當m2時，有ln(xm)ln(x2)， 所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min>0.例2已知函數滿足（2012全國新課標）(1)求的解析式及單調區間；(2)若，求的最大值。（1） 令得： 得： 在上單調遞增 得：的解析式為 且單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）得 當時，在上單調遞增

3、 時，與矛盾 當時， 得：當時， 令；則 當時， 當時，的最大值為例3已知函數，曲線在點處的切線方程為。（2011全國新課標）（）求、的值；（）如果當，且時，求的取值范圍。解（） 由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以。考慮函數，則。(i)設，由知，當時，h(x)遞減。而 故當時， ，可得；當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對稱軸x=.當x（1，）時，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>

4、0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。（iii）設k1.此時，（x）>0,而h（1）=0，故當x （1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。 綜合得，k的取值范圍為（-，0例4已知函數f(x)(x3+3x2+ax+b)ex. （2009寧夏、海南）(1)若ab3,求f(x)的單調區間;(2)若f(x)在(,),(2,)單調增加,在(,2),(,+)單調減少,證明6.解: (1)當ab3時,f(x)(x3+3x23x3)ex,故f(x)(x3+3x23x3)ex +(3x2+6x3)exex (x39x)

5、x(x3)(x+3)ex.當x3或0x3時,f(x)0;當3x0或x3時,f(x)0.從而f(x)在(,3),(0,3)單調增加,在(3,0),(3,+)單調減少.(2)f(x)(x3+3x2+ax+b)ex +(3x2+6x+a)exexx3+(a6)x+ba.由條件得f(2)0,即23+2(a6)+ba0,故b4a.從而f(x)exx3+(a6)x+42a.因為f()f()0,所以x3+(a6)x+42a(x2)(x)(x)(x2)x2(+)x+.將右邊展開,與左邊比較系數,得+2,a2.故.又(2)(2)0，即2(+)+40.由此可得a6. 于是6.2. 在解題中常用的有關結論(1)曲線

6、在處的切線的斜率等于，且切線方程為。(2)若可導函數在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導函數,不等式的解集決定函數的遞增（減）區間。(4)函數在區間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（ 不恒為0）.(5)函數（非常量函數）在區間I上不單調等價于在區間I上有極值，則可等價轉化為方程在區間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數且I=R，則有）。(6) 在區間I上無極值等價于在區間在上是單調函數，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設與的定義域的交集為D，若D 恒成立，則有.(10)若對、 ，恒成立，則.若對，使得,則. 若

7、對，使得，則.（11）已知在區間上的值域為A,，在區間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 1 xx+ 3. 題型歸納（構造函數，最值定位）（分類討論，區間劃分）（極值比較）（零點存在性定理應用）（二階導轉換）例1（切線）設函數.（1）當時，求函數在區間上的最小值；（2）當時，曲線在點處的切線為，與軸交于點求證：.例2（最值問題，兩邊分求）已知函數.當時，討論的單調性；設當時，若對任意，存在，使，求實數取值范圍.例3（切線交點）已知函數在點處的切線方程為求函數的解析式；若對于區

8、間上任意兩個自變量的值都有，求實數的最小值；若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍例4（綜合應用）已知函數求f(x)在0,1上的極值；若對任意成立，求實數a的取值范圍；若關于x的方程在0，1上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍.例5 (變形構造法)已知函數，a為正常數若，且a，求函數的單調增區間；在中當時，函數的圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：若，且對任意的，都有，求a的取值范圍例6 (高次處理證明不等式、取對數技巧)已知函數.（1）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；（2）當時，設函數，若，求證例7（絕對值處理）已知函數的圖象經過坐標原點，且在處取得極大值

9、（I）求實數的取值范圍；（II）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；（III）對于（II）中的函數，對任意，求證：例8（等價變形）已知函數（）討論函數在定義域內的極值點的個數；（）若函數在處取得極值，對,恒成立，求實數的取值范圍；（）當且時，試比較的大小例9（前后問聯系法證明不等式）已知，直線與函數的圖像都相切，且與函數的圖像的切點的橫坐標為1。 （I）求直線的方程及m的值； （II）若，求函數的最大值。 （III）當時，求證：例10 (整體把握，貫穿全題)已知函數（1）試判斷函數的單調性； （2）設，求在上的最大值；（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數的底數）（）證明：例11

10、（數學歸納法）已知函數，當時，函數取得極大值.（）求實數的值；（）已知結論：若函數在區間內導數都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數，則對任意，都有；（）已知正數，滿足，求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數，都有.例12（分離變量）已知函數(a為實常數).(1)若，求證：函數在(1,+)上是增函數； (2)求函數在1,e上的最小值及相應的值；(3)若存在，使得成立，求實數a的取值范圍.例13（先猜后證技巧）已知函數（）求函數f (x)的定義域（）確定函數f (x)在定義域上的單調性，并證明你的結論.（）若x>0時恒成立，求正整數k的最大值.例14（創新題型）設函數f(

11、x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的極值點,求a的值；()當 a=1時,設P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x1>0,x2>0), 且PQ/x軸,求P、Q兩點間的最短距離；()若x0時,函數y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方,求實數a的取值范圍例15(圖像分析，綜合應用) 已知函數，在區間上有最大值4，最小值1，設（）求的值；（）不等式在上恒成立，求實數的范圍；（）方程有三個不同的實數解，求實數的范圍導數與數列例16（創新型問題）設函數，是的一個極大值點若，求的取值范圍；當是給定的實常數，設是的3個極值

12、點，問是否存在實數，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由導數與曲線新題型例17（形數轉換）已知函數, .(1)若, 函數 在其定義域是增函數,求b的取值范圍;(2)在(1)的結論下,設函數的最小值;(3)設函數的圖象C1與函數的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點R作軸的垂線分別交C1、C2于點、,問是否存在點R,使C1在處的切線與C2在處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標;若不存在,請說明理由.例18（全綜合應用）已知函數.(1)是否存在點,使得函數的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數的圖像上?若存在,求出點M的坐標;若不存在

13、,請說明理由;(2)定義,其中,求;(3)在(2)的條件下,令,若不等式對且恒成立,求實數的取值范圍.導數與三角函數綜合例19（換元替代，消除三角）設函數（），其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數的極大值和極小值；（）當， 時，若不等式對任意的恒成立,求的值。創新問題積累例20已知函數. I、求的極值. II、求證的圖象是中心對稱圖形.III、設的定義域為,是否存在.當時，的取值范圍是?若存在,求實數、的值；若不存在，說明理由導數壓軸題題型歸納 參考答案例1解：(1)時，由，解得. 的變化情況如下表：01-0+0極小值0 所以當時，有最小值.(2)證明：曲線在點處的切線斜率

14、曲線在點P處的切線方程為. 令，得， ，即. 又， 所以.例2，令當時，當,函數單調遞減；當，函數單調遞增.當時，由，即，解得.當時，恒成立，此時，函數單調遞減；當時，,時，函數單調遞減；時，函數單調遞增；時，函數單調遞減.當時，當,函數單調遞減；當，函數單調遞增.綜上所述：當時，函數在單調遞減，單調遞增；當時,恒成立,此時，函數在單調遞減；當時,函數在遞減,遞增,遞減.當時，在(0,1)上是減函數，在(1,2)上是增函數，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，（）又當時，與（）矛盾；當時，也與（）矛盾；當時，.綜上，實數的取值范圍是.例3解：根據題意，得即解得 所以 令，即得12+增極大值減

15、極小值增2因為，所以當時，則對于區間上任意兩個自變量的值，都有，所以所以的最小值為4因為點不在曲線上，所以可設切點為則因為，所以切線的斜率為則=，即因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數解所以函數有三個不同的零點則令，則或02+增極大值減極小值增則 ，即，解得例4解：， 令（舍去）單調遞增；當遞減. 上的極大值.由得設，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當且僅當 由令，當上遞增；上遞減，而，恰有兩個不同實根等價于 例5解：a，令得或,函數的單調增區間為.證明：當時, ,又不妨設 ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又， 即比較與的大小 令,則,在上位增函數又， ，即 ，

16、 由題意得在區間上是減函數 當， 由在恒成立設，則在上為增函數，. 當， 由在恒成立設，為增函數,綜上：a的取值范圍為.例6解：（1）,， 即在上恒成立設,，時，單調減，單調增，所以時，有最大值.，所以.（2）當時，,所以在上是增函數，上是減函數.因為，所以即,同理.所以又因為當且僅當“”時，取等號.又，,所以,所以，所以：.例7（I）由，因為當時取得極大值，所以，所以；（II）由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得：所以函數的解析式是： （III）對任意的實數都有在區間-2，2有：函數上的最大值與最小值的差等于81，所以例8解：（），當時，在上恒成立，函數 在 單調遞減

17、，在上沒有極值點；當時，得，得，在上遞減，在上遞增，即在處有極小值當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點 （）函數在處取得極值， 令，可得在上遞減，在上遞增，即（）證明：， 令，則只要證明在上單調遞增，又，顯然函數在上單調遞增 ，即，在上單調遞增，即，當時，有 例9 解：（I）的斜率為1，且與函數的圖像的切點坐標為（1，0），的方程為又與函數的圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依題意，方程有兩個相等的實數根，解之，得m=4或m=-2， （II）由（I）可知，單調，當時，單減。，取最大值，其最大值為2。 （III）證明，當時，例10解：（1）函數的定義域是由已知令，得因為當時，；當

18、時，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減（2）由（1）可知當，即時，在上單調遞增，所以當時，在上單調遞減，所以當，即時，綜上所述，（3）由（1）知當時所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立因此對任意恒有因為，所以，即因此對任意，不等式例11解：（）當時，函數在區間上單調遞增；當時，函數在區間上單調遞減. 函數在處取得極大值，故. （）令， 則.函數在上可導，存在，使得.，當時，單調遞增，；當時，單調遞減，；故對任意，都有. （）用數學歸納法證明.當時，且，由（）得，即，當時，結論成立. 假設當時結論成立，即當時，. 當時，設正數滿足，令， 則，且. 當時，結論也成立.綜上由，對任意，結論恒成立.

19、例12 解：當時，當，故函數在上是增函數，當，若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數在上是增函數，此時若，當時,；當時，此時是減函數；當時，此時是增函數故若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數在上是減函數，此時不等式，可化為, 且等號不能同時取，所以，即，因而（）令（），又，當時，從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數，故的最小值為，所以a的取值范圍是例13 解：（1）定義域（2）單調遞減。當，令，故在（1，0）上是減函數，即，故此時在（1，0）和（0，+）上都是減函數（3）當x>0時，恒成立，令又k為正整數，k的最大值不大于3下面證明當k=3時，恒成立當x>0時 恒成立

20、 令，則，當當取得最小值當x>0時， 恒成立，因此正整數k的最大值為3例14解：()F(x)= ex+sinxax,.因為x=0是F(x)的極值點,所以. 又當a=2時,若x<0, ;若 x>0, .x=0是F(x)的極小值點, a=2符合題意. () a=1, 且PQ/x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當x>0時恒成立.x0,+時,h(x)的最小值為h(0)=1.|PQ|min=1. ()令則.因為當x0時恒成立, 所以函數S(x)在上單調遞增, S(x)S(0)=0當x0,+時恒成立; 因此函數在上單調遞增, 當x0,+時恒成立.當a2時,在0,+單調遞增

21、,即.故a2時F(x)F(x)恒成立. 例15 解:（）(1) 當時，上為增函數 故 當上為減函數故 即. .（）方程化為，令， 記 （）方程化為，令， 則方程化為 （）方程有三個不同的實數解，由的圖像知，有兩個根、， 且 或 ， 記則 或 例16 解： （）時，令，設是的兩個根， （1）當或時，則不是極值點，不合題意； （2）當且時，由于是的極大值點，故 ，即，()解：，令，于是，假設是的兩個實根，且由（）可知，必有，且是的三個極值點，則，假設存在及滿足題意，（1）當等差時，即時，則或，于是，即此時或 （2）當時，則或若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時，此時=若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時此時綜上所述，存在b滿足題意，當b=a3時，時，時，.例17解:(1)依題意:在(0,+)上是增函數, 對x(0,+)恒成立, (2)設 當t=1時,ym i n=b+1; 當t=2時,ymi n=4+2b 當的最小值為 (3)設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為C1在點M處的切線斜率為 C2在點N處的切線斜率為 假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則 設 這與矛盾,假設不成立.故C1在點M處的切線與C2在點